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高二数学几何概型


3.3.1 几何概型

复习回顾

古典概型的两个基本特征?
(1) 有限性:在一次试验中,可能出现的结果只有有限 个,即只有有限个不同的基本事件; (2) 等可能性:每个基本事件发生的可能性是相等的.

现实生活中,有没有实验的所有可能 结果是无穷多的情况? 相应的概率如何求?

二、主动探索,领悟归纳

? 问题:甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜, 否则乙获胜. 求甲获胜的概率是多少? ? 点击右侧的小转盘,更换一个转盘后,甲获胜的概率是多 少?

领悟归纳

定 义

?如果每个事件发生的 概率只与构成该事件 区域的长度(面积或 体积)成比例,则称 这样的概率模型为几 何概率模型,简称为 几何概型.

领悟归纳
? 几何概型的特点:

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无 限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
? 在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
构成事件A的区域长度 (面积或体积) P(A)? 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体积)

例1 判下列试验中事件A发生的概率是古典概型, 还是几何概型。 (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率; (2)地铁列车每3 分钟一班,在车站停1分钟. 求乘客到达站台立即上车的概率 . (3)奥运会射击比赛中箭靶的直径为122cm, 而靶心的直径只有12.2cm,运动员在70米外 射箭,假设每箭都能射中靶面任意一点,求射中 靶心的概率为多少? (4)随机地向四方格里投掷硬币50次,统计 硬币正面朝上的概率。

例1 某人午觉醒来,发现表停了,他 打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间 不多于10分钟的概率. 解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所 关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 分析:假设他在 0-60分钟之间任何一个时刻打开 [50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率 收音机是等可能的,但 0-60之间有无穷个时刻, 的公式得 不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。

60 ? 50 1 P( A) ? ? , 60 6 可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生 1 的概率。 即“等待的时间不超过 10分钟”的概率为 6

巩固练习 假设车站每隔 10 分钟发 一班车,随机到达车站,问等车时间 不超过 3 分钟的概率 ?

0←

→10

例4.假设你家订了一份报纸,送报人可能 在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家, 你父亲离开家去工作的时间在早上7:00— 8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报 纸(称为事件A)的概率是多少?

练习
1.公共汽车在0~5分钟内随机地到达车站,求汽 车在1~3分钟之间到达的概率。 分析:将0~5分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段,则1~3分钟是这一线段中 的2个单位长度。 解:设“汽车在1~3分钟之间到达”为事件A,则
3?1 2 P ( A) ? ? 5 5 2 所以“汽车在1~3分钟之间到达”的概率 5 为

练习
2.有一杯1升的水,其中 含有1个细菌,用一个 小杯从这杯水中取出 0.1升,求小杯水中含 有这个细菌的概率.

3.如右图,假设你在每个 图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它落到红 色部分的概率.

练习
4.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子随机地 扔到桌面上,假设豆子不落在线上,求下列事 件的概率: (1)豆子落在红色区域; (2)豆子落在黄色区域; (3)豆子落在绿色区域; (4)豆子落在红色或绿色区域; (5)豆子落在黄色或绿色区域。

练习
5.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那 么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?
1m 3m 1m

解:如上图,记“剪得两段绳子长都不小于 1m”为事件A,把绳子三等分,于是当剪断位 置处在中间一段上时,事件A发生。由于中间 一段的长度等于绳子长的三分之一,所以事 件A发生的概率P(A)=1/3。

练习
6.在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一点 M,求AM小于AC的概率。 分析:点M随机地落在线段AB上,故线段 AB为区域D。当点M位于图中的线段AC’上 时,AM<AC,故线段AC’即为区域d。 解: 在AB上截取AC’=AC,于是 P(AM<AC)=P(AM<AC’)

AC' AC 2 = = = AB AB 2
则AM小于AC的概率为
2 2

练习
7.在半径为1的圆上随机地取两点,连成一条线,则 其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少? 解:记事件A={弦长超过圆内接 等边三角形的边长},取圆内接 等边三角形BCD的顶点B为弦 的一个端点,当另一点在劣弧 CD上时,|BE|>|BC|,而弧CD 的长度是圆周长的三分之一, 所以可用几何概型求解,有
1 P ( A) ? 3
B

.0 C E D

1 则“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为 3

四、总结评价,促进成长
? 1.几何概型的特点. ? 2.古典概型与几何概型的区别: 1)两种模型的基本事件发生的可能性都相等; 2)古典概型要求基本事件是有限个,而几何概型 则要求基本事件有无限多个。 ? 3.几何概型的概率公式及运用.
构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) ? 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

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把好手,把皮球又踢给了马启明,而且把皮球踢了个十万八千里,都到了月球上了,使马启明免费旅游月亮一次。金俊英又长 叹了口气,一副愁眉苦脸的模样:“唉——我们的日子不好过呀。”“谁不知道供应科是快活部门,你这是在无病呻吟。”马 启明插科打诨道,他同金俊英开玩笑开惯了,知道说几句含沙射影的俏皮话他也不会生气。长期以来供应科一直是供货商巴结 讨好的部门,过的好日子不知让多少人眼红,如今也到了山穷水尽、无路可走的地步了。“有钱咱们肯定是快活,没有钱却只 能受累受气,厂里没钱供货商就不送货,我快要愁死了。” 金俊英神情疲惫地点了一根烟,猛吸几口接着倾诉道,“目前厂 里欠了一千八百万的货款,供应商也拖不起了,而外面有四千九百多万的销售款又收不回来,三角债要把厂子拖垮了。再加上 投资失误,厂里在沿江办了一个人参口服液的项目,砸进去一千六百多万,颗粒无收,血本无归,唉!”马启明心里“咯噔” 一下,他才总算弄清楚,原来厂里资金真的紧张,三角债、投资失误是罪魁祸首,其实这只是冰山一角。这还不是最严重的问 题,最严重的问题是什么呢?3老乡会|马启明和刘丽娟刚从西北过来,在当地海涛州既没有亲戚也没有故友,下了班后业余时 间,除了偶尔到电影院看看电影,晚上也没有什么娱乐活动,他们刚来时也没有电视机,又不喜欢打麻将、打牌,所以,夫妻 俩就在家看书,有时看烦了,就到街道去溜溜弯,到周围乡间田野逛一逛,到河边柳岸去散散步,没多久就把小镇周边逛了个 遍,对小镇风土人情也有了更多的了解。海涛州河流交错,是水城水乡,生活在这里的人们过着“水城慢生活”。海涛州绿溪 镇的早茶文化给马启明留下了极其深刻的印象,早晨皮包水,小镇人的生活是悠闲而从容的。清晨在一碗鱼汤面、一盘干丝、 一笼小汤包的香气中,便开始了一天中的初次聚会,从生老病死说到健康养生,从邻里琐事谈到国家大事,什么奇闻怪事都是 谈资,让这份简易的早饭增添了无限的滋味和乐趣,也让嘴和舌尖过足了瘾。下午二点钟过后,一张张牌桌就成了第二次聚会 的场所,手里的牌不停地码进剔出,嘴巴里的话也不停地应来道去,从柴米油盐到社会新闻,从老人孩子到热播影剧,把单调 的牌桌变得一个小社会,热闹非凡。海涛州绿溪镇的沐浴文化也给马启明留下了更深的印象。晚上水包皮,热气袅袅的浴池便 成了一天中最后的聚会,泡在微烫的池水中,松弛而惬意。全身心享受沐浴的同时,八卦新闻也被充分激活,从奇闻怪事到小 道消息,从人情往来到纠葛纷争热门的话题一庄连着一庄,总也谈不完,总也谈不厌。虽然说是水城慢生活,但小镇上消息传 播就像他(她)们的嘴一样出奇的快,比无线电波还要快,所以小镇上从没


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