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2.2.1用样本的频率分布估计总体分布


统计的基本思想方法:
用样本估计总体,即通常不直接去研究总体,而是通过从总 体中抽取一个样本,根据样本的情况去估计总体的相应情况.

统计的核心问题:
如何根据样本的情况对总体的情况作出一种推断. 这里包 括两类问题: 一类是如何从总体中抽取样本? 另一类是如何根据对样本的整理、计算、分析, 对总体的 情况作出推断.

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整体介绍:
用样本的有关情况去估计总体的相应情况,这种估计大体分为 两类, 一类是用样本频率分布估计总体分布, 一类是用样本的某种数字特征(例如平均数、方差等)去估计 总体的相应数字特征.

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频率分布的概念:
频数:将一批数据按要求分为若干个组,各组内数据的 个数,叫做该组的频数. 频率:每组数据的个数除以全体数据个数的商叫做该 组的频率.

频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例 的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.

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一、探究
我国是世界上严重缺水的 国家之一,城市缺水问题较为 突出,某市政府为了节约生活 用水,计划在本市试行居民生 活用水
2000年全国主要城市中缺 水情况排在前10位的城市

通过抽样,我们获得了100位居民某年的月平均用水 量(单位:t) ,如下表: 二、画频率分布直方图的步骤
1.求极差(即一组数据中最大值与最
小值的差)

4.3 - 0.2 = 4.1

2.决定组距与组数:
组数= 极差 组距 组数=9 = 4.1 0.5 = 8.2

思考:由上表,大家可以得到什么 信息?

当数据在100个以内时,按数据多少常分 5-12组.

3.将数据分组
[0,0.5 ),[0.5,1 ),…,[4,4.5]

4.列频率分布表
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5.画频率分布直方图

4.列频率分布表

100位居民月均用水量的频率分布表

第几组频数 第几组频率= 样本容量

5.画频率分布直方图
频率 组距

频率 ?长方形的面积= ? 组距 ? 频率 组距
小长方形的 面积=?

0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 其相应组上的频率等于 该组上长方形的面积. 月均用水量/t

归纳: 作频率分布直方图的方法为:
1.把横轴分成若干段,每一段对应一个组的组距, 2.以此线段为底作矩形,高等于该组的频率/组距, 这样 得到一系列矩形. 3.每一个矩形的面积恰好是该组上的频率,这些矩形构成 了频率分布直方图.

频率
组距 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.5

直方图有那些优点 和缺点?

1 1.5 2 2.5 3

3.5 4

月均用水量 /t 4.5

优点:从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体势. 缺点:从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图 后,原有的具体数据信息就被抹掉了.

五、探究:
同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到 的图的形状也会不同.不同的形状给人以不同的印象,这种印象 有时会影响我们对总体的判断.分别以1和0.1为组距重新作图,然 后谈谈你对图的印象.

例1.有一个容量为50的样本数据的分组的频数如下: [12.5, 15.5) 3 [18.5, 21.5) 9 [21.5, 24.5) 11 (1)列出样本的频率分布表; (2)画出频率分布直方图; [24.5, 27.5) 10

[15.5, 18.5) 8 [30.5, 33.5) 4

[27.5, 30.5) 5

(3)根据频率分布直方图估计,数据落在[15.5, 24.5)的百分 比是多少?

解:(1)组距为3,列频率分布表 分组 频数 频率 频率/ 组距

[12.5, [15.5, [18.5, [21.5, [24.5, [27.5,

15.5) 3 18.5) 8 21.5) 9 24.5) 11 27.5) 10 30.5) 5

[30.5, 33.5) 4

0.06 0.16 0.18 0.22 0.20 0.10 0.08

0.020 0.053 0.060 0.073 0.067 0.033 0.027

(2)画频率分布直方图:
频率

组距
0.070 0.060 0.050 0.040 0.030 0.020

0.010 12.5 15.5

课堂训练

1.一个容量为32的样本,已知某组样本的频率为
0.125,那么该组样本的频数为(B) A .2 B .4 C .6 D .8
2.在用样本频率估计总体分布的过程中,下列说法正确的 是( C) A.总体容量越大,估计越精确 B.总体容量越小,估计越精确 C.样本容量越大,估计越精确 D.样本容量越小,估计越精确

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3、已知样本10, 8, 6, 10, 8,13,11,10,12,7,8,9,12,9, 11,12,9,10,11,11, 那么频率为0.2范围的是( D )

A.5.5~7.5 C. 9.5~11.5
分组 5.5~7.5 2

B. 7.5~9.5 D. 11.5~13.5
频数 频率 0.1

7.5~9.5 9.5~11.5
11.5~13.5 合计

6 8
4 20

0.3 0.4
0.2 1.0

(2002,江西高考)

4、一个容量为20的样本数据.分组后.组距与频数 如下:(0,20] 2;(20,30] 3, (30,40] 4; (40,50] 5; (50,60] 4; (60,70] 2.则样本在(-∞,50]上的频率 为: 7/10 ,

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5、观察新生婴儿的体重,其频率分布直方图

如图所示,则新生婴儿体重(2700,3000)的频
率为: 0.3 ; y

0.001
2400 2700 3000 3300 3600 3900

X 体重

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6.为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽 查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁的男生体重 (kg) ,得到频率分布直方图如下:
频率/组距
0.07

0.05
0.03

体重(kg)
54.5 58.5 62.5 66.5 70.5 74.5

根据上图可得这100名学生中体重在[56.5,64.5] 的学生人数是( C ) A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
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(2003,东北高考) 命中数

7、某射手对100个靶各射击5次,记下命中数,设计结果如下: 频数

0 3

1 18

2 3 29 31

4 14

5 5

1、列出频率分布表;

2、画出分布频率条形图; 解:

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在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中, ,依次连接各小长方形上端的中点,就得到一条折线,这条 折线称为频率分布折线图. 你认为频率分布折线图能大致反映 样本数据的频率分布吗?

频率 组距

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

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当总体中的个体数很多时(如抽样调查全国城市居民月均用 水量),随着样本容量的增加,作图时所分的组数增多,组距减 少,你能想象出相应的频率分布折线图会发生什么变化吗?
频率
组距

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

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当样本容量无限增大,组距无限缩小,那么频率分布直方图 就会无限接近于一条光滑曲线——总体密度曲线。

频率 组距

月均用 水量/t b

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总体密度曲线
反映了总体在各个范围内取值的百分比,精确地反映了 总体的分布规律。是研究总体分布的工具. 用样本分布直方图去估计相应的总体分布时,一般 样本容量越大,频率分布直方图就会无限接近总体密度 曲线,就越精确地反映了总体的分布规律,即越精确地 反映了总体在各个范围内取值百分比。

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频率分布表、频率分布直方图和折线图的主要作用是表示样本 数据的分布情况,此外,我们还可以用茎叶图来表示样本数据的分 布情况.

一般地,画出一组样本数据的茎叶图的步骤如何? 第一步,将每个数据分为“茎”(高位)和“叶”(低位)两部分;
第二步,将最小的茎和最大的茎之间的数按大小次序排成一列,写在 左(右)侧;

第三步,将各个数据的叶按大小次序写在茎右(左)侧.

例:对于样本数据: 3.1 , 2.5 , 2.0 , 0.8 , 1.5 , 1.0 ,4.3,2.7,3.1,3.5,用茎叶图如何表示?



0 1 2

8
0 5 0 5 7 1 1 5 3

3
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4

【问题】 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场 比赛的得分情况如下: 甲运动员得分:13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39; 乙运动员得分:49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25, 36,39.





8 4 6 3 3 6 8 3 8 9 1
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0 1 2 3 4 5

2 5 1 4 0

5 4 6 1 6 9

7 9

你认为茎叶图有哪些优点?
(1)保留了原始数据,没有损失样本信息; (2)数据可以随时记录、添加或修改.

思考:
对任意一组样本数据,是否都适合用茎叶图表 示?为什么? 不适合样本容量很大或茎、叶不分明的样本数据.

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课堂小结
1.用样本的频率分布估计总体分布, 当总体中的个体数取值很少时,可用茎叶图估计总体分布; 当总体中的个体数取值较多时,可将样本数据适当分组,用频 率分布表或频率分布直方图估计总体分布. 2.总体密度曲线可看成是函数的图象,对一些特殊的密度曲线, 其函数解析式是可求的.

3.茎叶图中数据的茎和叶的划分,可根据样本数据的特点灵活 决定.

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画频率分布直方图的步骤
1.求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) 2.决定组距与组数(将数据分组) 组距:指每个小组的两个端点的距离 , 组数:将数据分组,当数据在100个以内时, 极 差 4.1 按数据多少常分5-12组. 组 数 = ? ? 8.2
组距 0.5

3.将数据分组(8.2取整,分为9组) 4.列出频率分布表. 5.画出频率分布直方图

4、比较:
图形 频率分布 直方图 茎叶图 优点 1)易表示大量数据 2)直观地表明分布地 情 况 1)无信息损失2)随时记 录方便记录和表示 缺点 丢失一些信息

只能处理样本容 量较小数据

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