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2013-2014学年第二学期高一数学竞赛


2013-2014 学年第二学期高一数学竞赛
班级 一、填空题 1.已知全集 U={0,1,2} ,A={x|x-m=0} ,如果?UA={0,1} ,则 m= . 学号 姓名

the perimeter of the large rectangle is 30, what is the perimeter of one of the small

squares? A. 5 B. 8 C. 9 D. 10 E. 12





10.甲、乙和丙,一位是山东人,一位是河南人,一位是湖北人。现在只知道:丙比湖北人年龄 大,甲和河南人不同岁,河南人比乙年龄小。下面说法正确的是( )
A. 甲不是湖北人 C. 河南人比山东人年龄大 B. 河南人比甲年龄小 D. 湖北人年龄最小

2.如果 λ>sinx+cosx 对一切实数 x 都成立,则实数 λ 的取值范围是
3.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 S10=100,S100=10,则 S110=

. . .

11.设 n 为正整数,且 3n+1 与 5n-1 皆为完全平方数,对于以下两个命题: 甲:7n+13 必为合数;乙:8(17n2+3n)必为两个平方数的和.你的判断是( A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲乙都对 D. 甲乙都错 )

4.△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c. 若 a2-b2= 3bc, sinC=2 3sinB , 则角 A= 5.已知函数 f ( x) ?

x
2

2

12.已知锐角三角形 ABC 给出下列四个判断:

x ?1

,则


①长为 sin2A,sin2B,sin2C 的三线段一定可以构成一个三角形; ②长为 cosA,cosB,cosC 的三线段一定可以构成一个三角形; ③长为 cosA,cosB,sinC 的三线段一定可以构成一个三角形; ④长为 tanA,tanB,tanC 的三线段一定可以构成一个三角形; 其中,正确的判断有( )个. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 三、解答题 13.已知 A(cos? ,

?1? ?1? ? 1 ? ? 1 ? f ?1? ? f ? 2 ? ? K ? f (2013) ? f ? 2014 ? ? f ? ? ? f ? ? ? L ? f ? ?? f ? ?? ?2? ? 3? ? 2013 ? ? 2014 ?

6.若对任意 x ? A , y ? B , ( A 、 B ? R )有唯一确定的 f ( x, y ) 与之对应,称 f ( x, y ) 为关于 x 、 y
的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数 f ( x, y ) 为关于实数 x 、 y 的广义“距离”: (1)非负性: f ( x, y) ? 0 ,当且仅当 x ? y 时取等号; (2)对称性: f ( x, y ) ? f ( y, x) ; (3)三角形不等式: f ( x, y ) ? f ( x, z ) ? f ( z , y ) 对任意的实数 z 均成立. 今 给 出 四 个 二 元 函 数 :① f ( x, y ) ?| x ? y | ; ② f ( x, y ) ? ( x ? y ) 2 ③ f ( x, y) ? ④ f ( x, y) ? sin( x ? y) .则能够成为关于的 x 、 y 的广义“距离”的函数的所有序号是 二、选择题

sin ? ) . B(cos ? , sin ? ) ,其中 ? 、 ? 为锐角,且 AB= 5 .

10

x? y ;


α 1 (1)求 cos(? ? ? ) 的值; (2)若 tan = ,求 cos? 及 cos ? 的值. 2 2

7.已知 a ? (0, 2) , b ? (1,1) ,则下列结论中正确的是(

r

r



A. (a ? b) ? b

B. (a ? b) ? (a ? b)

C. a // b

r r D. | a |=| b |


8.已知 a ? 0, 且 a ? 1 ,函数 y ? loga x, y ? a x , y ? x ? a 在同一坐标系中的图象可能是(

9.In the figure, the large rectangle is divided into six identical small squares. If

14.在 ?ABC 中,角 A、B、C 对边分别是 a、b、c ,且满足 2 AB ? AC ? a ? (b ? c) .
2 2

16.已知 a1 , a2 ,L a13 成等差数列,设 M ? {ai ? a j ? ak 1 ? i ? j ? k ? 13} ,问 0, , 在 M 中,并证明你的结论.

7 16 是否可以同时 2 3

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 4 3 , ?ABC 的面积为 4 3 ,求 b, c .

15.求证: tan 3o ? Q .(提示:有理数之间的四则运算的结果仍是有理数.)


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