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一类条件不等式的P-Q—R证法——一道预赛试题的几篇文章引发的思考


2 0 1 4 年第8 期 

数 学教 学 

8 - 4 5  



类条件不等式 的P  Q— R证法 




道 预赛试题 的几篇 文章 引发 的思考 
5 1 0 5 3 0 广东广州 市第二 中学 程汉波  4 5 0

0 0 1 河南郑州 外 国语 学校 杨春波 

题目  ( 2 0 1 0 年 全 国高 中数 学联赛广 东省  预 赛解答题第 3 题) 设 非负实数a 、b 、c 满 足 

a + b + c :l , 求证: 9 a b c ≤0 6 +6 c + ∞ ≤毒 ( 1 +  
9 a b c ) .   文[ 1 】 这样证明本题: 由对称性, 不妨设a≥  
b≥ c ,则0≤ c≤   ≤ 0≤ 1 .于 是 , a b +b c+  

形, 读者可参阅.   其 实类 似 的条件 不等 式 的证 明 问题 在 国   内外竞 赛及期刊杂 志上 曾屡屡 出现 , 可谓层 出  不穷 , 常考常 新.由上述 四篇文章 中的各具特 

c a一9 a b c :a ( b +C ) +( 1 —9 a ) b c≥a ( 1 一a ) +  

( 1 - 9 。 ) (   )   = 一 l ( 9 a - 1 5 a 2 +  _ 1 ) .  
考察函数夕 (   ) =一  ( 9   3 —1 5 x 2 +7 x 一1 ) ,  
r1   ’   ‘ ± 

∈} 言 , 1 I , 知 其有最小 值0 , 左端 得证; a b + b c +  
c口 一

兰 。 6 c : c ( n + 6 ) + 。 6 ( 1 一 兰 c ) ≤ c ( 1 一 c ) +   (  ) 2   1 一 兰 c ) = 一  ̄ ( 9 c 3 — 6 c 2 + c _ 4 ) .  
考察函数九 (   ) =一  ( 9   。 一6 x 。 +  一4 ) ,  
r   1   1   川 1  

色 的解法 我们也可看 到, 该类 问题证法不拘 一  格, 而宽 阔的思路有时令人手舞足蹈, 不知从哪  种思路 与方法 下手. 于是促 使笔者 思考:这些  题 目有没有共 同的背景呢?其本质或渊源又是  什么 ?有没有统一 的证法?   查 阅资料发现 , 1 9 9 9 年1 1 月的 《 中学数学  教 学参考 》 刊 登 了孙建斌 老师 的短文 《 不等式  的P — Q— R证法 》 .但 遗憾 的是, 之 后关 于这  方 法 的论 文甚少.结合 众多 不等 式试题 , 笔  者 发 现 以往 竞 赛 中 出现 的很 多 条 件不 等 式,   在P -Q -R证法前均有章可循, 且 简单易证.  


= a 3+ 6 3+ c 。 ,

定理 设  6 、 c 均为非负实数, 记P= E  a 3   Q:1 - I   a =a b c , R=∑ a b ( a + b )  


∈ 【 0 , 言 J , 知 其 有 最 大 值 主 , 右 端 得 证 ?  
文f 2 1 对文 … 的证 法进行 了一 点改进:不  必引入函数 9 (   ) 、  (   ) , 继续进行如下放缩,   左端有 a b +b c +c a 一9 a b c ≥a ( 1 一a ) +( 1 —9 a )  

=a 0 b+ a b 0+ b 2 c+ b c 2+ c 2 a+ c a 2

则有 2 P≥  

P 十3 Q , ≥R ≥6 Q.   证 明:2 P ≥P +3 Q ̄ [ I P≥3 Q, 这 由三 元  均值不等式易知; 尸+3 Q ≥R即 S c h u r 不等式 

(   ) 2 =   ( 3 n — 1 ) 。 > / o , 右 端 有 n 6 + 6 c +   六元均值不等式可证.   c a 一  c ≤ 一  1   3 合 以上P —Q ~ R证 法 , 我们 给 出2 0 1 0   6 c   + c 一 4 ) = = : 主 一   年全 结 国高中数学 联赛 广东省预赛解答题第 3 题 


∑a ( a 一6 ) (  一C ) ≥0 的等价变形; R ≥6 Q由  

c ( 3 c 一1 ) 2/ 1  
—  

‘  

的新证如下:   证明: a b +b c +c a= ( a b +b c +c a ) f a +b +  

文f 3 1 借 助 均值 不 等 式和 S c h u r 不 等式 给  出了赛题 的另证:因 a+b +C≥ 3   , n 6 +   6 c+ c a≥ 3  0 2 6 2 c 2 ,两 式 相 乘 即证 得 左 端.   由S c h u r 不 等 式 知, 对 任 意 非 负 实数 a 、b 、C ,  
1  


c ) =R+3 Q, ( 1 +9 a b c ) =  ( a +6 +c ) 3 +  0 6 c  

 ̄ ( P + 1 5 Q + 3 R ) , 原 不 等 式 左端 即 9 Q≤ R 十  
‘ ± 

有( 0 +6 +c ) 3 —4 ( D +6 +c ) ( 0 6 +6 c +c a ) +9 a b c ≥  
0 , 结合 a+b +C =l 即得右端 .  

1  

3 Q, 也即 6 Q≤R成立; 右端即 R+3 Q≤  ( P+  

1 5 Q+3 R) , 也即R≤P+3 Q亦成立.  
以下列 举几 道在 竞赛 与 杂志 中早 已出现  的类似 问题, 结合上述 定理 给 出其 证 明, 并 指  出P — Q— R 证法是其统一证法与渊源 .  

文[ 4 】 的视角 比较独特, 左端用分析讨论 
的方法 证 明, 右端 则用抽 屉 原理证 明, 文末 又  指 出不等 式右端 的渊源——S c h u r 不 等式 的变 

8 - 4 ’  
例1 ( 第2 5 届I MO第 1 题) 设z 、   非负实数, 且 - I   -  +  =1 , 求证 :  
0≤ z  +  +  一2 : r  ̄ l z≤  .  

数 学教 学 
是 

2 0 1 4 年第8 期 

∑ (   ) (  ) ≥   .  
证明 : 待 证木等式可化为2 + — 9 c  ̄ - b c 一 2 ( 0 6 +  
b c +∞) ≥0 , “ 齐次化” 得 
吐 
一  

证 明: z  +   - I - 2 ; 2 g 一2 x y 名= (   - t 。 -  名 十   z x ) ( x +  +   ) 一2 x y z :∑ z y ( z - I - 。  ) +  

+  
q 
‘ ±  

一  

c 2 + R,   2 7= = =   (   +   +   ) 。 = = =   ( P+ 6 Q+3 R) ?  
于 是, 原 不 等 式 左 端 即Q - 4 l - R ≥0 成立; 右 

+b +c ) ( 口 6 +b c +c n ) ≥0 , 即   . L I ( P+6 Q+  
3 R) 一  Q —R ≥0 , 或P+3 Q ≥. R , 成 立.  
例5 ( 《 数 学通 讯 》 2 0 1 0 年9 月 上( 学 生 

端 即Q +R ≤   ( P   4 . - 6 Q +3 R ) , 也 即6  ≤   7 P+ 1 5 Q, 可 由R ≤ 2 P及5 R ≤5 ( P+3 Q)   相 
加得 到.  

刊) 征解 问题 2 7 ) 设  c∈R+ , 且a +b + c :   3 , 求证: 2 ( a 3   b 3 +c 3 ) +3 a b c ≥9 .  

例2 ( 前 苏联 奥林 匹克数 学竞赛试 题) 设  △A8  的三边为 a 、 b 、C , 且0 +6 +c :1 , 求证 :  
+4 a b c≥ 丽 1 . 0 0  +b 2   4 - c 2


证明: 原不等式即2 P+3 Q≥妄 ( P+6 Q+  
3 R) , 或5 P+3 Q ≥3 R , 这 由P +3 Q≥R 及4 P≥   2 R 相加可 得.   通过 以上例题可 以看 出, 证 明这类条件不 
等式 的P — Q— R证 法 基 本 思 想 是: 以P、Q、   这 三 个 代 数 式 为 基 本 量,利 用 题 设 条 件,   通过“ 齐 次 化” 的手 段, 将 待 证 不 等 式 转 化 为  三 个 基 本 量 的不 等 式 , 再用 不等关系2 P ≥   P+3 Q ≥R ≥ 6 Q去证 思路清 晰, 方法独特,   可谓 为该 类不 等式 证 明提供 了一 种直 接 可行  的“ 灵丹妙药” .   参考 文献 

.  

证 明 :a 2+ 6 0+ e 2- 4 . -4 a b e= f 0 2+ b 2+ 

c   ) @ +b . L   c ) +4 a b e; P- q - 。 R   4 . - 4 Q;  1 . 0=   ( 。+6 +c ) 3:   ( P+6 Q+3 R) , 于是I N .  
不 等 式 即P + R +4 Q≥   x o   . p+6 Q十3 R ) ,  


6 R≤7 P+1 5 Q, 在例 1 中 已证.  

例3 ( 《 数学通讯》 竞赛之窗 1 9 9 2 年第 1 1  

期 问题3 1 ) 设AA BC的三 边a 、b 、c 满 足 a+   b +c :1 , 求证: 5 ( a   b 2 +C 2 ) +1 8 a b c ≥  .  
证 明: 同例 2 ,原 不 等 式 即5 ( P + R) +  

[ 1 ] 侯典峰. 一道预赛解答题 的另证  . 中  学数学, 2 o l o ( 2 3 ) : 2 6 .   1 8 Q≥  ( P+ 6 Q +3 R ) , 4 P +6 Q≥3 R, 这  [ 2 ] 马 占 山, 江 国柱 . 一 道 预 赛 试 题 的 另  由2 ( P+3 Q) ≥2 R 及2 P ≥R相加可得 .   证f J ] . 数学通讯, 2 o 1 1 ( 6 ) : 6 1 - 6 2 .   例4 ( 《 数学通报》 问题 1 8 a o ) 设纵 b 、C ∈   [ 3 ] 苏立志. 一道预赛不等式的简证 f J ] . 数  R+ , 且 n+b +c =2 , 求证 :   学通讯, 2 o 1 1 ( 6 ) : 6 2 .  
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ r  ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ N ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~  

( 上接封底)  
Nu me r a c y  Ca mp a i g n:   W ha t  W e  Ca n   Le a r n   Pr o m  Ch i n a ?  

中国数 学教育重视基础 的优 良传 统, 一线教师  驾驭数 学 内容和设计教 学过程 的能力, 必 定有  许 多西方 国家所不及 的地方. 因此我们对 外要 
讲好 中国故事, 对 内要克服存在的缺点.  

意思是在儿童 的数字 计算方面, 英 国可 以   向中国学 习什 么 ?不仅如此 , 英 国教 育副大 臣  随后访 问上 海, 寻求提高英 国学 生数 学成绩之 

夜 郎 自大固然要不得, 妄 自菲 薄 同样不可  取 .振作起 来, 到世界上 去说好 数学 教育 的中  国故事, 是我们 的一份 责任.我们 不能在 一场  文化战争 中 自行缴械 , 输掉尊严.  

路.值得 关注 的是, 我们 是否 已经讲好这 段 中   国故事?中国数学教育尽管会有这样那样 的缺 
点, 走 出应试教育 的阴影还有很长 的路. 然 而,  


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