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2015届北京市西城区高三第一学期期末考试文科数学试题


北京市西城区 2014 — 2015 学年度第一学期期末试卷

高三数学(文科)
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.设集合 A = {-1, 0,1, 2} , B = {x | x > x} ,则集合 A I B =


2

) (D) {-1,1, 2}

(A) {-1, 0,1}

(B) {-1, 2}

(C) {0,1, 2}

2.设命题 p : "x > 0, 2 > log 2 x ,则 ?p 为(
x

) (B) $x > 0, 2 ≤ log 2 x
x

(A) "x > 0, 2 < log 2 x
x

(C) $x > 0, 2 < log 2 x
x

(D) $x > 0, 2 ≥ log 2 x
x

3.在锐角 D ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 a = 2b ,sin B =

3 ,则( 4 2 3



(A) A =

p 3

(B) A =

p 6

(C) sin A = )

3 3

(D) sin A =

4.执行如图所示的程序框图,输出的 x 值为( (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

开始 a=2,x=3

y = ax

y > 10x + 3
是 输出 x 结束



x=x+1

5.设函数 y = f ( x) 的定义域为 R ,则“ f (0) = 0 ”是“函数 f ( x) 为奇函数”的( (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件



第 1 页 共 13 页

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

6. 某天,甲要去银行办理储蓄业务,已知银行的营业时间为 9:00 至 17:00,设甲在当天 13:00 至 18:00 之间任何时间去银行的可能性相同,那么甲去银行恰好能办理业务的概率 是( )

(A)

1 3

(B)

3 4

(C)

5 8

(D)

4 5

7.设抛物线 W : y 2 ? 4 x 的焦点为 F, 过 F 的直线与 W 相交于 A, B 两点, 记点 F 到直线 l: x ? ?1 的距离为 d ,则有( (A) | AB | ≥2d (C) | AB | ≤2d ) (B) | AB |? 2d (D) | AB |? 2d

8. 如图,在空间四边形 ABCD 中,两条对角线 AC , BD 互相垂直,且长度分别为 4 和 6,平 行于这两条对角线的平面与边 AB, BC , CD, DA 分别相交于点 E , F , G, H ,记四边形 EFGH 的 面积为 y,设

BE ? x ,则( AB



(A)函数 y ? f ( x) 的值域为 (0, 4] (B)函数 y ? f ( x) 的最大值为 8 A H E B D F G

2 (C)函数 y ? f ( x) 在 (0, ) 上单调递减 3
(D)函数 y ? f ( x) 满足 f ( x) ? f (1? x)

C

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

第 2 页 共 13 页

9. 复数 z =

i ,则 | z |= ______. 1+ i

10.设平面向量 a, b 满足 | a |= 3 , | b |= 2 , a × b = -3 ,那么 a, b 的夹角 q = ____.

11.一个四棱锥的三视图如图所示,那么这个四棱锥最 长棱的棱长为_____.

2 1 1 正(主)视图 1 1 俯视图

2 1 侧(左)视图

12.设 F1 , F2 为双曲线 C:

x2 y2 = 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点,且直线 y = 2 x 为双曲线 a 2 b2

C 的一条渐近线,点 P 为 C 上一点,如果 | PF1 | - | PF2 |= 4 ,那么双曲线 C 的方程为____; 离心率为_____.

13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品,已知签字笔每支 5 元,铅笔盒每个 6 元, 花费总额不能超过 50 元. 为了便于学生选择, 购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于 3 个,那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.

14. 设函数 f ( x) = í

ì| x - a |, x≤1, ?log 3 x, x > 1.

(1)如果 f (1) = 3 ,那么实数 a = ___; (2)如果函数 y = f ( x) - 2 有且仅有两个零点,那么实数 a 的取值范围是___.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

第 3 页 共 13 页

骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = 1 - 2sin 2 ( x - ) ,x∈R . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)判断函数 f ( x ) 在区间 [ -

π 4

π π , ] 上是否为增函数?并说明理由. 6 6

16. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足 a2 = 5 ,且其前 n 项和 Sn = pn 2 - n . (Ⅰ)求 p 的值和数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn } 为等比数列,公比为 p ,且其前 n 项和 Tn 满足 T5 < S5 ,求 b1 的取值范 围.

17. (本小题满分 14 分)

如图,在四棱柱 ABCD - A1 B1C1 D1 中, A1 A ^ 底面 ABCD ,? BAD = 90 o , AD // BC , 且 A1 A = AD = 2 BC = 2 , AB = 1 . 点 E 在棱 AB 上,平面 A1 EC 与棱 C1 D1 相交于点 F. (Ⅰ)求证: A1F ∥平面 B1CE ; (Ⅱ)求证: AC ^ 平面 CDD1C1 ; (Ⅲ)写出三棱锥 B1 - A1 EF 体积的取值范围. (结论 不要求证明)
E B B1 A1 C1 F D1

A C

D

18. (本小题满分 13 分) 最近,张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案,且一年后 投资盈亏的情况如下: (1) 投资股市:

第 4 页 共 13 页

投资结果 概 (2) 购买基金: 投资结果 概 (Ⅰ)当 p ? 率 率

获利

不赔不赚

亏损

1 2

1 8

3 8

获利

不赔不赚

亏损

p

1 3

q

1 时,求 q 的值; 2

(Ⅱ)已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小,求 p 的取值范围;

(Ⅲ)已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资,假设三种投资
结果出现的可能性相同,求一年后他们两人中至少有一人获利的概率. 19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 + = 1 的右焦点为 F,右顶点为 A,离心率为 e,点 P(m,0)(m > 4) 满 16 12

足条件

| FA | =e. | AP |

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,记 DPMF 和 DPNF 的面积分别 为 S1 , S2 ,若 S1 = 2S2 ,求直线 l 的方程. 20. (本小题满分 13 分) 对于函数 f ( x), g ( x) ,如果它们的图象有公共点 P,且在点 P 处的切线相同,则称函数

f ( x) 和 g ( x) 在点 P 处相切,称点 P 为这两个函数的切点.
设函数 f ( x) = ax - bx(a ? 0) , g ( x) = ln x .
2

(Ⅰ)当 a = -1 , b = 0 时, 判断函数 f ( x) 和 g ( x) 是否相切?并说明理由; (Ⅱ)已知 a = b , a > 0 ,且函数 f ( x) 和 g ( x) 相切,求切点 P 的坐标; (Ⅲ)设 a > 0 ,点 P 的坐标为 ( , -1) ,问是否存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) ,使 得它们在点 P 处相切?若点 P 的坐标为 (e , 2) 呢?(结论不要求证明)
2

1 e

第 5 页 共 13 页

北京市西城区 2014 — 2015 学年度第一学期期末

高三数学(文科)参考答案及评分标准
2015.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.B 5.B 2.B 6.D 3.A 7.A 4.C 8.D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.

2 2

10. 12.

2π 3
x2 y2 =1 4 16

11. 2 2 13. 9 注:第 12,14 题第一问 2 分,第二问 3 分.

5
( -1,3]

14. -2 或 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 f ( x ) = 1 - 2 sin 2 ( x - )

π 4

π = cos 2( x - ) 4


……………… 3

= sin 2 x ,
分 所以函数 f ( x) 的最小正周期 T = 分 (Ⅱ)解:结论:函数 f ( x ) 在区间 [ 分 理由如下:

……………… 5

2π = π. 2

……………… 7

π π , ] 上是增函数. 6 6

……………… 9

π π ≤ 2 x ≤ 2kπ + , 2 2 π π 解得 kπ - ≤ x ≤ kπ + , 4 4
由 2kπ 第 6 页 共 13 页

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [ kπ 分 当 k = 0 时,知 f ( x) 在区间 [所以函数 f ( x ) 在区间 [ 分

π π , kπ + ] , ( k ? Z ) . 4 4

……………… 12

π π , ] 上单调递增, 4 4
……………… 13

π π , ] 上是增函数. 6 6

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由题意,得 S1 = p - 1 , S2 = 4 p - 2 , 因为 a2 = 5 , S2 = a1 + a2 , 所以 S2 = 4 p - 2 = p - 1 + 5 , 解得 p = 2 . 分
2 所以 Sn = 2n - n .

……………… 3

当 n≥2 时,由 an = Sn - Sn -1 , 分 得 an = (2n2 - n) - [2(n - 1)2 - (n - 1)] = 4n - 3 . 分 验证知 n = 1 时, a1 符合上式, 所以 an = 4n - 3 , n ? N* . 分 (Ⅱ)解 :由(Ⅰ) ,得 Tn = 分 因为 T5 < S5 ,
5 2 所以 b1 (2 - 1) < 2 ? 5 - 5 ,

……………… 5

……………… 7

……………… 8

b1 (1 - 2n ) = b1 (2n - 1) . 1- 2

……………… 10

解得 b1 <

45 . 31
第 7 页 共 13 页

……………… 12

分 又因为 b1 ? 0 , 所以 b1 的取值范围是 (-?, 0) U (0, 分

45 ). 31

……………… 13

17. (本小题满分 14 分)

(Ⅰ)证明:因为 ABCD - A1 B1C1 D1 是棱柱, 所以平面 ABCD∥ 平面 A1 B1C1 D1 . 又因为平面 ABCD I 平面 A1 ECF = EC , 平面 A1 B1C1 D1 I 平面 A1 ECF = A1 F , 所以 A1 F ∥

A1 B1 C1 F

D1

E B

A C

D

CE .
又 A1F ? 平面 B1CE , CE ? 平面 B1CE , 所以 A1 F ∥平面 B1CE . 分 (Ⅱ)证明:在四边形 ABCD 中,

…………………3 分

…………………6

因为 ?BAD = 90o , AD // BC ,且 AD = 2 BC , AD = 2 , AB = 1 , 所以 AC 2 = 12 + 12 = 2 , CD 2 = 12 + 12 = 2 . 所以 AC 2 + CD 2 = AD 2 ,
所以 ?ACD = 90o ,即 AC ^ CD . 分 …………………7

因为 A1 A ^ 平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD , 所以 A1 A ^ AC . 因为在四棱柱 ABCD - A1 B1C1 D1 中, A1 A//C1C , 所以 C1C ^ AC . 分
第 8 页 共 13 页

…………………9

又因为 CD, C1C ? 平面 CDD1C1 , CD I C1C = C , 所以 AC ^ 平面 CDD1C1 . 分
1 2 (Ⅲ) 解: 三棱锥 B1 - A1 EF 的体积的取值范围是 [ , ] . 3 3

…………………11

…………………14



18. (本小题满分 13 分)

(Ⅰ)解:因为“购买基金”后,投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三 种 且三种投资结果相互独立, 所以 p + 1 + q =1. 3 2分 ………………

1 又因为 p ? , 2
所以 q = 1 . 6 ……………… 3 分

(Ⅱ)解:由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小,
3 得 q? , 8

……………… 4 分

因为

1 p + + q =1, 3

2 3 所以 q ? ? p ? ,解得 p ? 7 . 3 8 24
又因为 p ? ? q ? 1 , q≥0 , 所以 p≤ 所以 分

……………… 7 分

1 3

2 . 3
……………… 8

7 2 ? p≤ . 24 3

第 9 页 共 13 页

(Ⅲ)解:记事件 A 为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利” , ………… 9 分 用 a , b , c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利” 、 “不赔不赚” 、 “亏损” ,用 x ,

y , z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利” 、 “不赔不赚” 、 “亏损” ,
则一年后张师傅和李师傅购买基金,所有可能的投资结果有 3 ? 3 = 9 种, 它们是:

(a, x) , (a, y ) , (a, z ) , (b, x) , (b, y ) , (b, z ) , (c, x) , (c, y ) , (c, z ) ,


……………10

所以事件 A 的结果有 5 种,它们是: (a, x) , (a, y ) , (a, z ) , (b, x) , (c, x) . …………… 11 分 因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率 P( A) = 分

5 . …………13 9

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:因为椭圆 C 的方程为

x2 y 2 + = 1, 16 12
………………2

所以 a = 4 , b = 2 3 , c = a 2 - b 2 = 2 , 分 则 e= 分 因为

c 1 = , | FA |= 2 , | AP |= m - 4 . a 2

………………3

| FA | 2 1 = = , | AP | m - 4 2
………………5

所以 m = 8 . 分 (Ⅱ)解:若直线 l 的斜率不存在,则有 S1 = S 2 ,不合题意. 分

………………6

若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y = k ( x - 2) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .

ì x2 y2 + = 1, 由 ? í 16 12 ? ? y = k ( x - 2),
得 (4 k 2 + 3) x 2 - 16 k 2 x + 16 k 2 - 48 = 0 ,
第 10 页 共 13 页

……………… 7

分 可知 D > 0 恒成立,且 x1 + x2 = 分 因为 DPMF 和 DPNF 的面积分别为 S1 = 所以

16k 2 - 48 16k 2 . , x x = 1 2 4k 2 + 3 4k 2 + 3

……………… 8

1 1 | PF | × | y1 | , S2 = | PF | × | y2 | , 2 2
……………… 9

S1 | y1 | y = =- 1 =2. S 2 | y2 | y2

分 即 y1 = -2 y 2 .
2 所以 y1 + y2 = - y2 , y1 y2 = -2 y2 = -2( y1 + y2 ) 2 ,

……………… 11

分 则 k ( x1 - 2) × k ( x2 - 2) = -2[ k ( x1 - 2) + k ( x2 - 2)]2 , 即 x1 x2 - 2( x1 + x2 ) + 4 = -2( x1 + x2 - 4) 2 ,

16k 2 - 48 16k 2 16k 2 2 × + 4 = 2 ( - 4) 2 , 2 2 2 4k + 3 4k + 3 4k + 3 5 解得 k = ± . 2
即 分 所以直线 l 的方程为 y = 分

……………… 13

5 5 ( x - 2) 或 y = ( x - 2) . 2 2

……………… 14

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:结论:当 a = -1 , b = 0 时,函数 f ( x) 和 g ( x ) 不相切. 理由如下: 由条件知 f ( x) = - x2 , 由 g ( x) = ln x ,得 x > 0 , 又因为 f ?( x) = -2 x , g ?( x) = 1 , x 分 所以当 x > 0 时, f ?( x) = -2 x < 0 , g ?( x) = 1 > 0 , x
第 11 页 共 13 页

…………………1 分

…………………2

所以对于任意的 x > 0 , f ?( x) ? g ?( x) . 当 a = -1 , b = 0 时,函数 f ( x) 和 g ( x) 不相切. 分 (Ⅱ)解:若 a = b ,则 f ?( x) = 2ax - a , g ?( x) = 设切点坐标为 ( s, t ) ,其中 s > 0 , 由题意,得 as 2 - as = ln s , ① ② ………………4 分 …………………3

1 , x

2as - a =
由②,得 a =

1 , s

1 , s(2s - 1) s -1 代入①,得 = ln s . 2s - 1 1 > 0 ,且 s > 0 , 因为 a = s(2s - 1) 1 所以 s > . 2
设函数 F ( x) =

(*)

………………5 分

x -1 1 - ln x , x ? ( , +?) , 2x -1 2 -(4 x - 1)( x - 1) 则 F ?( x ) = . x(2 x - 1) 2
分 令 F ?( x) = 0 ,解得 x = 1 或 x = 分 当 x 变化时, F ?( x) 与 F ( x) 的变化情况如下表所示,

…………………6

1 (舍). 4

…………………7

x
F ?( x)

1 ( ,1) 2 +


1 0

(1, +?) ↘ ………………8 分

F ( x)

所以当 x = 1 时, F ( x) 取到最大值 F (1) = 0 ,且当 x ? ( ,1) U (1, +?) 时 F ( x) < 0 . 因此,当且仅当 x = 1 时 F ( x) = 0 . 所以方程(*)有且仅有一解 s = 1 . 于是 t = ln s = 0 ,

1 2

第 12 页 共 13 页

因此切点 P 的坐标为 (1, 0) .

…………………9 分

(Ⅲ) 解: 当点 P 的坐标为 ( , -1) 时, 存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) , 使得它们在点 P 处相切;
2

1 e

…………………11 分

当点 P 的坐标为 (e , 2) 时,不存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) ,使得它们在点 P 处 相切. …………………13 分

第 13 页 共 13 页


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