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2013届高二数学不等式单元测试


2013 西林民族高中 2013 届第六章不等式单元测试
时间 120 分钟,满分 150 分 命题者:程琬婷 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后 的括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分). 1.设集合 M = {m ∈ Z | ?3 < m < 2} , N = {n ∈ Z | ?1 ≤ n ≤ 3},则M I N = A. {0, 1} B. {?1 0, ,1} C. {0,2} 1, 2.不等式 x ? 1 < 的解集是 1 B. (-2,2) a+b 3. “a>0 且 b>0”是“ ≥ ab ”的 2 A.充分而非必要条件 C.充要条件 4.函数 A.[0,2] C. (1,2) D. (0,2) ( B.必要而非充要条件 D.既非充分又非必要条件 ( D. ?2 < x < ?1 ( (
2

1 1 + 的最小值为 ( ) a b 1 A. 8 B. 4 C.1 D. 4 2 1 ) ≥ m 恒成立,那么实数 m 的取值范围是 11 . 如 果 对 x>0 , y>0 , 有 f ( x , y ) = ( x + 4y )( + x 2y
10.设 a > 0, b > 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则
a b

A. ( ?∞,] 4 12.已知函数 f ( x ) = ? A. [ ?1,1]

B. ( 8, ∞ ) +

C. ( ?∞,) 0

D. ( ?∞, 8]









x≤0 ? x + 2, ,则不等式 f ( x ) ≥ x 2 的解集是 ? x + 2, x>0 ? B. [ ?2, 2] C. [ ?2,1] D. [ ?1, 2]





D. {?1 0,2} ,1, ( )



第Ⅱ卷
二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分).

log 2 ( x + 2) 的定义域是 x +1 A. x > ?2 B. x > ?1 C. x > ?2 且 x ≠ ?1 16 5.函数 y = x + ( x > 1) 的最小值为 x ?1



. 13.若 30 < x < 42, 16 < y < 24, 则x ? 2 y 的取值范围是 2 14.设集合 A={x|(x-1) <3x+7,x∈R },则集合 A∩Z 中有_

个元素.

) )

1 15.若 x > 0 ,则 5 ? 5x ? 的最大值是________. x
16.若不等式 x 2 ? ax ? b < 0 的解集为{ x 2 < x < 3 },则 a + b = .

A.9 B.13 C.15 D.17 6.实数 a, b 满足 0 < a < b 且 a + b = 1 ,则下列四个数中最大的是 A.

7.不等式

x?2 ≥ 0 的解集是 x + 4x + 3 A. {x 2 ≤ x < 3}
2

1 2

B. a

C. 2ab

D. a + b
2

( B. x ? 3 < x < 1或x〉 2 D. φ



C. x ? 3 < x < 1或x ≥ 2 8.若

{

}

{

}


1 1 b a < <0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④ + >2.正确的不等式有( a b a b A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 1 a+b 9.若 a>b>1,P= lg a ? lg b ,Q= (lga+lgb),R=lg( ),则 ( 2 2 A.R<P<Q B.P<Q<R C.Q<P<R D.P<R<Q



1

西林民族高中数学单元测试答题卡 西林民族高中数学单元测试答题卡 单元测试答题
班级 学号 姓名 得分 ( 小题, 一、选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分) 选择题: 题 号 答 案 ( 二、填空题: 本大题共 20 分,每小题 5 分) 填空题: 本大题共 13._______________ 14._______________ 15._______________ 16._______________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

18. (12 分) A = {x | 3 ? x ≥

x ? 1}

B = {x || x ? 1 |> a, a > 0} 若 A ∩ B = φ ,求 a 的取值范围.

小题, 解答应写出必要的文字说明,证明过程及演算步骤.) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程及演算步骤.) 解答题( 17. (10 分)已知集合 A = {x |

6 ≥ 1, x ∈ R}, B = {x | x 2 ? 2 x ? m < 0} x +1 (1)当 m=3 时,求 A I CU B ; (2)若 A I B = {x | ?1 < x < 4}, 求实数 m 的值.

19. (12 分) (1)已知 a, b 都是正数,并且 a ≠ b,求证:a + b > a b + a b
5 5 2 3

3 2;

(2)若 a、b、c 都是正数,且 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.

2

20. (12 分)已知 f(x)=x +px+q, (1) 求证:f(1)+f(3)-2f(2)=2;
1 (2) 求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 . 2

2

22. (12 分)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量 y(千辆/小时)与汽车的平均 速度 v(km/h)之间的函数关系为 y=

920v (v>0). v + 3v + 1600 (1)在该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(精确到 0.1 千辆/小时) (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?
2

21. (12 分)已知函数 f(x)=
1 2

x 2 + 2x + a ,x∈ [1, + ∞ ) . x

(1) 当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; (2) 若对任意 x∈ [1, + ∞ ) ,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

3

届第六章不等式单元测试参考答案 西林民族高中 2013 届第六章不等式单元测试参考答案
一、选择题 1 题号 答案 B 2 D 3 A 4 C 5 A 6 D 7 C 8 B 9 B 10 C 11 D 12 A

18.解:由 A = {x | 3 ? x ≥

?( 3 ? x ) 2 ≥ x ? 1 ? 又由 B = {x || x ? 1 |> a, a > 0} 可得 x ? 1 ≥ a或x ? 1 ≤ ?a ,即 x ≥ 1 + a或x ≤ 1 ? a ,
因为

x ? 1} 可得 ? x ? 1 ≥ 0 ?

?3 ? x ≥ 0

? A = {x | 1 ≤ x ≤ 2}

A ∩ B = φ ,画数轴如下:

1.B 因为 M = {?2, 1,, , N = {?1,, 2 3} 所以 M I N = {?1,1}. ? 0 1} 0 1,,, 0, 8. 答案:B 分析:本题主要考查不等式的性质及均值不等式的适用条件.

1-a 0 1 2

1+a

1 1 < <0 可知 b<a<0,③不正确,②不正确. a b ∴a+b<0,ab>0.∴a+b<ab,①正确. b a b a >0,而 a≠b,∴ + >2,④正确. 由 >0, a b a b 9. 答案:B 分析:本题主要考查均值不等式与对数函数的单调性. 解:a>b>1 ? lga>0,lgb>0. 1 ? ?Q = 2 (lg a + lg b) > lg a ? lg b = P ? ? R>Q>P. ? ? R = lg( a + b ) > lg ab = 1 (lg a + lg b) = Q ? 2 2 ? a b 10. 【解析】因为 3 ? 3 = 3 ,所以 a + b = 1 ,
解:由

由图可知, 1 + a ≥ 2且1 ? a ≤ 1 , 所以,得 a≥1 5 5 2 3 3 2 5 3 2 5 2 3 19. (1)证明:(a + b ) ? (a b + a b ) = ( a ? a b ) + (b ? a b ) 3 2 2 3 2 2 = a (a ? b ) ? b (a ? b ) 2 2 3 3 = (a ? b ) (a ? b ) 2 2 2 = (a + b)(a ? b) (a + ab + b ) 2 2 ∵a, b 都是正数,∴a + b, a + ab + b > 0 2 2 2 2 又∵a ≠ b,∴(a ? b) > 0 ∴(a + b)(a ? b) (a + ab + b ) > 0 5 5 2 3 3 2 即:a + b > a b + a b (2)证明:因为 a、b、c 都是正数,且 a+b+c=1, 所以 (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) = (b + c)(a + c)(a + b) ≥ 2 bc ? 2 ac ? 2 ab = 8abc . 20.证明: (1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2 证明: 证明

(2)用反证法。 假设|f(1)|、 |f(2)|、 |f(3)|都小于 , 则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2, 而| f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=2,出现矛盾. ∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 . 21. 解:(1)当 a= 时, f ( x) = x + ∴当 x=1 时,[f(x)]min=f(1)= (2)由 f(x)>0 得
x2 + 2x + a >0 x 7 2 1 2 1 + 2 ,易证 f(x)在[1,+ ∞ )上单调递增. 2x 1 2

1 1 1 1 b a b a + = (a + b)( + ) = 2 + + ≥ 2 + 2 ? = 4, a b a b a b a b b a 1 当且仅当 = 即 a = b = 时“=”成立,故选择 C a b 2 2 1 8y x 8y x 11.D.用均值不等式,得 ( x + 4y )( + ) = 4+ + ≥ 4+2 ? = 8 ,于是,只能有 m ≤ 8 . x 2y x 2y x 2y
?x ≤ 0 ?x > 0 或? ,可解得 ?1 ≤ x ≤ 1 ,故选 A . 12.A.原不等式可转化为不等式组 ? 2 2 ?x + 2 ≥ x ?x + 2 ≥ x
二、填空题 13. ? 12 p x ? 2 y p 10
2

1 2

∵x∈[1,+ ∞ )

∴x2+2x+a>0

14.6

15. 5 ? 2 5

16.-1

14.6.解:A={x|(x-1) <3x+7,x∈R }={x| -1<x<6,x∈R },故 A∩Z={0,1,2,3,4,5},其中有 6 个元素 三、解答题 17.解: A = {x | ?1 < x ≤ 5} . (1) m = 3时, B = {x | ?1 < x < 3} , 当 则 (2)Q A I B = {x | ?1 < x < 4},

∴a>-(x2+2x),令 t=-(x2+2x),x∈[1,+ ∞ ) ,则 t=-(x2+2x)=1-(x+1)2 ∴当 x=1 时,tmax=1-(1+1)2=-3 ∴a>-3 920 920 920 ≤ = , 22. 解:(1)依题意,y= 1600 3 + 2 1600 83 3 + (v + ) v

CU B = {x | x ≤ ?1或x ≥ 3} ∴ A I CU B = {x | 3 ≤ x ≤ 5}

∴ 有4 2 ? 2 × 4 ? m = 0 解得m = 8 此时B = {x | ?2 < x < 4}, 符合题意.
4

1600 920 ,即 v=40 时,上式等号成立.所以 ymax= ≈11.1(千辆/小时). v 83 920v (2)由条件得 2 >10,整理得 v2-89v+1600<0, v + 3v + 1600 即(v-25)(v-64)<0.解得 25<v<64. 答:当 v=40 km/h 时,车流量最大,最大车流量约为 11.1 千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过 10 千辆/ 小时,则汽车的平均速度应大于 25 km/h 且小于 64 km/h.
当且仅当 v=


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