2 0 1 4 年第8 期
数 学教 学
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一
类条件不等式 的P Q— R证法
一
~
道 预赛试题 的几篇 文章 引发 的思考
5 1 0 5 3 0 广东广州 市第二 中学 程汉波 4 5 0 0 0 1 河南郑州 外 国语 学校 杨春波
题目 ( 2 0 1 0 年 全 国高 中数 学联赛广 东省 预 赛解答题第 3 题) 设 非负实数a 、b 、c 满 足
a + b + c :l , 求证: 9 a b c ≤0 6 +6 c + ∞ ≤毒 ( 1 +
9 a b c ) . 文[ 1 】 这样证明本题: 由对称性, 不妨设a≥
b≥ c ,则0≤ c≤ ≤ 0≤ 1 .于 是 , a b +b c+
形, 读者可参阅. 其 实类 似 的条件 不等 式 的证 明 问题 在 国 内外竞 赛及期刊杂 志上 曾屡屡 出现 , 可谓层 出 不穷 , 常考常 新.由上述 四篇文章 中的各具特
c a一9 a b c :a ( b +C ) +( 1 —9 a ) b c≥a ( 1 一a ) +
( 1 - 9 。 ) ( ) = 一 l ( 9 a - 1 5 a 2 + _ 1 ) .
考察函数夕 ( ) =一 ( 9 3 —1 5 x 2 +7 x 一1 ) ,
r1 ’ ‘ ±
∈} 言 , 1 I , 知 其有最小 值0 , 左端 得证; a b + b c +
c口 一
兰 。 6 c : c ( n + 6 ) + 。 6 ( 1 一 兰 c ) ≤ c ( 1 一 c ) + ( ) 2 1 一 兰 c ) = 一  ̄ ( 9 c 3 — 6 c 2 + c _ 4 ) .
考察函数九 ( ) =一 ( 9 。 一6 x 。 + 一4 ) ,
r 1 1 川 1
色 的解法 我们也可看 到, 该类 问题证法不拘 一 格, 而宽 阔的思路有时令人手舞足蹈, 不知从哪 种思路 与方法 下手. 于是促 使笔者 思考:这些 题 目有没有共 同的背景呢?其本质或渊源又是 什么 ?有没有统一 的证法? 查 阅资料发现 , 1 9 9 9 年1 1 月的 《 中学数学 教 学参考 》 刊 登 了孙建斌 老师 的短文 《 不等式 的P — Q— R证法 》 .但 遗憾 的是, 之 后关 于这 方 法 的论 文甚少.结合 众多 不等 式试题 , 笔 者 发 现 以往 竞 赛 中 出现 的很 多 条 件不 等 式, 在P -Q -R证法前均有章可循, 且 简单易证.
一
= a 3+ 6 3+ c 。 ,
定理 设 6 、 c 均为非负实数, 记P= E a 3 Q:1 - I a =a b c , R=∑ a b ( a + b )
,
∈ 【 0 , 言 J , 知 其 有 最 大 值 主 , 右 端 得 证 ?
文f 2 1 对文 … 的证 法进行 了一 点改进:不 必引入函数 9 ( ) 、 ( ) , 继续进行如下放缩, 左端有 a b +b c +c a 一9 a b c ≥a ( 1 一a ) +( 1 —9 a )
=a 0 b+ a b 0+ b 2 c+ b c 2+ c 2 a+ c a 2
则有 2 P≥
P 十3 Q , ≥R ≥6 Q. 证 明:2 P ≥P +3 Q ̄ [ I P≥3 Q, 这 由三 元 均值不等式易知; 尸+3 Q ≥R即 S c h u r 不等式
( ) 2 = ( 3 n — 1 ) 。 > / o , 右 端 有 n 6 + 6 c + 六元均值不等式可证. c a 一 c ≤ 一 1 3 合 以上P —Q ~ R证 法 , 我们 给 出2 0 1 0 6 c + c 一 4 ) = = : 主 一 年全 结 国高中数学 联赛 广东省预赛解答题第 3 题
—
∑a ( a 一6 ) ( 一C ) ≥0 的等价变形; R ≥6 Q由
c ( 3 c 一1 ) 2/ 1
—
‘
的新证如下: 证明: a b +b c +c a= ( a b +b c +c a ) f a +b +
文f 3 1 借 助 均值 不 等 式和 S c h u r 不 等式 给 出了赛题 的另证:因 a+b +C≥ 3 , n 6 + 6 c+ c a≥ 3 0 2 6 2 c 2 ,两 式 相 乘 即证 得 左 端. 由S c h u r 不 等 式 知, 对 任 意 非 负 实数 a 、b 、C ,
1
=
c ) =R+3 Q, ( 1 +9 a b c ) = ( a +6 +c ) 3 + 0 6 c
 ̄ ( P + 1 5 Q + 3 R ) , 原 不 等 式 左端 即 9 Q≤ R 十
‘ ±
有( 0 +6 +c ) 3 —4 ( D +6 +c ) ( 0 6 +6 c +c a ) +9 a b c ≥
0 , 结合 a+b +C =l 即得右端 .
1
3 Q, 也即 6 Q≤R成立; 右端即 R+3 Q≤ ( P+
1 5 Q+3 R) , 也即R≤P+3 Q亦成立.
以下列 举几 道在 竞赛 与 杂志 中早 已出现 的类似 问题, 结合上述 定理 给 出其 证 明, 并 指 出P — Q— R 证法是其统一证法与渊源 .
文[ 4 】 的视角 比较独特, 左端用分析讨论
的方法 证 明, 右端 则用抽 屉 原理证 明, 文末 又 指 出不等 式右端 的渊源——S c h u r 不 等式 的变
8 - 4 ’
例1 ( 第2 5 届I MO第 1 题) 设z 、 非负实数, 且 - I - + =1 , 求证 :
0≤ z + + 一2 : r  ̄ l z≤ .
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是
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∑ ( ) ( ) ≥ .
证明 : 待 证木等式可化为2 + — 9 c  ̄ - b c 一 2 ( 0 6 +
b c +∞) ≥0 , “ 齐次化” 得
吐
一
证 明: z + - I - 2 ; 2 g 一2 x y 名= ( - t 。 - 名 十 z x ) ( x + + ) 一2 x y z :∑ z y ( z - I - 。 ) +
+
q
‘ ±
一
c 2 + R, 2 7= = = ( + + ) 。 = = = ( P+ 6 Q+3 R) ?
于 是, 原 不 等 式 左 端 即Q - 4 l - R ≥0 成立; 右
+b +c ) ( 口 6 +b c +c n ) ≥0 , 即 . L I ( P+6 Q+
3 R) 一 Q —R ≥0 , 或P+3 Q ≥. R , 成 立.
例5 ( 《 数 学通 讯 》 2 0 1 0 年9 月 上( 学 生
端 即Q +R ≤ ( P 4 . - 6 Q +3 R ) , 也 即6 ≤ 7 P+ 1 5 Q, 可 由R ≤ 2 P及5 R ≤5 ( P+3 Q) 相
加得 到.
刊) 征解 问题 2 7 ) 设 c∈R+ , 且a +b + c : 3 , 求证: 2 ( a 3 b 3 +c 3 ) +3 a b c ≥9 .
例2 ( 前 苏联 奥林 匹克数 学竞赛试 题) 设 △A8 的三边为 a 、 b 、C , 且0 +6 +c :1 , 求证 :
+4 a b c≥ 丽 1 . 0 0 +b 2 4 - c 2
.
证明: 原不等式即2 P+3 Q≥妄 ( P+6 Q+
3 R) , 或5 P+3 Q ≥3 R , 这 由P +3 Q≥R 及4 P≥ 2 R 相加可 得. 通过 以上例题可 以看 出, 证 明这类条件不
等式 的P — Q— R证 法 基 本 思 想 是: 以P、Q、 这 三 个 代 数 式 为 基 本 量,利 用 题 设 条 件, 通过“ 齐 次 化” 的手 段, 将 待 证 不 等 式 转 化 为 三 个 基 本 量 的不 等 式 , 再用 不等关系2 P ≥ P+3 Q ≥R ≥ 6 Q去证 思路清 晰, 方法独特, 可谓 为该 类不 等式 证 明提供 了一 种直 接 可行 的“ 灵丹妙药” . 参考 文献
.
证 明 :a 2+ 6 0+ e 2- 4 . -4 a b e= f 0 2+ b 2+
c ) @ +b . L c ) +4 a b e; P- q - 。 R 4 . - 4 Q; 1 . 0= ( 。+6 +c ) 3: ( P+6 Q+3 R) , 于是I N .
不 等 式 即P + R +4 Q≥ x o . p+6 Q十3 R ) ,
、
6 R≤7 P+1 5 Q, 在例 1 中 已证.
例3 ( 《 数学通讯》 竞赛之窗 1 9 9 2 年第 1 1
期 问题3 1 ) 设AA BC的三 边a 、b 、c 满 足 a+ b +c :1 , 求证: 5 ( a b 2 +C 2 ) +1 8 a b c ≥ .
证 明: 同例 2 ,原 不 等 式 即5 ( P + R) +
[ 1 ] 侯典峰. 一道预赛解答题 的另证 . 中 学数学, 2 o l o ( 2 3 ) : 2 6 . 1 8 Q≥ ( P+ 6 Q +3 R ) , 4 P +6 Q≥3 R, 这 [ 2 ] 马 占 山, 江 国柱 . 一 道 预 赛 试 题 的 另 由2 ( P+3 Q) ≥2 R 及2 P ≥R相加可得 . 证f J ] . 数学通讯, 2 o 1 1 ( 6 ) : 6 1 - 6 2 . 例4 ( 《 数学通报》 问题 1 8 a o ) 设纵 b 、C ∈ [ 3 ] 苏立志. 一道预赛不等式的简证 f J ] . 数 R+ , 且 n+b +c =2 , 求证 : 学通讯, 2 o 1 1 ( 6 ) : 6 2 .
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ r ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ N ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
( 上接封底)
Nu me r a c y Ca mp a i g n: W ha t W e Ca n Le a r n Pr o m Ch i n a ?
中国数 学教育重视基础 的优 良传 统, 一线教师 驾驭数 学 内容和设计教 学过程 的能力, 必 定有 许 多西方 国家所不及 的地方. 因此我们对 外要
讲好 中国故事, 对 内要克服存在的缺点.
意思是在儿童 的数字 计算方面, 英 国可 以 向中国学 习什 么 ?不仅如此 , 英 国教 育副大 臣 随后访 问上 海, 寻求提高英 国学 生数 学成绩之
夜 郎 自大固然要不得, 妄 自菲 薄 同样不可 取 .振作起 来, 到世界上 去说好 数学 教育 的中 国故事, 是我们 的一份 责任.我们 不能在 一场 文化战争 中 自行缴械 , 输掉尊严.
路.值得 关注 的是, 我们 是否 已经讲好这 段 中 国故事?中国数学教育尽管会有这样那样 的缺
点, 走 出应试教育 的阴影还有很长 的路. 然 而,