一类条件不等式的P-Q—R证法——一道预赛试题的几篇文章引发的思考

２ ０ １ ４ 年第８ 期　

数 学教 学　

８ － ４ ５ 　

一

类条件不等式 的Ｐ 　Ｑ— Ｒ证法　
一

～

道 预赛试题 的几篇 文章 引发 的思考　
５ １ ０ ５ ３ ０ 广东广州 市第二 中学 程汉波　 ４ ５ ０ ０ ０ １ 河南郑州 外 国语 学校 杨春波　

题目 　（ ２ ０ １ ０ 年 全 国高 中数 学联赛广 东省　 预 赛解答题第 ３ 题） 设 非负实数ａ 、ｂ 、ｃ 满 足　

ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ：ｌ ， 求证： ９ ａ ｂ ｃ ≤０ ６ ＋６ ｃ ＋ ∞ ≤毒 （ １ ＋ 　
９ ａ ｂ ｃ ） ． 　 文［ １ 】 这样证明本题： 由对称性， 不妨设ａ≥ 　
ｂ≥ ｃ ，则０≤ ｃ≤ 　 ≤ ０≤ １ ．于 是 ， ａ ｂ ＋ｂ ｃ＋ 　

形， 读者可参阅． 　 其 实类 似 的条件 不等 式 的证 明 问题 在 国 　 内外竞 赛及期刊杂 志上 曾屡屡 出现 ， 可谓层 出　 不穷 ， 常考常 新．由上述 四篇文章 中的各具特　

ｃ ａ一９ ａ ｂ ｃ ：ａ （ ｂ ＋Ｃ ） ＋（ １ —９ ａ ） ｂ ｃ≥ａ （ １ 一ａ ） ＋ 　

（ １ － ９ 。 ） （ 　 ） 　 ＝ 一 ｌ （ ９ ａ － １ ５ ａ ２ ＋ 　＿ １ ） ． 　
考察函数夕 （ 　 ） ＝一 　（ ９ 　 ３ —１ ５ ｘ ２ ＋７ ｘ 一１ ） ， 　
ｒ１ 　 ’ 　 ‘ ±　

∈｝ 言 ， １ Ｉ ， 知 其有最小 值０ ， 左端 得证； ａ ｂ ＋ ｂ ｃ ＋ 　
ｃ口 一

兰 。 ６ ｃ ： ｃ （ ｎ ＋ ６ ） ＋ 。 ６ （ １ 一 兰 ｃ ） ≤ ｃ （ １ 一 ｃ ） ＋ 　 （ 　） ２ 　 １ 一 兰 ｃ ） ＝ 一 ￣ （ ９ ｃ ３ — ６ ｃ ２ ＋ ｃ ＿ ４ ） ． 　
考察函数九 （ 　 ） ＝一 　（ ９ 　 。 一６ ｘ 。 ＋ 　一４ ） ， 　
ｒ 　 １ 　 １ 　 川 １ 　

色 的解法 我们也可看 到， 该类 问题证法不拘 一　 格， 而宽 阔的思路有时令人手舞足蹈， 不知从哪　 种思路 与方法 下手． 于是促 使笔者 思考：这些　 题 目有没有共 同的背景呢？其本质或渊源又是　 什么 ？有没有统一 的证法？ 　 查 阅资料发现 ， １ ９ ９ ９ 年１ １ 月的 《 中学数学　 教 学参考 》 刊 登 了孙建斌 老师 的短文 《 不等式　 的Ｐ — Ｑ— Ｒ证法 》 ．但 遗憾 的是， 之 后关 于这　 方 法 的论 文甚少．结合 众多 不等 式试题 ， 笔　 者 发 现 以往 竞 赛 中 出现 的很 多 条 件不 等 式， 　 在Ｐ －Ｑ －Ｒ证法前均有章可循， 且 简单易证． 　
一

＝ ａ ３＋ ６ ３＋ ｃ 。 ，

定理 设　 ６ 、 ｃ 均为非负实数， 记Ｐ＝ Ｅ　 ａ ３ 　 Ｑ：１ － Ｉ 　 ａ ＝ａ ｂ ｃ ， Ｒ＝∑ ａ ｂ （ ａ ＋ ｂ ） 　
，

∈ 【 ０ ， 言 Ｊ ， 知 其 有 最 大 值 主 ， 右 端 得 证 ? 　
文ｆ ２ １ 对文 … 的证 法进行 了一 点改进：不　 必引入函数 ９ （ 　 ） 、 　（ 　 ） ， 继续进行如下放缩， 　 左端有 ａ ｂ ＋ｂ ｃ ＋ｃ ａ 一９ ａ ｂ ｃ ≥ａ （ １ 一ａ ） ＋（ １ —９ ａ ） 　

＝ａ ０ ｂ＋ ａ ｂ ０＋ ｂ ２ ｃ＋ ｂ ｃ ２＋ ｃ ２ ａ＋ ｃ ａ ２

则有 ２ Ｐ≥ 　

Ｐ 十３ Ｑ ， ≥Ｒ ≥６ Ｑ． 　 证 明：２ Ｐ ≥Ｐ ＋３ Ｑ￣ ［ Ｉ Ｐ≥３ Ｑ， 这 由三 元　 均值不等式易知； 尸＋３ Ｑ ≥Ｒ即 Ｓ ｃ ｈ ｕ ｒ 不等式　

（ 　 ） ２ ＝ 　 （ ３ ｎ — １ ） 。 ＞ ／ ｏ ， 右 端 有 ｎ ６ ＋ ６ ｃ ＋ 　 六元均值不等式可证． 　 ｃ ａ 一　 ｃ ≤ 一　 １ 　 ３ 合 以上Ｐ —Ｑ ～ Ｒ证 法 ， 我们 给 出２ ０ １ ０ 　 ６ ｃ 　 ＋ ｃ 一 ４ ） ＝ ＝ ： 主 一 　 年全 结 国高中数学 联赛 广东省预赛解答题第 ３ 题　
—

∑ａ （ ａ 一６ ） （ 　一Ｃ ） ≥０ 的等价变形； Ｒ ≥６ Ｑ由 　

ｃ （ ３ ｃ 一１ ） ２／ １ 　
— 　

‘ 　

的新证如下： 　 证明： ａ ｂ ＋ｂ ｃ ＋ｃ ａ＝ （ ａ ｂ ＋ｂ ｃ ＋ｃ ａ ） ｆ ａ ＋ｂ ＋ 　

文ｆ ３ １ 借 助 均值 不 等 式和 Ｓ ｃ ｈ ｕ ｒ 不 等式 给　 出了赛题 的另证：因 ａ＋ｂ ＋Ｃ≥ ３ 　 ， ｎ ６ ＋ 　 ６ ｃ＋ ｃ ａ≥ ３ 　０ ２ ６ ２ ｃ ２ ，两 式 相 乘 即证 得 左 端． 　 由Ｓ ｃ ｈ ｕ ｒ 不 等 式 知， 对 任 意 非 负 实数 ａ 、ｂ 、Ｃ ， 　
１ 　
＝

ｃ ） ＝Ｒ＋３ Ｑ， （ １ ＋９ ａ ｂ ｃ ） ＝ 　（ ａ ＋６ ＋ｃ ） ３ ＋ 　０ ６ ｃ 　

￣ （ Ｐ ＋ １ ５ Ｑ ＋ ３ Ｒ ） ， 原 不 等 式 左端 即 ９ Ｑ≤ Ｒ 十 　
‘ ±　

有（ ０ ＋６ ＋ｃ ） ３ —４ （ Ｄ ＋６ ＋ｃ ） （ ０ ６ ＋６ ｃ ＋ｃ ａ ） ＋９ ａ ｂ ｃ ≥ 　
０ ， 结合 ａ＋ｂ ＋Ｃ ＝ｌ 即得右端 ． 　

１ 　

３ Ｑ， 也即 ６ Ｑ≤Ｒ成立； 右端即 Ｒ＋３ Ｑ≤ 　（ Ｐ＋ 　

１ ５ Ｑ＋３ Ｒ） ， 也即Ｒ≤Ｐ＋３ Ｑ亦成立． 　
以下列 举几 道在 竞赛 与 杂志 中早 已出现　 的类似 问题， 结合上述 定理 给 出其 证 明， 并 指　 出Ｐ — Ｑ— Ｒ 证法是其统一证法与渊源 ． 　

文［ ４ 】 的视角 比较独特， 左端用分析讨论　
的方法 证 明， 右端 则用抽 屉 原理证 明， 文末 又　 指 出不等 式右端 的渊源——Ｓ ｃ ｈ ｕ ｒ 不 等式 的变　

８ － ４ ’ 　
例１ （ 第２ ５ 届Ｉ ＭＯ第 １ 题） 设ｚ 、 　 非负实数， 且　－ Ｉ 　 － 　＋ 　＝１ ， 求证 ： 　
０≤ ｚ 　＋　 ＋　 一２ ： ｒ ￣ ｌ ｚ≤　 ． 　

数 学教 学　
是　

２ ０ １ ４ 年第８ 期　

∑ （ 　 ） （ 　） ≥ 　 ． 　
证明 ： 待 证木等式可化为２ ＋ — ９ ｃ ￣ － ｂ ｃ 一 ２ （ ０ ６ ＋ 　
ｂ ｃ ＋∞） ≥０ ， “ 齐次化” 得　
吐　
一 　

证 明： ｚ 　＋ 　 － Ｉ － ２ ； ２ ｇ 一２ ｘ ｙ 名＝ （ 　 － ｔ 。 － 　名 十 　 ｚ ｘ ） （ ｘ ＋ 　＋ 　 ） 一２ ｘ ｙ ｚ ：∑ ｚ ｙ （ ｚ － Ｉ － 。 　） ＋ 　

＋ 　
ｑ　
‘ ± 　

一 　

ｃ ２ ＋ Ｒ， 　 ２ ７＝ ＝ ＝ 　 （ 　 ＋ 　 ＋ 　 ） 。 ＝ ＝ ＝ 　 （ Ｐ＋ ６ Ｑ＋３ Ｒ） ? 　
于 是， 原 不 等 式 左 端 即Ｑ － ４ ｌ － Ｒ ≥０ 成立； 右　

＋ｂ ＋ｃ ） （ 口 ６ ＋ｂ ｃ ＋ｃ ｎ ） ≥０ ， 即 　 ． Ｌ Ｉ （ Ｐ＋６ Ｑ＋ 　
３ Ｒ） 一 　Ｑ —Ｒ ≥０ ， 或Ｐ＋３ Ｑ ≥． Ｒ ， 成 立． 　
例５ （ 《 数 学通 讯 》 ２ ０ １ ０ 年９ 月 上（ 学 生　

端 即Ｑ ＋Ｒ ≤ 　 （ Ｐ 　 ４ ． － ６ Ｑ ＋３ Ｒ ） ， 也 即６ 　≤ 　 ７ Ｐ＋ １ ５ Ｑ， 可 由Ｒ ≤ ２ Ｐ及５ Ｒ ≤５ （ Ｐ＋３ Ｑ） 　 相　
加得 到． 　

刊） 征解 问题 ２ ７ ） 设　 ｃ∈Ｒ＋ ， 且ａ ＋ｂ ＋ ｃ ： 　 ３ ， 求证： ２ （ ａ ３ 　 ｂ ３ ＋ｃ ３ ） ＋３ ａ ｂ ｃ ≥９ ． 　

例２ （ 前 苏联 奥林 匹克数 学竞赛试 题） 设　 △Ａ８ 　的三边为 ａ 、 ｂ 、Ｃ ， 且０ ＋６ ＋ｃ ：１ ， 求证 ： 　
＋４ ａ ｂ ｃ≥ 丽 １ ． ０ ０ 　＋ｂ ２ 　 ４ － ｃ ２
．

证明： 原不等式即２ Ｐ＋３ Ｑ≥妄 （ Ｐ＋６ Ｑ＋ 　
３ Ｒ） ， 或５ Ｐ＋３ Ｑ ≥３ Ｒ ， 这 由Ｐ ＋３ Ｑ≥Ｒ 及４ Ｐ≥ 　 ２ Ｒ 相加可 得． 　 通过 以上例题可 以看 出， 证 明这类条件不　
等式 的Ｐ — Ｑ— Ｒ证 法 基 本 思 想 是： 以Ｐ、Ｑ、 　 这 三 个 代 数 式 为 基 本 量，利 用 题 设 条 件， 　 通过“ 齐 次 化” 的手 段， 将 待 证 不 等 式 转 化 为　 三 个 基 本 量 的不 等 式 ， 再用 不等关系２ Ｐ ≥ 　 Ｐ＋３ Ｑ ≥Ｒ ≥ ６ Ｑ去证　思路清 晰， 方法独特， 　 可谓 为该 类不 等式 证 明提供 了一 种直 接 可行　 的“ 灵丹妙药” ． 　 参考 文献　

． 　

证 明 ：ａ ２＋ ６ ０＋ ｅ ２－ ４ ． －４ ａ ｂ ｅ＝ ｆ ０ ２＋ ｂ ２＋　

ｃ 　 ） ＠ ＋ｂ ． Ｌ 　 ｃ ） ＋４ ａ ｂ ｅ； Ｐ－ ｑ － 。 Ｒ 　 ４ ． － ４ Ｑ； 　１ ． ０＝ 　 （ 。＋６ ＋ｃ ） ３： 　 （ Ｐ＋６ Ｑ＋３ Ｒ） ， 于是Ｉ Ｎ ． 　
不 等 式 即Ｐ ＋ Ｒ ＋４ Ｑ≥ 　 ｘ ｏ 　 ． ｐ＋６ Ｑ十３ Ｒ ） ， 　
、

６ Ｒ≤７ Ｐ＋１ ５ Ｑ， 在例 １ 中 已证． 　

例３ （ 《 数学通讯》 竞赛之窗 １ ９ ９ ２ 年第 １ １ 　

期 问题３ １ ） 设ＡＡ ＢＣ的三 边ａ 、ｂ 、ｃ 满 足 ａ＋ 　 ｂ ＋ｃ ：１ ， 求证： ５ （ ａ 　 ｂ ２ ＋Ｃ ２ ） ＋１ ８ ａ ｂ ｃ ≥ 　． 　
证 明： 同例 ２ ，原 不 等 式 即５ （ Ｐ ＋ Ｒ） ＋ 　

［ １ ］ 侯典峰． 一道预赛解答题 的另证　 ． 中　 学数学， ２ ｏ ｌ ｏ （ ２ ３ ） ： ２ ６ ． 　 １ ８ Ｑ≥ 　（ Ｐ＋ ６ Ｑ ＋３ Ｒ ） ， ４ Ｐ ＋６ Ｑ≥３ Ｒ， 这　 ［ ２ ］ 马 占 山， 江 国柱 ． 一 道 预 赛 试 题 的 另　 由２ （ Ｐ＋３ Ｑ） ≥２ Ｒ 及２ Ｐ ≥Ｒ相加可得 ． 　 证ｆ Ｊ ］ ． 数学通讯， ２ ｏ １ １ （ ６ ） ： ６ １ － ６ ２ ． 　 例４ （ 《 数学通报》 问题 １ ８ ａ ｏ ） 设纵 ｂ 、Ｃ ∈ 　 ［ ３ ］ 苏立志． 一道预赛不等式的简证 ｆ Ｊ ］ ． 数　 Ｒ＋ ， 且 ｎ＋ｂ ＋ｃ ＝２ ， 求证 ： 　 学通讯， ２ ｏ １ １ （ ６ ） ： ６ ２ ． 　
～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ｒ　 ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ Ｎ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ 　

（ 上接封底） 　
Ｎｕ ｍｅ ｒ ａ ｃ ｙ 　Ｃａ ｍｐ ａ ｉ ｇ ｎ： 　 Ｗ ｈａ ｔ 　Ｗ ｅ 　Ｃａ ｎ 　 Ｌｅ ａ ｒ ｎ 　 Ｐｒ ｏ ｍ　 Ｃｈ ｉ ｎ ａ ？ 　

中国数 学教育重视基础 的优 良传 统， 一线教师　 驾驭数 学 内容和设计教 学过程 的能力， 必 定有　 许 多西方 国家所不及 的地方． 因此我们对 外要　
讲好 中国故事， 对 内要克服存在的缺点． 　

意思是在儿童 的数字 计算方面， 英 国可 以 　 向中国学 习什 么 ？不仅如此 ， 英 国教 育副大 臣　 随后访 问上 海， 寻求提高英 国学 生数 学成绩之　

夜 郎 自大固然要不得， 妄 自菲 薄 同样不可　 取 ．振作起 来， 到世界上 去说好 数学 教育 的中　 国故事， 是我们 的一份 责任．我们 不能在 一场　 文化战争 中 自行缴械 ， 输掉尊严． 　

路．值得 关注 的是， 我们 是否 已经讲好这 段 中 　 国故事？中国数学教育尽管会有这样那样 的缺　
点， 走 出应试教育 的阴影还有很长 的路． 然 而，