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竞赛中的数列问题(一)


数 列是高 中数 学 的重要 内容 , 也 是 高考 、   自主招生 与数 学竞赛 中的命题重 点 内容之 一.   令  一  +   L   十 l ,   , 6   一 n   + ÷ 一   ( s  + 。  一 o = > n  一 0 ) ,   一 、 数 列 竞 赛 题 中 的 一 些 简 单  题 型  1   有 6   一 1   1   " " —   1、’   , 故  一  , 所以 。  一   1 .求数列 的通 项或 求 和是常 见题 型.   例 1   设数 列 {   } 的 前  项 和 S  满足 :   s  +  十  n一  一  , ’   一 l 1 ,2 ,   2 , … ,则 遁 通 项  项  例 2 设 正数 列  。 , 。   ,   ,… , 。   ,…  满足  一 ̄ a n - 2 一 = = = 2 a   一   ( n≥ 2 ) ,   口 n 一   . ( 2 0 0 8年 全 国高 中数 学联 赛 )   且 。 0一 口 1— 1 , 求{ a   ) 的通 项公 式.   分析 利 用数 列 的 和 与通 项 的关 系 , 用  与 下 标减 1 法, 使所 给 式简 单化 .   解 S   十 1 +a n + 1一   ( n+ 1 )(   + 2)’   L   十 l   n 衔   同 除 以     n - 1+ 1 2   a ,   得 : √ 杀一   s   +a ”一   相 减得 ,   令 √ 差+ 1 — 6   , 则 得  一 2 b   .   一   2 n   一n  一   一   F  一  ̄ l J { b   ) 是 以 6   一 √ ÷ + 1 — 2 为 首 项 , 2   为公 比的等 比数 列.   所以 b  一 2   .   所 以  a  n -1   , z + 2   (  + 1 ) (  + 2 )   令2 ( n 卅   +  F   , ) 一n   +   一  一  ( 2   一  1 ) z .   故  即  一 一   …   (  + 1 ) ( n+ 2)   “   1 .   ‘   2 .在 给 出数列 后 , 常常 会要 求研 究数 列  的某 些性 质.   一 即2 (  +  玎厕 1   ) ~  1   塞   擀i ' i r d t  ̄ i O   , 概  (  + 1 ) ‘   当正 整 数  ≥ 2时 , a   <a   .( 2 0 0 7年 全 国   撕 v e r s i f y   Ⅲ  黧 麓   向 甲 数 罕 状 赉 )   ( 2 )由 于 s + t与 S —t 的奇 偶性 相 同 , 故  分析 就 是 证 明数 列 从 第 二项 起 就 是  当s +t 与S 一 同 为偶 数 时 , f ( s +  ) 一  单 调减 的 , 故 因计算 。   +   一“ n .   厂 ( s   m   t ) 一 丢 ( s +  - - l ( s - t ) 。 :   .   (   1+   1 .  解   一   k 1   当s - 4 - t 与S —t 同为奇 数 时 ,   f( s +f ) 一   ) , 于 是  一  2  奎 2   k= l 若 记  厂

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