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No.43 全国高中数学联合竞赛模拟试题


No.43 高中数学联赛模拟试卷
一、填空题(共 8 题,每题 8 分,64 分) 1、 若实数 x 、 y 满足条件 x ? y ? 1,则
2 2

1 2y ? 的取值范围是___________________. x x2

2、已知 a, b, c 为非负数,则 f (a, b, c) ?

>c a b ? ? 的最小值为 a b?c c

x2 y2 3、设 AB 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴,若把 AB100 等分,过每个分点作 AB 的 a b
垂 线 , 交 椭 圆 的 上 半 部 分 于 P1 、 P2 、 … 、 P99 , F1 为 椭 圆 的 左 焦 点 , 则

F1 A ? F1 P1 ? F1 P2 +… ? F1 P99 ? F1 B 的值是
4、从一个有 88 条棱的凸多面体 P,切去以其每个顶点为顶点的各一个棱锥,得到一个新的凸 多面体 Q,这些被切去的棱锥的底面所在的平面在 P 上或内部互不相交,则凸多面体 Q 的棱 数是 。 5、设函数 f ? x ? :

R ? R ,且满足, ?x, y ? R ,
.

f ? x ? f ? y ? ? f ? 2 xy ? 3? ? 3 f ? x ? y ? ? 3 f ? x ? ? 6 x ,则 f ? x ? ?

6、一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积为 7、 a1 , a 2 ,? , a 2010 均为正实数, 设 且

1 1 1 1 则 ? ??? ? , a1 ? a 2 ? ? ? a 2010 2 ? a1 2 ? a 2 2 ? a 2010 2

的最小值为____________________. 8、若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________. 二、解答题(共 3 题,共 56 分) 9、 (本题 16 分)设 S={1,2,…,n},A 为至少含有两项的、公并非为正的等差数列,其项部 都在 S 中,且添加 S 的其他元素等于 A 后均不能构成与 A 有相同公差的等差数列,求这种 A 的个数(这里只有两项的数列也看做等差数列).

-1-

10、 (本题 20 分)已知 F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点, M 点的坐标为(4,0),过点 F 作斜率为 k 1
2

的直线与抛物线交于 A、B 两点,延长 AM、BM 交抛物线于 C、D 两点,设直线 CD 的斜率为 (I)求 k2 .

k1 的值; (II)求直线 AB 与直线 CD 夹角 θ 的取值范围. k2

11、 (本题 20 分)已知函数 f ( x) ? 2 ln x ? x 。 (I)若方程 f ( x) ? m ? 0 在 [ , e] 内有两个不
2

1 e

等的实根,求实数 m 的取值范围. (II)如果函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 的图象与 x 轴交于两点

A( x1 , 0) , B( x2 , 0) ,且 0 ? x1 ? x2 。求证: g '( px1 ? qx2 ) ? 0 (其中正常数 p 、 q 满足

p ? q ? 1, q ? p ) 。

-2-

参考答案 一试 1、 (?2,2) .提示:令 x ? sec? , y ? tan? 2、2; f (a, b, c) ?

c a b c a b?c ? ? ? ? ? ?1 ? 3 ?1 ? 2 a b?c c a b?c c

3、 101a .(方法一)由椭圆的定义知 F1 Pi ? F2 Pi ? 2a ( i ? 1,2,?,99 ),

? ? ( F1 Pi ? F2 Pi ) ? 2a ? 99 ? 198 a. 由题意知 P1 , P2 ,?, P99 关于 y 轴成对称分布,
i ?1 99

99

? ? ( F1 Pi ) ?
i ?1

1 99 ? ( F1 Pi ? F2 Pi ) ? 99a. 又? F1 A ? F1 B ? 2a ,故所求的值为101a . 2 i ?1

(方法二) F1 A ? F1 P ? F1 P2 +… ? F1 P99 ? F1 B 1

? (a ? ex A ) ? (a ? ex1 ) ? ? ? (a ? ex99 ) ? (a ? exB )

? 101a ? e( x A ? x1 ? x2 ? ? x99 ? x B ) ? 101a. (A, P1 , P2 ,?, P99 ,B 关于 y 轴成对称分布)
4、264,P 的所有棱仍是 Q 的棱,Q 中新的棱由切去的棱锥的底面形成,等于从顶点出发的棱 的条数,所以 Q 的棱的条数有 88+2×88=264; 5、取 x ? 0 代入得 f (0) ? f ( y) ? f (3) ? 3 f ( y) ? 3 f (0) ,即

[ f (0) ? 3] ? f ( y) ? f (3) ? 3 f (0) ,
显然 f ( y ) 不恒等于常数,∴ f (0) ? 3 ? 0 且 f (3) ? 3 f (0) ? 0 ,∴ f (0) ? 3, f (3) ? 9 , 又取 y ? 0 代入可得 f ( x) ? 2 x ? 3 ; 6、

2 3 2 2 ?a ,联想正方体,棱长为 a ,球的半径为 a 24 2 4
2010

7、 4018

. 提示:令

1 ? xi 2 ? xi ,则 ai ? 2 ? ,且 x1 ? x 2 ? ? ? xi ? 1 , xi 2 ? ai

其中 i ? 1,2,?,2010 .

? a1 ? a 2 ? ? ? a 2010 ? 2 2010 ?

1 ? ( x 2 ? x3 ? ? ? x 2010 ) x1 x 2 ? x 2010

? ( x1 ? x3 ? ? ? x2010 ) ? ? ? ( x1 ? x2 ? ? ? x2009 )
? 2 2010 ? 1 ? 2009 ? 2009 x 2 x3 ? x 2010 ? 209 ? 2009 x1 x3 ? x 2010 ? ? ? 2009 ? 2009 x1 x 2 ? x 2009 x1 x 2 ? x 2010

-3-

? 2 2010 ? 2009 2010 ? 4018 2010
?x ? 2 y ? 0 ?x ? 2 | y | ? ?? 2 8、 3 。 ? x ? 2 y ? 0 由对称性只考虑 y≥0,因为 x>0,∴只须 2 ?x ? 4 y ? 4 ?( x ? 2 y )( x ? 2 y ) ? 4 ?
求 x-y 的最小值,令 x-y=u,代入 x2-4y2=4,有 3y2-2uy+(4-u)2=0,这个关于 y 的二次方程显然有 实根,故△=16(u2-3)≥0。 二、解答题 9、构造具有如下要求的集合 A:把 A 中的元素按从小到大的次序排好后,在其最大元素后面 添上 S 的任何元素均不能构成具有原公差的等差数列。这时,当 A 的首项与公差一旦确定, 其整个集合 A 也即确定,不妨设 A 的首项为 a,公差为 d,则 a=1, d=1, 2, …, n-1 时的集 A 有 n-1 个; a=2, d=1, 2, …, n-2 时的集 A 有 n-2 个; …… a= n-1,d=1 时的集 A 有 1 个. 因此,所求 A 的总个数为 1+2+…+(n-1)=

n(n ? 1) . 2

10、解: (I)由条件知 F (1, 0) ,设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 、 C ( x3 , y3 ) 、 D( x4 , y 4 ) ,不妨设

y1 ? 0 .直线 AB 的方程为 y ? k1 ( x ? 1) ,与 y 2 ? 4 x 联立得 y 2 ? 4 y ? 4 ? 0
k1
所以 y1 y2 ? ?4 , x1 x2 ? 1 . ① 当 x1 ? 4 时,则 A(4, 4) ,故 y 2 ?

?4 1 1 ? ?1 , x2 ? ,即 B( ,?1) . y1 4 4

直线 AM 的方程为 x ? 4 ,从而 C (4, ? 4) ;直线 BM 的方程为: y ?
2 2

4 ( x ? 4) , 15

与 y ? 4 x 联立得 y ? 15 y ? 16 ? 0 ,得 y 4 ? 16 , x 4 ? 64 ,即 D(64, 16) . 于是 k1 ?

k 4 16 ? (?4) 1 , k2 ? ? .所以. 1 ? 4 . k2 3 64 ? 4 3
y1 2 ( x ? 4) 与抛物线方程 y ? 4 x x1 ? 4

② 当 x1 ? 4 时,直线 AM 方程为 y ?

联立得 y12 ( x ? 4) 2 ? 4 x( x1 ? 4) 2 ,又由 y12 ? 4x1 ,化简上述方程得 x1 x 2 ? ( x12 ? 16) x ? 16 x1 ? 0 此方程有一根为 x1,所以另一根 x3 ?

16 16 16 16 16 ? 16 , y3 ? .即 C ( ,? ) ,同理, D( ,? ). x2 y 2 x1 y1 x1 y1

-4-

16 16 ? k y 2 y1 x x y ? y1 1 所以, k 2 ? ?? 1 2 ? 2 ? k1 ,即 1 ? 4 . 16 16 k2 y1 y 2 x 2 ? x1 4 ? x 2 x1 ?
11、解:(Ⅰ)由 f ( x ) =2 ln x2求导得到: f ? ( x ) = x?

由①、②可知

k1 ?4. k2

21?x)( ?x) ( 1 , x 1 1 1 ?x ? [ , e] ,故 f ? ( x ) =0 在 x ?1有唯一的极值点, f ( ) =-2- 2 e e e

f (e) =―2― e 2 , f (x) 极大值= f (1) =-1,
且知 f (e) < f ( ) ,故 f (x ) =- m ,在 [ , e ] 内有两个不等的实根满足:

1 e

1 e

-2-

1 e
2

≤- m <-1

故m 的取值范围为 ? 1, 2 ?

? ?

1? e2 ? ?

(Ⅱ) g ? ( x ) =

2 -2 x a - ,又 f ( x ) - ax 有两个不等的实根 x 1 、 x 2 , =0 x

? ln 1 ?x2 ?ax?0 2 x 1 2 x ?ln 2) (ln1 x 1 ?(x ?x ) 则? 两式相减得到: a? 1 2 2 x ?x 2 x 1 2 2 2 ? ln 2 ?x ?ax ?0,

) 于是 g ' (px qx = 1? 2

2(ln 1 ?lnx2) x 2 ? (x ?x )] ) ? 2 (px qx -[ 1? 2 1 2 x ?x2 px ? qx2 1 1



2(lnx1 ?lnx2 ) 2 + (2p?1 (x ?x ) ? ) 2 1 x1 ? x2 px1 ? qx2

0 ∵ 2 p≤1, x ?x ? , ∴ (2p?1 (x ?x )≤0 ) 2 1 2 1 ) 要证: g ' (px qx <0,只需证: 1? 2
x 2 ? x1 x ? ln 1 ? 0 px1 ? qx2 x2
2(lnx1 ?lnx2 ) 2 + <0, x2 ? x1 px 1 ? qx 2


只需证:



x1 1? t ? t ,0 ?t ?1,只需证: u(t) ? 1 + ln t ? 0 在 0?t ? 上恒成立, x2 pt ? q
p 2 (t ? 1)( t ? q2 ) p2

又∵ u( ) ? ? 't

1 1 = t (pt q 2 ?)

t ( pt ? q ) 2

-5-

∵ p?q ?1, q ?

q q2 q2 1 1 0 ,则 ? 1 ,∴ 2 ? 1 ,于是由 t ? 1可知 t ? ? , t ? 2 ? 0 2 p p p

故知 u (t) ?0∴ u (t ) 在 t ?(01 上为增函数, ' ,)

则 u (t ) < u (1) =0,从而知

x 2 ? x1 x ? ln 1 ? 0 px1 ? qx2 x2

即①成立,从而原不等式成立。

-6-


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