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§2.4 平面向量的坐标


阜南一中博雅 1+1 高效课堂导学案 编制人:_赵静_ 审核人:__应莉__ 领导签字:__________ 编号:_54_时间:





日 小组:_____ 姓名:______ 组内评价:______ 教师评价:______

§2.4 平面向量的坐标
学习目标

/>导 学 案 装 订 线

1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; 2.会用坐标表示平面向量的加法,减法与数乘运算; 3 掌握平面向量共线的坐标表示; 4 掌握用平面向量共线的坐标表示证明点共线和线平行; 5 激情投入,自主学习,合作探究,养成严谨的学习习惯,增强应用 所学知识解决实际问题的能力。

量的坐标表示,实质上是向量的代数表示,引入向量坐标表示后,可 使向量运算完全代数化, 将数与形紧密结合起来, 从而使许多问题的 证明转化为熟知的数量运算,使证明得以简化。 3.平面向量的坐标运算 (1)加法.减法.数乘运算 向 量 坐 标

探究案
学习建议,请同学们认真思考这些问题,并结合预习中自己的疑 惑开始下面的探究 例 1.已知 A(1,-2) ,B(2,1) ,C(3,2)和 D(-2,3) ,以 AB 、 AC r uuu uuu r uuu r 为一组基底来表示 AD + BD + CD .

a
( x1 , y1 )

b
( x2 , y2 )

a +b

a -b

?a

uuu r

重点:平面向量的坐标表示 难点:对平面向量运算坐标表示的理解

(2) 向量坐标的求法: 已知 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB = = 点的坐标.

____

,即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始

r (3)已知 a = ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,①平面向量共线判定定理的坐标

预习案
一.知识链接 1.平面向量的线性运算法则是怎样的? 2.平面向量基本定理的内容是什么? 3.两个向量共线的条件是什么? 二.教材助读 1. 把一个向量分解为 两个互相垂直的向量 ,叫做把向量正交分解. 向量的正交分解是向量分解的 特殊形式 。 2.平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴正方向 的两个 单位向量 i, j 作为基底,对于平面内的任意一个向量 a ,有且只有一 对实数 x、y 使 ,把有序数对 叫做向量 a 的坐标,记 作 ,其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐 标。 特别的, x 轴正方向上的单位向量坐标为 ,y 轴正方向上的单 r 位向量坐标为 , 0 的坐标为 。 (2)设 OA ? xi ? y j ,则向量 OA 的坐标(x,y)就是 的坐标, 即若 OA =(x,y),则 A.点坐标为(x, y),反之亦成立.(O 为坐标 原点) (3)一点说明:①直角坐标系中,向量 OA 具有特殊的意义,在解 决很多问题时,常常需要把自由向量移到原点,我们把向量 OA 作为 与它相等的所有向量的一个代表。 ②全体有序实数对与坐标平面内的 所有向量之间可以建立一一对应关系。 因此在平面直角坐标系中, 点 或向量都可以看作有序实数对的直观形象。符号(x,y)在直角坐标 系中有了双重意义, 它既可以表示一个固定的点, 又可以表示一个向 量,为了加以区分,在叙述中,常说点(x,y) ,或向量(x,y) 。③向

表示: ②平面向量共线的性质定理的坐标表示:

注:因为 0 与任何向量共线,所以有:设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,, 则 a 与 b 共线 ? ____________. 三.预习自测 1.若将向量 a =(1,1)绕原点按逆时针方向旋转

r

? ,得到向量 b , 4

r r r r r r 例 2.已知 a = (1,2) ,b = (-3,2) , 当 k 为何值时,k a ? b 与 a ? 3b 平行,平行时它们是同向还是反向?

则向量 b 的坐标为_____ r r 2.已知 a = (2,3) , b =(-1,2) ,则 2 a -3 b 等于( ) A.(5,1) B.(5,-3) C.(7,0) D.(-7,0)

P 3.已知 M (3,?2),N (?5,?1), 且M
( ? 4, ) A. 1 2 (?1, ? B. 3 ) 2

1 ? M N 2

, 则 P 点的坐标 (



(1, ) C.


3 2

(8,?1) D.

4.下列各组向量是相互平行的是( A. a .=(-2,3) , b =(3,5)

uur

B. a =(3,2) , b =(2,3) )

uur

C. a =(2,-1) , b =(1,4) D. a =(-2,1) , b =(4,-2) 5.已知 a =(-1,3) , b =(x,-1) ,且 a ∥ b ,则 x 等于( A.3
1 B. 3

C.-3

1 D.- 3

【我的疑问】请将预习中不能解决的问题写下来,供课堂解决。

科目:数学

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例 3.已知平面上三点分别为 A(2,1),B(1,3),C(3,4),求点 D 的坐标, 使这四点构成平行四边形 ABCD。

例 4.已知 A(4,0) ,B(4,4),C(2,6),求 AC 和 OB 交点 P 的坐标。

训练案
1.已知三点 P(1,?2), Q(2,3), R(?3, y) 共线,则 y ? ( A. ? 2 ) B. ? 22 C. 2 D. 22 3 1 2.设 a =( ,sinα ) , b =(cosα , ) ,若 a 、 b 同向,则 2 3 tanα = 。 3. (1) 已知点 A(1,?2), B(?3,4) ,点 P 在直线 AB 上,且 AP ? 求点 P 的坐标

1 BP , 3

拓展提升
已知平面上三点分别为 A(2,1),B(1,3),C(3,4),求点 D 的坐标, 使这四点构成平行四边形。
1 2

(2)已知点 A(1,?2), B(?3,4) , 点 P 在直线 AB 上,且 AP ? 求点 P 的坐标

1 PB , 3

当堂检测
1.若 a - , a + b = (4,-10) ,则 a 等于( b =(1,2) )

A.(-2,-2) B.(2,2) C.(-2,2) 2. 下列各组向量可以作为该平面一组基底的是( A. a =(1,2)与 b ? (2,1) C. a ? (1, 2) 与 b ? (?2, ?4)

D.(2,-2) )

B. a ? (?1, 2) 与 b = 0 D. a ? (0,1) 与 b ? (0, ?1)

r

3.已知两点 A(4,1)、B(7,-3),则与向量 AB 同向的单位向量是 ( )

3 4 A.( ,- ) 5 5

3 4 B.(- , ) 5 5

4 3 4 3 C.(- , ) D.( ,- ) 5 5 5 5

4 已知 A(-1,-1) ,B(1,3) ,C(2,5) , (1)试判断 A,B,C 之 间的位置关系。 (2)若点 P 满足 OP = OA + t BC ( O 是任意一点)t ∈R, 则点 P 的轨迹是什么?(3)在第(2)问的题设下,若点 P 在 第二象限,试求 t 的取值范。

4.我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系 (两条坐标轴 的原点重合且单位长度相同) ,称为斜坐标系,平面上任意一点 P 的 斜坐标定义为: 若 OP = xe1 ? ye2 , 其中e1, e2 分别为斜坐标系的 x 轴,

u r

ur

u r ur

y 轴正方向上的单位向量, x, y ? R ,则点 P 的斜坐标为 ( x, y ) ,在

, 2) , 平面斜坐标系 xoy 中,若 ?xoy ? 60 ,已知点 M 的斜坐标为 (1
0

则点 M 到原点 O 的距离为



规律方法总结:根据整张导学案总结向量平行的坐标表示的 应用有哪些?

我的知识网络图 正交分解 坐标表示

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