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第25届全国中学生物理竞赛复赛试卷


2008 年第 25 届全国中学生物理竞赛复赛试卷
本卷共八题,满分 160 分 一、 (15 分) 1、 分) (5 蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是 0.033s。 假设它是由均匀分布的物质构成的球体, 脉冲周期是它的旋转周期,万有引力是唯一能阻止它离心分解的力,已知万有引力常量
G ? 6 .6 7 ? 1 0
?11

m

? kg
3

?1

?s

?2

,由于脉冲星表面的物质未分离,故可估算出此脉冲星密度的 。
q1 q 2 r
2

下限是

kg ? m

?3

2、 5 分)在国际单位制中,库仑定律写成 F ? k (
k ? 8 .9 8 ? 1 0 N ? m ? C
9 2 ?2

,式中静电力常量

,电荷量 q1 和 q2 的单位都是库仑,距离 r 的单位是米,作用力 F
q1 q 2 r
2

的单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式 F ?

,式中距离 r 的单位是米,作用力 ,式中距离 r 的单位是米,作用

F 的单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式 F ?

q1 q 2 r
2

力 F 的单位是牛顿,由此式可这义一种电荷量 q 的新单位。当用米、千克、秒表示此新单位 时,电荷新单位= ;新单位与库仑的关系为 1 新单位= C。 3、 分)电子感应加速器(betatron)的基本原理如下:一个圆环真空 (5 室处于分布在圆柱形体积内的磁场中,磁场方向沿圆柱的轴线,圆柱的 轴线过圆环的圆心并与环面垂直。 圆中两个同心的实线圆代表圆环的边 界,与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。已知磁场 的磁感应强度 B 随时间 t 的变化规律为 B ? B 0 c o s ( 2 ? t / T ) , 其中 T 为 磁场变化的周期。B0 为大于 0 的常量。当 B 为正时,磁场的方向垂直 于纸面指向纸外。若持续地将初速度为 v0 的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内(如图) , 则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从 t= 到 t= 。

1

二、 (21 分)嫦娥 1 号奔月卫星与长征 3 号火箭分离后,进入绕地运行的椭圆轨道,近地点
2 离地面高 H n ? 2 .0 5 ? 1 0 k m ,远地点离地面高 H

f

? 5 .0 9 3 0 ? 1 0 k m ,周期约为 16 小时,
4

称为 16 小时轨道(如图中曲线 1 所示) 。随后,为了使卫星离地越来越远,星载发动机先在 远地点点火,使卫星进入新轨道(如图中曲线 2 所示) ,以抬高近地点。后来又连续三次在抬 高以后的近地点点火,使卫星加速和变轨,抬高远地点,相继进入 24 小时轨道、48 小时轨 道和地月转移轨道(分别如图中曲线 3、4、5 所示) 。已知卫星质量 m ? 2 .3 5 0 ? 1 0 k g ,地
3

3 3 球半径 R ? 6 .3 7 8 ? 1 0 k m ,地面重力加速度 g ? 9 .8 1 m / s ,月球半径 r ? 1 .7 3 8 ? 1 0 k m 。
2

1、试计算 16 小时轨道的半长轴 a 和半短轴 b 的长度,以及椭圆偏心率 e。 2、在 16 小时轨道的远地点点火时,假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同,而且点 火时间很短,可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小 F=490N,要把近地点抬高到 600km,问点火时间应持续多长? 3、试根据题给数据计算卫星在 16 小时轨道的实际运行周期。 4、卫星最后进入绕月圆形轨道,距月面高度 Hm 约为 200km,周期 Tm=127 分钟,试据此估 算月球质量与地球质量之比值。

2

三、 (22 分)足球射到球门横梁上时,因速度方向不同、射在横梁上的位置有别,其落地点 也是不同的。已知球门的横梁为圆柱形,设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到 横梁上,球与横梁间的滑动摩擦系数 ? ? 0 .7 0 ,球与横梁碰撞时的恢复系数 e=0.70。试问足 球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内(含球门上)?足球射在横梁上的位置用 球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向(垂直于横梁的轴线)的夹角 ? (小于 9 0 ) 来表示。不计空气及重力的影响。
?

3

四、 (20 分)图示为低温工程中常用的一种气体、蒸气压联合温度计的原理示意图,M 为指 针压力表,以 VM 表示其中可以容纳气体的容积;B 为测温饱,处在待测温度的环境中,以 VB 表示其体积;E 为贮气容器,以 VE 表示其体积;F 为阀门。M、E、B 由体积可忽略的毛
5 细血管连接。在 M、E、B 均处在室温 T0=300K 时充以压强 p 0 ? 5 .2 ? 1 0 P a 的氢气。假设氢

的饱和蒸气仍遵从理想气体状态方程。现考察以下各问题: 1、关闭阀门 F,使 E 与温度计的其他部分隔断,于是 M、B 构成一简易的气体温度计,用它 可测量 25K 以上的温度, 这时 B 中的氢气始终处在气态,M 处在室温中。试导出 B 处的温 度 T 和压力表显示的压强 p 的关系。除题中给出的室温 T0 时 B 中氢气的压强 P0 外,理论上 至少还需要测量几个已知温度下的压强才能定量确定 T 与 p 之间的关系? 2、开启阀门 F,使 M、E、B 连通,构成一用于测量 20~25K 温度区间的低温的蒸气压温度 计, 此时压力表 M 测出的是液态氢的饱和蒸气压。 由于饱和蒸气压与温度有灵敏的依赖关系, 知道了氢的饱和蒸气压与温度的关系,通过测量氢的饱和蒸气压,就可相当准确地确定这一 温区的温度。在设计温度计时,要保证当 B 处于温度低于 T V ? 2 5 K 时,B 中一定要有液态 氢存在,而当温度高于 T V ? 2 5 K 时,B 中无液态氢。到达到这一目的, V M ? V E 与 VB 间应
5 满足怎样的关系?已知 T V ? 2 5 K 时,液态氢的饱和蒸气压 p V ? 3 .3 ? 1 0 P a 。

5 3、 已知室温下压强 p 1 ? 1 .0 4 ? 1 0 P a 的氢气体积是同质量的液态氢体积的 800 倍, 试论证蒸

气压温度计中的液态气不会溢出测温泡 B。

4

五、 (20 分)一很长、很细的圆柱形的电子束由速度为 v 的匀速运动的低速电子组成,电子 在电子束中均匀分布,沿电子束轴线每单位长度包含 n 个电子,每个电子的电荷量为
? e ( e ? 0 ) ,质量为 m。该电子束从远处沿垂直于平行板电容器极板的方向射向电容器,其前

端(即图中的右端)于 t=0 时刻刚好到达电容器的左极板。电容器的两个极板上各开一个小 孔,使电子束可以不受阻碍地穿过电容器。两极板 A、B 之间加上了如图所示的周期性变化 的电压 V A B ( V A B ? V A ? V B ,图中只画出了一个周期的图线) ,电压的最大值和最小值分别为 V0 和-V0,周期为 T。若以 ? 表示每个周期中电压处于最大值的时间间隔,则电压处于最小 值的时间间隔为 T- ? 。已知 ? 的值恰好使在 VAB 变化的第一个周期内通过电容器到达电容 器右边的所有的电子,能在某一时刻 tb 形成均匀分布的一段电子束。设电容器两极板间的距
2 离很小,电子穿过电容器所需要的时间可以忽略,且 m v ? 6 e V 0 ,不计电子之间的相互作用

及重力作用。

1、满足题给条件的 ? 和 tb 的值分别为 ? = T,tb= T。 2、试在下图中画出 t=2T 那一时刻,在 0-2T 时间内通过电容器的电子在电容器右侧空间形 成的电流 I,随离开右极板距离 x 的变化图线,并在图上标出图线特征点的纵、横坐标(坐标 的数字保留到小数点后第二位) 。取 x 正向为电流正方向。图中 x=0 处为电容器的右极板 B 的小孔所在的位置,横坐标的单位 s ?
eV0 m

。 (本题按画出的图评分,不须给出计算过程)

5

六、 (22 分)零电阻是超导体的一个基本特征,但在确认这一事实时受到实验测量精确度的 限制。为克服这一困难,最著名的实验是长时间监测浸泡在液态氦(温度 T=4.2K)中处于超 导态的用铅丝做成的单匝线圈(超导转换温度 TC=7.19K)中电流的变化。设铅丝粗细均匀, 初始时通有 I=100A 的电流,电流检测仪器的精度为 ? I ? 1 .0 m A ,在持续一年的时间内电流 检测仪器没有测量到电流的变化。根据这个实验,试估算对超导态铅的电阻率为零的结论认 定 的 上 限 为 多 大 。 设 铅 中 参 与 导 电 的 电 子 数 密 度 n ? 8 . 0 0? 1 0 m , 已 知 电 子 质 量
2 0 3

m ? 9 .1 1 ? 1 0

?31

kg , 基本电荷 e ? 1 .6 0 ? 1 0

?19

(采用的估算方法必须利用本题所给出的有 C 。

关数据)

6

七、 (20 分)在地面上方垂直于太阳光的入射方向,放置一半径 R=0.10m、焦距 f=0.50m 的薄 凸透镜,在薄透镜下方的焦面上放置一黑色薄圆盘(圆盘中心与透镜焦点重合) ,于是可以在 黑色圆盘上形成太阳的像。已知黑色圆盘的半径是太阳像的半径的两倍。圆盘的导热性极好, 圆盘与地面之间的距离较大。设太阳向外辐射的能量遵从斯特藩—玻尔兹曼定律:在单位时 间内在其单位表面积上向外辐射的能量为 W ? ? T ,式中 ? 为斯特藩—玻尔兹曼常量,T 为
4
3? 辐射体表面的的绝对温度。对太而言,取其温度 t s ? 5 .5 0 ? 1 0 C 。大气对太阳能的吸收率为

? ? 0 .4 0 。又设黑色圆盘对射到其上的太阳能全部吸收,同时圆盘也按斯特藩—玻尔兹曼定

律向外辐射能量。如果不考虑空气的对流,也不考虑杂散光的影响,试问薄圆盘到达稳定状 态时可能达到的最高温度为多少摄氏度?

7

八、 分) (20 质子数与中子数互换的核互为镜像核, 例如 H e 是 3 H 的镜像核, 同样 3 H 是 H e
3 3 3 的镜像核。已知 3 H 和 H e 原子的质量分别是 m 3 ? 3 .0 1 6 0 5 0 u 和 m 3
H

? 3 .0 1 6 0 2 9 u ,中子
He

和质子质量分别是 m n ? 1 .0 0 8 6 6 5 u 和 m p ? 1 .0 0 7 8 2 5 u , 1u ? 静电力常量 k ?
1 .4 4 e
3

9 3 1 .5 c
2

M e V ,式中 c 为光速,

2

M e V ? fm ,式中 e 为电子的电荷量。

1、试计算 3 H 和 H e 的结合能之差为多少 MeV。 2、已知核子间相互作用的“核力”与电荷几乎没有关系,又知质子和中子的半径近似相等,试 说明上面所求的结合能差主要是由什么原因造成的。并由此结合能之差来估计核子半径 rN。 3、实验表明,核子可以被近似地看成是半径 rN 恒定的球体;核子数 A 较大的原子核可以近 似地被看成是半径为 R 的球体。根据这两点,试用一个简单模型找出 R 与 A 的关系式;利用 本题第 2 问所求得的 rN 的估计值求出此关系式中的系数;用所求得的关系式计算 半径 R p b 。
208

P b 核的

8


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