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2.2.3独立重复试验与二项分布


2.2.3 独立重复试验与二项分布
【三维目标】 : 知识与技能:1 理解事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率的意义,并会

计算其概率 2 理解二项分布的意义, 并会求出服从二项分布的随机变量的分布列
过程与方法:通过例子使得学生能运用知识解决问题。 情感态度与价值观:通过学习,体会数学在解决实际问题中的作用。 【重 点】

:事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率的意义,计算其概率 【难 点】 :二项分布的意义,求服从二项分布的随机变量的分布列。

【学法指导】 :认真阅读教材,结合实例理解概念和应用,并注意解题步骤。

新课讲解: 1 独立重复试验的定义:
王新敞
奎屯 新疆

指在同样条件下,重复地做 n 次试验,各次试验的结果之间相互独立,那么 一般就称他们为__________________________________. 2.独立重复试验的概率公式: 一般地,如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P ,那么在 n 次独立重复试 验中这个事件恰好发生 k 次的概率 ________________________ (k=0,1,2,……,n). 3.离散型随机变量的二项分布: 在一次随 机试验中 ,某事件可能 发生也 可能 不发生,在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 ξ 是一个随机变量.如 果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰 好发生 k 次的概率是
k k n ?k (k=0,1,2,…,n, q ? 1 ? p ) . Pn (? ? k ) ? Cn p q ,

于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下: ξ 0 1 … …

k

… …

n

P
k k n?k 由于 Cn p q 恰好是二项展开式

0 0 n 1 1 n?1 k k n ?k n n 0 (q ? p) n ? Cn p q ? Cn p q ? ? ? Cn p q ? ? ? Cn p q

中的各项的值,所以称这样的随机变量 ξ 服从二项分布 .

例题分析: 例 1 在人寿保险事业中,很重视某一年龄段的投保人的死亡率,假如每个投保 人能活到 65 岁的概率为 0.6,试问 3 个投保人中: (1) 全部活动 65 岁的概率; (2) 有 2 个活到 65 岁的概率; (3) 有 1 个活到 65 岁的概率; (4) 都活不到 65 岁的概率。

例2

100 件产品中有 3 件不合格品,每次取一件,有放回地抽取三次,求取得

不合格品件数 X 的分布列。

例3

将一枚均匀硬币随机掷 100 次,求正好出现 50 次正面的概率。

四、课堂练习: 1 某班有 50 个学生,假设每个学生早上到校时间相互没有影响,并且迟到的概 率均为 0.05,试求这个班某天正好有 4 个学生迟到的概率。

2 某射手射击 5 次,每次命中的概率为 0.6,求下列事件的概率: (1)5 次中有 3 次中靶; (2)5 次中至少有 3 次中靶。

3 已知某种疗法的治愈率是 90%,在对 10 位病人采用这种疗法后,正好有 9 人 被治愈的概率是多少?

四、限时训练:
1.独立重复实验应满足的条件是: ( ) ①每次试验之间是相互独立的; ②每次试验只有发生和不发生两种结果; ③每次试验中发生的机会是均等的; ④各次试验发生的事件是互斥的。 A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 2.某学生在最近的 15 次数学测验中有 5 次不及格。按照这个成绩,他在接下来的 10 次测验 中(1)全及格 (2)全不及格 (3)恰好 5 次及格的概率各是(1) (2) (3) ? 3.一次测量中出现正误差和负误差的概率都是 0.5,在 3 次测量中,恰好出现 2 次正误差的 概率是 ,恰好出现 2 次负误差的概率是 。 4.假定人在一年 365 天中的任一天出生的概率是一样的,某班级有 50 名同学,其中有两个 以上的同学生于元旦的概率是 。 5.已知一批玉米种子的出苗率为 0.9,现每穴种两粒,问一粒出苗一粒不出苗的概率是 6 设顾客需要 27 号鞋的概率是 0.2,求鞋店上午开门营业后,头 5 名顾客中: (1)有 1 人要买 27 号鞋的概率; (2)至少有 1 人要买 27 号鞋的概率。 7.设一个班级中有

1 1 1 的女生, 的三好学生,而三好学生中女生占 ,若从此班级中任选一 3 5 3

名代表参加夏令营活动, 试问在已知没有选上女生的条件下, 选的是一位三好学生的概率是 多少?

8. 若 10 件产品中包含 2 件废品,今在其中任取两件,求: (1)取出的两件中至少有一件是废品的概率; (2)已知取出的两件中有一件是废品的条件下,另一件也是废品的概率; (3)已知两件中有一件不是废品的条件下,另一件是废品的概率。

9.某棒球手一次击球得 1 分的概率平均为 0.2,在 5 次击球中他得 2 分的概率是多少?

10.在某个学校里,所有学生都学习数学和英语,随机找出一个学生,他数学不及格的概率 是 0.15。 ,英语不及格的概率是 0.05,这两门都不及格的概率是 0.04,问: (1)数学不及格与英语不及格这两个事件是相互独立的吗? (2)已知一个学生英语不及格,他数学不及格的概率是多少? (3) 已知一个学生数学不及格,他英语不及格的概率是多少?

11.某气象站天气预报的准确率为 80%,计算(结果保留两个有效数字) : (1)5 次预报中恰 有 4 次准确的概率; (2) 5 次预报中至少有 4 次准确的概率。

12.盒子里装有 16 个球,其中 6 个玻璃球,10 个木质球,玻璃球中有 2 个是红色的,4 个是 蓝色的,木质球中有 3 个是红色的,7 个是蓝色的,先从中任取一个发现是蓝球,问该球是 玻璃球的概率是多少?

13.在某售楼中心,最近的 100 为顾客中有一位买了某房产商出售的住房。根据这一比例, 试问在接下来的 50 位顾客中(1)恰好一位(2)至少一位(3)多于一位顾客买这个房产商的房 子的概率各是多少?


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