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直线、平面平行的判定及其性质


直线、平面平行的判定及其性质测试题 A卷
一、选择题 1.下列条件中,能判断两个平面平行的是( )

A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面 2.E,F,G 分别是四面体 ABCD 的棱 BC,CD,DA 的中点

,则此四面体中与过 E,F,G 的截面平行的棱的条 数是 A.0 B.1 C.2 D .3 ) D. a // ? , ? )
? ?b

3. 直线 a,b, c 及平面 ?,? ,使 a // b 成立的条件是( A. a // ? , b ? ? B. a // ? , b // ? C. a // c, b // c

4.若直线 m 不平行于平面 ? ,且 m ? ? ,则下列结论成立的是( A. ? 内的所有直线与 m 异面 C. ? 内存在唯一的直线与 m 平行 5.下列命题中,假命题的个数是( )

B. ? 内不存在与 m 平行的直线 D. ? 内的直线与 m 都相交

① 一条直线平行于一个平面,这条直线就和这个平面内的任何直线不相交;② 过平面外一点有且只 有一条直线和这个平面平行;③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行;④ 平行于同一条直线 的两条直线和同一平面平行;⑤ a 和 b 异面,则经过 b 存在唯一一个平面与 ? 平行 A.4 B.3 C.2 D.1

6.已知空间四边形 ABCD 中, M , N 分别是 AB, CD 的中点,则下列判断正确 的是( ) A. MN ? 1 ? AC ? BC ?
2

B. MN ? 1 ? AC ? BC ?
2 2

C. MN ? 1 ? AC ? BC ?
2

D. MN ? 1 ? AC ? BC ?

二、填空题 7.在四面体 ABCD 中,M,N 分别是面△ACD,△BCD 的重心,则四面体的四个面中与 MN 平行的是________.

8.如下图所示,四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为 其所在棱的中点,能得到 AB//面 MNP 的图形的序号的是
1









9.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 DD 1 中点,则 BD1 和平面 ACE 位置关系是



三、解答题 10.如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长是 2,侧棱长是 3,D 是 AC 的中点.求证: B1C // 平面 A1 BD .
C1

A1

B1

C D A B

11.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,M,N,G 分别是 AA1,CD,CB,CC1 的中点, 求证: (1)MN//B1D1 ;(2)AC1//平面 EB1D1 ;(3)平面 EB1D1//平面 BDG.

2

B卷
一、选择题 1. ? ,β 是两个不重合的平面,a,b 是两条不同直线,在下列条件下,可判定 ? ∥ β 的是( A. ? ,β 都平行于直线 a,b B. ? 内有三个不共线点到 β 的距离相等 )

C.a,b 是 ? 内两条直线,且 a∥ β,b∥ β D.a,b 是两条异面直线且 a∥? ,b∥? ,a∥ β,b∥ β 2.两条直线 a,b 满足 a∥ b,b A.a∥?

? ,则 a 与平面 ? 的关系是(

) D.a

B.a 与 ? 相交

C.a 与 ? 不相交

?

3.设 a , b 表示直线, ? , ? 表示平面,P 是空间一点,下面命题中正确的是( ) A. a ? ? ,则 a // ? C. ? // ? , a ? ? , b ? ? ,则 a // b B. a // ? , b ? ? ,则 a // b D. P ? a, P ? ? , a // ? , ? // ? ,则 a ? ? )

4.一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( A.异面 B.相交 ) C.平行 D.不能确定

5.下列四个命题中,正确的是(

①夹在两条平行线间的平行线段相等;②夹在两条平行线间的相等线段平行;③如果一条直线和一个 平面平行,那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等;④如果一条直线和一个平面平行,那么夹在这条 直线和平面间的相等线段平行 A.①③ B.①② C.②③ D.③④

6.a,b 是两条异面直线,A 是不在 a,b 上的点,则下列结论成立的是 A.过 A 有且只有一个平面平行于 a,b B.过 A 至少有一个平面平行于 a,b C.过 A 有无数个平面平行于 a,b D.过 A 且平行 a,b 的平面可能不存在 二、填空题 7.a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ 为三个不重合的平面,直线均不在平面内,给出六个命题:
a ∥ c? a ∥? ? ? ∥c ? ① ? ? a ∥ b; ② ? ? a ∥ b; ③ ? ?? ∥?; b ∥c ? b ∥? ? ? ∥ c? ④

? ∥ c?

? ∥? ? ? ∥? ? ? ? a ∥? ; ⑤ ? ?? ∥??⑥ ? ? a ∥? ? a ∥c ? ? ∥? ? a ∥? ?

其中正确的命题是________________.(将正确的序号都填上)

8. 设平面 ? ∥ β, A, C∈? , B, D∈ β, 直线 AB 与 CD 交于 S, 若 AS=18, BS=9, CD=34, 则 CS=_____________.
3

9.如图,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别是棱 CC1,C1D1, DD1,DC 中点,N 是 BC 中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满 足 时,有 MN∥平面 B1BD D1.

三、解答题 10.如图, 在正四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? AB ? a ,点 E 在棱 PC 上. 问点 E 在何处时, PA // 平面EBD ,并加以证明.

P E D C

A

B

11.如下图,设 P 为长方形 ABCD 所在平面外一点,M,N 分别为 AB,PD 上的点,且 直线 MN∥ 平面 PBC.

AM DN = ,求证: MB NP

4

参考答案

A
一、选择题 1.D 【提示】当 ? ? ? ? l 时, ? 内有无数多条直线与交线 l 平行,同时这些直线也与平面 ? 平行.故

A,B,C 均是错误的 2.C 3.C 【提示】棱 AC,BD 与平面 EFG 平行,共 2 条. 【提示】a // ? , b ? ? , 则 a // b 或 a , b 异面;所以 A 错误;a // ? , b // ? , 则 a // b 或 a , b 异面或 a , b

相交,所以 B 错误; a // ? , ? 理 4,所以 C 正确. 4.B

? ? b, 则 a // b 或 a , b 异面,所以 D 错误; a // c, b // c ,则 a // b ,这是公

【提示】若直线 m 不平行于平面 ? ,且 m ? ? ,则直线 m 于平面 ? 相交, ? 内不存在与 m 平

行的直线. 5.B 【提示】②③④错误.② 过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行,有无数多条直线与它平

行.③ 过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一 条在平面上. 6. D 【提示】本题可利用空间中的平行关系,构造三角形的两边之和大于第三边.

二、填空题 7.平面 ABC,平面 ABD 【提示】连接 AM 并延长,交 CD 于 E,连结 BN 并延长交 CD 于 F,由重心性质可知,E、F 重合为一点, 且该点为 CD 的中点 E,由 8. ①③ 【提示】对于①,面 MNP//面 AB,故 AB//面 MNP.对于③,MP//AB,故 AB//面 MNP,对于②④,过 AB 找一 个平面与平面 MNP 相交,AB 与交线显然不平行,故②④不能推证 AB//面 MNP. 9.平行 【提示】连接 BD 交 AC 于 O,连 OE,∴OE∥B D 1 ,OEC 平面 ACE,∴B D 1 ∥平面 ACE.

EM EN 1 = = 得 MN∥ AB.因此,MN∥ 平面 ABC 且 MN∥ 平面 ABD. MA NB 2

三、解答题 10.证明:设 AB1 与 A1 B 相交于点 P,连接 PD,则 P 为 AB1 中点,

? D 为 AC 中点,? PD// B1C .
又? PD ? 平面 A1 B D,? B1C //平面 A1 B D

5

11.证明:(1)? M、N 分别是 CD、CB 的中点,? MN//BD 又? BB1 // DD1,? 四边形 BB1D1D 是平行四边形. 所以 BD//B1D1.又 MN//BD,从而 MN//B1D1 (2)(法 1)连 A1C1,A1C1 交 B1D1 与 O 点

? 四边形 A1B1C1D1 为平行四边形,则 O 点是 A1C1 的中点
E 是 AA1 的中点,? EO 是 ? AA1C1 的中位线,EO//AC1. AC1 ? 面 EB1D1 ,EO ? 面 EB1D1,所以 AC1//面 EB1D1 (法 2)作 BB1 中点为 H 点,连接 AH、C1H,E、H 点为 AA1、BB1 中点, 所以 EH // C1D1,则四边形 EHC1D1 是平行四边形,所以 ED1//HC1 又因为 EA // B1H,则四边形 EAHB1 是平行四边形,所以 EB1//AH

?

AH ? HC1=H,? 面 AHC1//面 EB1D1.而 AC1 ? 面 AHC1,所以 AC1//面 EB1D1

(3)因为 EA // B1H,则四边形 EAHB1 是平行四边形,所以 EB1//AH 因为 AD // HG,则四边形 ADGH 是平行四边形,所以 DG//AH,所以 EB1//DG 又? BB1 // DD1,? 四边形 BB1D1D 是平行四边形. 所以 BD//B1D1.

? BD ? DG=G,? 面 EB1D1//面 BDG

B
一、选择题 1.D 【提示】A 错,若 a∥ b,则不能断定 ? ∥ β;B 错,若 A,B,C 三点不在 β 的同一侧,则不能断定 ? ∥ β; C 错,若 a∥ b,则不能断定 ? ∥ β;D 正确. 2.C 3.D 4.C 【提示】设 ? ∩β=l,a∥? ,a∥ β,过直线 a 作与 α、β 都相交的平面 γ,记 ? ∩γ=b,β∩γ=c,则 a∥ b 且 a∥ c, ∴ b∥ c.又 b ? 5.A 6. D 【提示】过点 A 可作直线 a′∥ a,b′∥ b,则 a′∩b′=A,∴ a′,b′可确定一个平面,记为 ? .如果 a ? ? ,b ? ? ,
6

【提示】若直线 a,b 满足 a∥ b,b

? ,则 a∥? 或 a ?

【提示】根据面面平行的性质定理可推证之.

? , ? ∩β=l,∴b∥l.∴a∥l.

则 a∥? ,b∥? .由于平面 ? 可能过直线 a、b 之一,因此,过 A 且平行于 a、b 的平面可能不存在. 二、填空题 7.① ④ ⑤ ⑥ 8.68 或

68 3 SB SD 9 SC ? 34 = ,即 = ,∴ SC=68. SA SC 18 SC
S

【提示】如图(1) ,由 ? ∥ β 可知 BD∥ AC,∴

?

D

B

? B S D

? ?C

A

A ??C

( 1 )

( 2 )

如图(2) ,由 ? ∥ β 知 AC∥ BD,

SA SC SC 18 SC = = ,即 = . SB SD CD ? SC 9 34 ? SC 68 ∴ SC= . 3
∴ 9.M ? HF 【提示】易证平面 NHF∥平面 BD D1 B1,M 为两平面的公共点,应在 交线 HF 上. 三、解答题 10.解:当 E 为 PC 中点时, PA // 平面EBD . 证明:连接 AC,且 AC

P E F D O A B C

BD ? O ,由于四边形 ABCD 为正方形,

∴O 为 AC 的中点,又 E 为中点,∴OE 为△ACP 的中位线, ∴ PA // EO ,又 PA ? 平面EBD ,∴ PA // 平面EBD .

11 . 证 法 一 : 过

N



NR∥ DC



PC

于 点

R , 连 接

RB , 依 题 意 得

DC ? NR DN AM AB ? MB DC ? MB = = = = NR∥ DC∥ AB ,∴四边形 MNRB 是平行四边 ? NR=MB.∵ NP MB MB NR MB
形.∴ MN∥ RB.又∵ RB 平面 PBC,∴ 直线 MN∥ 平面 PBC.

证法二:过 N 作 NQ∥ AD 交 PA 于点 Q,连接 QM,∵ 面 MQN∥ 平面 PBC.∴ 直线 MN∥ 平面 PBC.

AM DN AQ = = ,∴ QM∥ PB.又 NQ∥ AD∥ BC,∴ 平 MB NP QP

7

8


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