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第五届陈省身杯全国高中奥数试题


第五届陈省身杯全国高中数学奥林匹克
第 一 天
18:00—21:00) (2014 年 7 月 25 日 1.如图,已知锐角 △ ABC 满足 AB ? AC ,
O、H 分别为△ABC 的外心、垂心,直线 BH 与 AC 交于点 B1 ,直线 CH 与 AB 交于点 C1 .若

OH // B1C1 ,证明: cos 2 B

? cos 2C ? 1 ? 0.

2.设 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ?n ? 3? .证明:

x x x x x x x1 x2 x2 x3 ? ? ? ? n ? 2 n ?1 ? n ?1 n ? n 1 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , x3 x4 xn x1 x2
并给出等号成立的充分必要条件.

3.证明:空间直角坐标系第一卦限(x、y、z 坐标均大于 0)中存在一个边长 为 2014 的立方体,其内部恰有 2014 个素点(即 x、y、z 三个坐标轴的坐标均为 素数的格点).

4.御天敌为了挽救塞伯坦星球,在地球上建立了由 n?n ? 3? 个能量柱组成的 太空桥,这些能量柱竖立在一个平面的 n 个点上,任意三点不共线.其启动方式 为:任意选定一个能量柱,从其发出一道激光,该能量柱将激光逆时针旋转,当激 光遇到另一个能量柱时,停止旋转; 第二个能量柱接收到激光后,将其反射并逆时 针旋转,当反射的激光遇到下一个能量柱时,停止旋转;如此下去.若激光进行的 路径组成一条有向环路,则启动成功.证明:存在成功的启动方式,且成功启动方 式所对应的环路个数不大于 2n .






18:00—21:00)

(2014 年 7 月 26 日

5.如图,已知锐角△ABC 的外接圆为 ?O ,过点 A 作 ?O 的切线 l ,l 与直线

? 上的一点,直线 EF 与劣 BC 交于点 D , E 是 DA 延长线上的一点, F 是劣弧 BC
弧? AB 交于点 G ,直线 FB 、 GC 分别与 l 交于点 P、Q.证明: AD ? AE 的充分必 要条件为 AP ? AQ .

6.已知对任意 x、y、z ? 0, 有

x 3 ? y 3 ? z 3 ? 3 xyz ? c ? x ? y ?? y ? z ?? z ? x ? .
求 c 的最大值. 7. 用 r ?n ? 表 示 n 被 1,2,? , n ? 1 除 所 得 余 数 的 和 . 试 求 所 有 正 整 数

m (1 ? m ? 2 014) ,使得 r ?m ? ? r ?m ? 1? .
8. n(n ? 3) 个盒子围成一圈, 按逆时针方向依次分别放入 1 只球, 2 只球, …, n 只球,然后进行如下操作:选择三个相邻的盒子,分别放入 1 只球或在此三个 盒子均非空的前提下分别拿走 1 只球.求所有的正整数 k,使得可经过有限次操 作,n 个盒子中均恰有 k 只球.


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