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2014高考数学专题——直线与双曲线的位置关系


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2013-8-26

直线和双曲线的位置关系
从近两年的高考试题来看,与椭圆相比,高考对双曲线的要求较低,重点考查双曲线的定义、标准方程、 图形及几何性质等基础知识,题型大多为选择题、填空题,考查双曲线的定义、几何性质、基本运算能力,有 时也会出现在解答题(如 2011 年高考江西卷理科第 20 题),难度为中等偏高,考查灵活运用数形结合、 函数方 程的思想、等价转化的思想,考查逻辑推理能力、分析问题解决问题的能力. 一、要点精讲 1.直线和双曲线的位置关系有三种:相交、相切、相离.

x2 y2 设双曲线方程 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? ,直线 Ax+By+C=0, a b
将直线方程与双曲线方程联立,消去 y 得到关于 x 的方程 mx2+nx+p=0, (1)若 m≠0,当 Δ>0 时,直线与双曲线有两个交点;当 Δ=0 时,直线与双曲线只有一个公共点;当 Δ<0 时,直线 与双曲线无公共点. (2)若 m=0,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行. 2.弦长公式:设直线 y ? kx ? b 交双曲线于 P ?x1 , y1 ? , P2 ?x2 , y2 ? , 1
2 2 则 P P2 ? x1 ? x2 1 ? k ? 1 ? k ? 1

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2



或 P P2 ? y1 ? y 2 1 ? 1 二、基础自测 1.经过点 P? (A) 4 条

1 1 ? 1? 2 ? 2 k k

? y1 ? y2 ?2 ? 4 y1 y2 ?k ? 0? .

?1 ? ,2 ? 且与双曲线 4 x 2 ? y 2 ? 1 仅有一个公共点的直线有( ?2 ?
(B) 3 条 (C) 2 条 (D) 1 条



2.直线 y= kx 与双曲线 4 x ? y ? 16 不可能(
2 2

) (D)有两个公共点

(A)相交

(B)只有一个交点

(C)相离

3.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径,则双曲线

y2 x2 ? ? 1 的通径长是 16 9

(A)

9 4

(B)

9 2

(C) 9

(D) 10 .

4.若一直线 l 平行于双曲线的一条渐近线,则 l 与双曲线的公共点个数为

解:与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点,应注意直线与双曲线不是相切

1

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2013-8-26

5.经过双曲线 x ? y ? 8 的右焦点且斜率为 2 的直线被双曲线截得的线段的长是
2 2



6.直线 l 在双曲线

x2 y2 ? ? 1 上截得的弦长为 4,且 l 的斜率为 2,求直线 l 的方程. 3 2

三、典例精析 题型一:直线与双曲线的位置关系 1.过双曲线 2x 2-y2-2=0 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若|AB|=4,则这样的直线有( A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条 )

解: 过双曲线右焦点作直线 l 交双曲线于 A、 两点, l⊥x 轴, B 若 则|AB|=4; l 经过顶点, 若 此时|AB|=2, 因此当 l 与双曲线两支各交于一点 A、B 时,满足|AB|=4 的直线有两条,故选 B. 2、若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交 于不同的两点,则 k 的取值范围是( A.?- )

?

15 15? , 3 3 ?

B.?0,

?

15? 3 ?

C.?-

?

15 ? ,0 3 ?

D.?-

?

15 ? ,-1 3 ?

解:直线与双曲线右支相切时,k=-

15 ,直线 y=kx+2 过定点(0,2),当 k=-1 时,直线与双曲线渐近 3 15 <k<-1. 3

线平行,顺时针旋转直线 y=-x+2 时,直线与双曲线右支有两个交点,∴-

3、过点 P( 7,5) 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有且只有一个公共点的直线有几条,分别求出它们的方程。 7 25

2

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2 2

2013-8-26

4、直线 y ? kx ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1 相交于 A、B 两点,当 a 为何值时,A、B 在双曲线的同一支上? 当 a 为何值时,A、B 分别在双曲线的两支上?

点评:与双曲线只有一个公共点的直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线。另 一种是与双曲线相切的直线也有两条。 5.过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线,且与双曲线的两支相交,求该双曲线离心率的范围。 解:设双曲线的方程为

b x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , F (c,0) ,渐近线 y ? x ,则过 F 的直线方程为 2 a b a

?b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 ? 0 a ? 4 4 2 4 4 2 2 4 , 代入得 (b ? a ) x ? 2a cx ? a c ? a b ? 0 , y ? ? ( x ? c) ,则 ? a b ? y ? ? ( x ? c) b ?
∴?

?? ? 0 即得 b4 ? a4 , x1 x2 ? 0 ?

∴ b ? a ,即得到 e ? 2 。

点评:直线与圆锥曲线的位置关系经常和圆锥曲线的几何要素建立起对应关系,取值范围往往与判别 式的取值建立联系。 题型二: 求双曲线方程 6. 已知焦点在 x 轴上的双曲线上一点 P ,到双曲线两个焦点的距离分别为 4 和 8,直线 y ? x ? 2 被双曲 线截得的弦长为 20 2 ,求此双曲线的标准方程.

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2013-8-26

7. 双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别

AB OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同向. 交 l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、 、
(Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 解: (Ⅰ)设 OA ? m ? d , AB ? m , OB ? m ? d 得: d ? 由勾股定理可得: (m ? d ) ? m ? (m ? d )
2 2 2

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

??? ?

1 b AB 4 m , tan ?AOF ? , tan ?AOB ? tan 2?AOF ? ? 4 a OA 3
2

b a ? 4 ,解得 b ? 1 ,则离心率 e ? 5 . 由倍角公式? 2 2 a 2 3 ?b? 1? ? ? ?a?
(Ⅱ)过 F 直线方程为 y ? ?

x2 y2 a ( x ? c) ,与双曲线方程 2 ? 2 ? 1 联立,将 a ? 2b , c ? 5b 代入, a b b
2 ? ? a ?2 ? ?a? 4 ? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? ? ? ?( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? ? ?b? ? ?b? ? ? ?

15 8 5 化简有 2 x 2 ? x ? 21 ? 0 4b b

?? 32 5b ?2 28b 2 ? ? , 解得 b ? 3 ?4 将数值代入,有 4 ? 5 ?? ? 5 ? ?? 15 ? ? ?? ?
题型三:直线与双曲线的相交弦问题 8.求过定点 (0,1) 的直线被双曲线 x ?
2

故所求的双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1。 36 9

y2 ? 1 截得的弦中点轨迹方程。 4

9. 双曲线方程为 3x ? y ? 3 .
2 2

问:以定点 B(1,1)为中点的弦存在吗?若存在,求出其所在直线的方程;若不存在,请说明理由.

4

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2013-8-26

解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题,一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标,而是利用根与系数 的关系或“平方差法”求解.此时,若已知点在双曲线的内部,则中点弦一定存在,所求出的直线可不检 验,若已知点在双曲线的外部,中点弦可能存在,也可能不存在,因而对所求直线必须进行检验,以免增 解,若用待定系数法时,只需求出 k 值对判别式△>0 进行验证即可. x2 y2 10.(2012 浙江)如图,F1,F2 分别是双曲线 C: 2- 2=1(a,b>0)的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线 a b F1B 与 C 的 两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是( A. 2 3 3 ) B. 6 2 C. 2 D. 3

b 解:依题意得直线 F1B 的方程为 y= x+b,M 点坐标为(3c,0), c c 那么可知线段 PQ 的垂直平分线的方程为 y=- (x-3c), b

?y=cx+b, 由? b ?y=-ax,
b

ac bc 得点 P?-a+c,a+c?, ? ?

?y=cx+b, 由? b ?y=ax,
b

ac bc 得点 Q ?c-a,c-a?, ? ? 那么可得线段 PQ

a2c c2 c c 的中点坐标为? b2 , b ?,代入 y=- (x -3c)并整理,可得 2c2=3a2,可得 e= = ? ? b a

3 6 = ,故应选 B. 2 2

11. 已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的右焦点为 F,过 F 且倾斜角为 45? 的直线 l 与双曲线的右支交 2 a b

于 M,N 两点,若 MF ? 7 FN ,求该双曲线的离心率.

12. 设双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1?a ? 0? 与直线 l : x ? y ? 1相交于不同的点 A、B. 2 a

⑴求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; ⑵设直线 l 与 y 轴的交点为 P ,且 PA ?

x2 解:(1)将 y=-x+1 代入双曲线 2-y2=1 中得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0 a

5 PB ,求 a 的值。 12

① 1 +1, a2

?1-a2≠0 ? 1+a2 ? 4 由题设条件知, ,解得 0<a< 2且 a≠1, 又双曲线的离心率 e= = 2 2 a ? ?4a +8a ?1-a ?>0

∵0<a< 2且 a≠1,∴e>

6 且 e≠ 2. 2
5

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→ → 5 5 5 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1). ∵PA= PB, ∴(x1,y1-1)= (x2,y2-1).∴x1= x2, 12 12 12 ∵x1、x2 是方程①的两根,且 1-a2≠0, 2a2 289 消去 x2 得,- = , 1-a2 60 17 2a2 5 2 2a2 ∴ x2=- , 2, x2=- 12 1-a 12 1-a2

17 ∵a>0,∴a= . 13

13、双曲线 C 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点,直线 y ? 3 x C 的一条渐近线. 8 4

(1)求双曲线 C 的方程; (2)过点 P(0,4)的直线 l,交双曲线 C 于 A、B 两点,交 x 轴于 Q 点(Q 点与 C 的顶点不重合), 当 PQ ? ?1 QA ? ?2 QB ,且 ?1 ? ?2 ? ? 时,求 Q 点的坐标.

8 3

解: (1)设双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1. a 2 b2

由椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,求得两焦点为(-2,0),(2,0),∴对于双曲线 C:c=2. 8 4

又 y ? 3 x 为双曲线 C 的一条渐近线,

b y2 2 2 2 2 2 2 ? 1. ∴ ? 3 ,又 a +b =c =4,解得 a =1,b =3. ∴双曲线 C 的方程为 x ? 3 a

【点评】有关直线与圆锥曲线的位置关系问题,通常转化为一元二次方程根的问题来讨论,从而可以利用根 与系数之间的关系转化为含有特定系数的方程来求解.

?1 ? k 2 ? 0 注意直线与双曲线有一个公共点的情况时,只讨论 ? 是不够的,还应讨论二次项系数等于 0 的情况, ?? ? 0
此时解得的斜率 k 恰好等于双曲线渐近线的斜率,这样的直线 l 与双曲线相交,但交点只有一个,所以,直线与
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双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件,而对于椭圆则是充要条件. 14.已知点 M 是圆 B:(x+2)2+y2=12 上的动点,点 A(2,0),线段 AM 的中垂线交直线 MB 于点 P. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与曲线 C 交于 R,S 两点, D(0,-1),且有|RD|=|SD|,求 m 的取值范围. 解:(1)由题意得|PM|=|PA|,结合图形得||PA|-|PB||=|BM|=2 3,∴点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的双曲 x2 线,且 2a=2 3,a= 3,c=2,于是 b=1,故 P 点的轨迹 C 的方程为 -y2=1. 3

?x -y2=1, ? (2)当 k≠0 时,由? 3 得( 1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0,(*) ?y=kx+m, ?
由直线与双曲线交于 R,S 两点,显然 1-3k2≠0,Δ=(6km)2-4(1-3k2)(-3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0, 6km 设 x1,x2 为方程(*)的两根,则 x1+x2= , 1-3k2 3km m 设 RS 的中点为 M(x0,y0),则 x0= ,y =kx0+m= , 1-3k2 0 1-3k2 故线段 RS 的中垂线方程为 m ? 1??x- 3km 2?. y- 2= - 1-3k ? k?? 1-3k ?
2

2

将 D(0,-1)代入化简得 4m=3k -1,

?m2+1-3k2>0, ? 故 m,k 满足? 2 ? ?4m=3k -1.

消去 k2 即得 m2-4m>0,即得 m<0 或 m>4, 1 1 又 4m=3k2-1≥-1,且 3k2-1≠0, ∴m≥- ,且 m≠0, ∴m∈?-4,0?∪(4,+∞). ? ? 4 x2 y2 15、已知双曲线 2- 2=1(b>a>0),O 为坐标原点,离心率 e=2,点 M( 5, 3)在双曲线上. a b (1) 求双曲线的方程; (2) 若直线 l 与双曲线交于 P,Q 两点,且 OP ? OQ ? 0 .求 1 1 + 的值. |OP|2 |OQ|2

x2 y2 解: (1)∵e=2,∴c=2a,b2=c2-a2=3a2,双曲线方程为 2- 2=1,即 3x2-y2=3a2. a 3a ∵点 M( 5, 3)在双曲线上,∴15-3=3a2.∴a2=4. x2 y2 ∴所求双曲线的方程为 - =1. 4 12 x2 y2 (2)设直线 OP 的方程为 y=kx(k≠0),联立 - =1,得 4 12

?x =3-k , ? 12k ?y =3-k ,
2

12

2

2

∴|OP|2=x2+y2=

2

12?k2+1? . 3-k2

1 则 OQ 的方程为 y=- x, k

2

同理有|OQ|2=

1 12?1+k2? ? ? 1 3- 2 k

12?k2+1? = , 3k2-1

3-k2+?3k2-1? 2+2k2 1 1 1 ∴ = = . 2+ 2= 2 2 |OP| |OQ| 12?k +1? 12?k +1? 6
7

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16.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0). (1)求双曲线方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点),求 k 的 取值范围。 x2 y2 解:(1)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由已知得 a= 3,c=2,再由 c2=a2+b2 得 b2=1, a b x2 所以双曲线 C 的方程为 -y2=1. 3 x2 (2)将 y=kx+ 2代入 -y2=1,整理得(1-3k2)x2-6 2kx-9=0, 3
2 ?1-3k ≠0, 1 由题意得? 故 k2≠ 且 k2<1, 2 2 2 3 ?Δ=?6 2k? +36?1-3k ?=36?1-k ?>0,



-9 6 2k 设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 xA+xB= x ,由 OA ?OB ? 2 2,xA·B= 1-3k 1-3k2 又 xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+ 2)(kxB+ 2)=(k2+1)xAxB+ 2k(xA+xB)+2 -9 3k2+7 6 2k =(k2+1)· + 2k· +2= 2 , 1-3k2 1-3k2 3k -1 1 解不等式得 <k2<3, 3 ②

得 xAxB+yAyB>2,

3k2+7 -3k2+9 于是 2 >2,即 2 >0, 3k -1 3k -1

1 3 3 由①②得 <k2<1, 所以 k 的取值范围为?-1,- ?∪? ,1?. 3 3? ?3 ? ?

17.已知点 M 是圆 B:(x+2)2+y2=12 上的动点,点 A(2,0),线段 AM 的中垂线交直线 MB 于点 P. (1) 求点 P 的轨迹 C 的方程; (2) 若直线 l:y=kx+m(k≠0)与曲线 C 交于 R,S 两点, D(0,-1),且有|RD|=|SD|,求 m 的取值范围. 解:(1)由题意得|PM|=|PA|,结合图形得||PA|-|PB||=|BM|=2 3,∴点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的双曲 x2 线,且 2a=2 3,a= 3,c=2,于是 b=1,故 P 点的轨迹 C 的方程为 -y2=1. 3

?x -y2=1, ? (2)当 k≠0 时,由? 3 得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0,(*) ? ?y=kx+m,
由直线与双曲线交于 R,S 两点,显然 1-3k2≠0,Δ=(6km)2-4(1-3k2)(-3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0, 6km 设 x1,x2 为方程(*)的两根,则 x1+x2= ,设 RS 的中点为 M(x0,y0),则 1-3k2 x0= 3km m m ? 1??x- 3km 2?. 2,y0=kx0+m= 2,故线段 RS 的中垂线方程为 y- 2= - 1-3k 1-3k 1-3k ? k ?? 1-3k ?
2

2

将 D(0,-1)代入化简得 4m=3k -1,

?m2+1-3k2>0, ? 故 m,k 满足? 2 ? ?4m=3k -1.

1 消去 k2 即得 m2-4m>0, 即得 m<0 或 m>4, 4m=3k2-1≥-1, 3k2-1≠0, 又 且 ∴m≥- , m≠0, 且 4
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1 ∴m∈?-4,0?∪(4,+∞). ? ?

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