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1.4 集合的基本运算


§1.4 集合的基本运算

第一节

交集

并集的概念

一、复习准备: 1.已知 A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5},则 A 2.用适当符号填空:0 {0} {0} 0 Φ Φ S, {x|x∈S 且 x ?A}= {x|x 2 +1=0,X∈R} {x|x>-3} {x>2} 。

{x|x<3 且 x>5} {x|x>6}

{x|x<-2 或 x>5}

二、讲授新课: 1.交集、并集概念及性质: ① 探讨:设 A ? {4,5,6,8} , B ? {3,5,7,8} ,试用 Venn 图表示集合 A、B 后,指出它们的公共部 分(交) 、合并部分(并). ② 讨论:如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并? ③ 定义交集:一般地,由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫作 A、B 的 交集(intersection set) ,记作 A∩B,读“A 交 B” ,即:A∩B={x|x∈A 且 x∈B}。 ④ 讨论:A∩B 与 A、B、 B∩A 的关系?
B A A(B) A B A B A B

⑤ 图示五种交集的情况:? ⑥ 练习(口答) : A={x|x>2},B={x|x<8},则 A∩B= ; 。

A={等腰三角形},B={直角三角形},则 A∩B=

⑦定义并集: 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做 A 与 B 的并集 (union set) 。记作:A∪B,读作:A 并 B。用描述法表示是:? ⑧分析:与交集比较,注意“所有”与“或”条件; “x∈A 或 x∈B”的三种情况。 ⑨讨论:A∪B 与集合 A、B 的关系?→ A∪A= ⑩练习(口答) : A∪Ф A∪B = B∪A ;

A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∪B= ; 。

设 A={锐角三角形},B={钝角三角形},则 A∪B= A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∪B= 2.教学例题: ,A∩B=

1.出示例 1:设 A={x|-1<x<8},B={x|x>4 或 x<-5},求 A∩B、A∪B。 格式 → 结果分析 → 数轴分析 → 比较:解方程组 → 变:A={x|-5≤x≤8}
1

2.练习:

设 A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},求 A∩B。

格式 → 几何意义 → 注意结果 → 变题:B:4x+y=3 或 B:8x+2y=12 三、巩固练习: 1.若{-2,2x,1} ? {0,x 2 ,1}={1,4},则 x 的值 。

2.已知 x∈R,集合 A={-3,x 2 ,x+1},B={x-3,2x-1,x 2 +1},如果 A∩B={-3},求 A∪B。 (解法:先由 A∩B={-3}确定 x) 3.已知集合 A={x|a-1<x≤a},B={x|0<x<3},且 A∩B=Ф ,求 a 的取值范围。 4.若 A={(x,y)|y= },B={(x,y)|y=x+1},则 A ? B=
6 x



四.小结:交集与并集的概念、符号、图示、性质;熟练求交集、并集(数轴、图示) 。

第二节

全集、补集

一、讲授新课: 1.教学全集、补集概念及性质: ① 预备题:U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学}, 则 U、A、B 有何关系? ②结论:集合 B 是集合 U 中除去集合 A 之后余下来的集合。 → 画图分析

③定义全集(universe set) :含有我们所研究问题中所涉及的所有元素构成的集合,记作 U, 是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 ④定义补集(complementary set) :已知集合 U, 集合 A ? U,由 U 中所有不属 于 A 的元素组成的集合,叫作 A 相对于 U 的补集,记作: CU A ,读作: “A 在 U 中补集” ,即 CU A ? {x | x ?U , 且x ? A} 。补集的 Venn 图表示如右: (说明:补集的概念必须要有全集的限制) 练:U={2,3,4},A={4,3},B=φ ,则 CU A = , CU B = ; → 图形分析
U A CUA

⑤ 讨论:A.在解不等式时,把什么作为全集?在研究图形集合时,把什么作为全集? B. Q 的补集如何表示?意为什么?

⑥ 练习(口答) : 设 U={x|x<8,且 x∈N},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则 CU A = 设 U={三角形},A={锐角三角形},则 CU A = 2.教学例题: 补充例题:U={x|x<13,且 x∈N},A={8 的正约数},B={12 的正约数},求 CU A 、 CU B 。
2





出示 → 学生试逐个求 → 再试用图示求

3.练习: 设 U=R,A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求 A∩B、A∪B、 CU A 、 CU B 。 独立练习 → 方法小结:如何数轴分析 4.探究:结合图示分析,下面的一些集合运算基本结论。 A∩B=B∩A, A∩B ? A, A∩B ? B, A∩φ =φ ; A∪B=B∪A, A∩C U A=φ , A∪B ? A, A∪B ? B, A∪φ =A; A∪C U A=S, C U (C U A)=A

5.小结: 补集、全集的概念;补集、全集的符号;图示分析(数轴、Venn 图) 。 三、巩固练习: 1.已知 U={x∈N|x≦10}, A={小于 10 的正奇数}, B={小于 11 的质数}, 则 C U A= 2.已知集合 A={0,2,4,6}, C U A={-1,-3,1,3},C U B={-1,0,2},则 B= 法 3.定义 A—B={x|x∈A,且 x ? B},若 M={1,2,3,4,5},N={2,4,8},则 N—M= 四.小结:全集与补集 。 、 C U B= 。

。 ( 解法:Venn 图

练习题 一、选择题 1.若集合 X ? {x | x ? ?1} ,下列关系式中成立的为( A. 0 ? X B. ?0? ? X C. ? ? X )

D. ?0? ? X

2. 50 名同学参加跳远和铅球测验,跳远和铅球测验成绩分别为及格 40 人和 31 人, 2 项测验成绩均不及格的有 4 人, 2 项测验成绩都及格的人数是( ) A. 35 B. 25 C. 28 D. 15 3.已知集合 A ? x | x 2 ? mx ? 1 ? 0 , 若A ? R ? ?, 则实数 m 的取值范围是( A. m ? 4 B. m ? 4 C. 0 ? m ? 4 D. 0 ? m ? 4 4.下列说法中,正确的是( ) A.任何一个集合必有两个子集; B. 若 A ? B ? ? , 则 A, B 中至少有一个为 ?
3

?

?



C.任何集合必有一个真子集; D.若 S 为全集,且 A ? B ? S , 则 A ? B ? S , 5.若 U 为全集,下面三个命题中真命题的个数是( (1)若 A ? B ? ? , 则?CU A? ? ?CU B? ? U (2)若 A ? B ? U , 则?CU A? ? ?CU B? ? ? (3)若 A ? B ? ?,则A ? B ? ? A. 0 个 B. 1 个
2 4



C. 2 个

D. 3 个
4 2

6.设集合 M ? {x | x ? k ? 1 , k ? Z } , N ? {x | x ? k ? 1 , k ? Z } ,则( A. M ? N B. M
N



C. N

M

D. M ? N ? ? )

7.设集合 A ? {x | x2 ? x ? 0}, B ? {x | x2 ? x ? 0} ,则集合 A ? B ? ( A. 0 二、填空题 B. ?0? C. ? D. ??1,0,1?

1.已知 M ? y | y ? x 2 ? 4x ? 3, x ? R , N ? y | y ? ? x 2 ? 2x ? 8, x ? R 则 M ? N ? __________ 。 2.用列举法表示集合: M ? {m|
10 ? Z , m ? Z} = m ?1

?

?

?

?



3.若 I ? ?x | x ? ?1, x ? Z? ,则 C I N =

。 。

(A ? B) ?C ? 4.设集合 A ? ?1,2?, B ? ?1,2,3?, C ? ?2,3,4? 则

? y?2 ? 5.设全集 U ? ?( x, y ) x, y ? R? ,集合 M ? ?( x, y) ? 1? , N ? ?( x, y ) y ? x ? 4? , x?2 ? ?
那么 (CU M ) ? (CU N ) 等于________________。 三、解答题 1.若 A ? ?a, b?, B ? ?x | x ? A?, M ? ?A?, 求CB M .

4

2.已知集合 A ? ?x | ?2 ? x ? a? , B ? ? y | y ? 2x ? 3, x ? A? , C ? ? z | z ? x 2 , x ? A? , 且 C ? B ,求 a 的取值范围。

3.全集 S ? ?1,3, x 3 ? 3 x 2 ? 2 x? , A ? ?1, 2 x ? 1 ? ,如果 C S A ? ?0?, 则这样的 实数 x 是否存在?若存在,求出 x ;若不存在,请说明理由。

参考答案 一、选择题 1. 1. D

0 ? ?1,0 ? X ,?0? ? X

B 全班分 4 类人:设两项测验成绩都及格的人数为 x 人;仅跳远及格的人数 为 40 ? x 人;仅铅球及格的人数为 31 ? x 人;两项成绩均不及格的人数为 4 人 。 ∴ 40 ? x ? 31 ? x ? x ? 4 ? 50 ,∴ x ? 25 。 C 由 A ? R ? ?得A ? ? , ? ? ( m)2 ? 4 ? 0, m ? 4, 而m ? 0, ∴ 0 ? m ? 4 ; D 选项 A: ? 仅有一个子集,选项 B:仅说明集合 A, B 无公共元素,

3. 4.

选项 C: ? 无真子集,选项 D 的证明:∵ ( A ? B) ? A,即S ? A, 而A ? S , ∴ A ? S ;同理 B ? S , ∴ A ? B ? S ; 5. D (1) (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) ? CU? ? U ; (2) (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) ? CUU ? ? ; (3)证明:∵ A ? ( A ? B),即A ? ? , 而? ? A ,∴ A ? ? ; 同理 B ? ? , ∴ A ? B ? ? ;

5

6. 7.B

B

M:

2k ? 1 奇数 k ? 2 整数 , , ;N: ,整数的范围大于奇数的范围 4 4 4 4

A ? ?0,1? , B ? ??1,0?

二、填空题 1.

?x | ?1 ? x ? 9?
2 M ? ? y | y ? x 2 ? 4 x ? 3, x ? R? ? ? y | y ? (x ? 2) ? 1 ? ?1? 2 N ? ? y | y ? ? x 2 ? 2 x ? 8, x ? R? ? ? y | y ? ? (x ? 1 ) ? 9 ? 9?

2. 3. 4. 5.

?? 11,?6,?3,?2,0,1,4,9?
?? 1?
2, 3, 4? ?1,

m ? 1 ? ?10, ?5, ?2, 或 ? 1( 10 的约数)

I ? ??1? ? N , CI N ? ??1? A ? B ? ?1 , 2?
M : y ? x ? 4( x ? 2) , M 代表直线 y ? x ? 4 上,但是

??2,?2??

挖掉点 (2, ?2) , CU M 代表直线 y ? x ? 4 外,但是包含点 (2, ?2) ;
N 代表直线 y ? x ? 4 外, CU N 代表直线 y ? x ? 4 上,

∴ (CU M ) ? (CU N ) ? ?(2, ?2)? 。 三、解答题 1. 解: x ? A, 则x ? ?,?a?,?b?, 或?a, b? , B ? ??,?a? ,?b? ,?a, b?? ∴ CB M ? ??,?a?,?b?? 2. 解: B ? ?x | ?1 ? x ? 2a ? 3? ,当 ?2 ? a ? 0 时, C ? ? x | a 2 ? x ? 4? ,
1 而 C ? B 则 2a ? 3 ? 4, 即a ? , 而 ? 2 ? a ? 0, 这是矛盾的; 2

当 0 ? a ? 2 时, C ? ?x | 0 ? x ? 4? ,而 C ? B ,
1 1 则 2a ? 3 ? 4, 即a ? , 即 ? a ? 2 ; 2 2

当 a ? 2 时, C ? ? x | 0 ? x ? a 2 ? ,而 C ? B , 则 2a ? 3 ? a2 ,即 2 ? a ? 3 ; ∴
1 ?a?3 2

6

3. 解:由 CS A ? ?0? 得 0 ? S ,即 S ? ?1,3,0? , A ? ?1,3? ,
? 2x ?1 ? 3 ? ∴? 3 ,∴ x ? ?1 2 x ? 3 x ? 2 x ? 0 ? ?

课后作业:
一、选择题 1.设集合 A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则 A∪B 等于( A.{x|x≥3} C.{x|2≤x<3} D.{x|x≥4} 2.已知集合 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则 A∩B=( A.{3,5} B.{3,6} C.{3,7} D.{3,9} 3.集合 A={0,2,a},B={1,a2}.若 A∪B={0,1,2,4,16},则 a 的值为( A.0 B.1 C.2 D.4 ) ) ) B.{x|x≥2} )

4.设 S={x|2x+1>0},T={x|3x-5<0},则 S∩T=( 1 A.? B.{x|x<-2}

5 1 5 C.{x|x>3} D.{x|-2<x<3} )

5.已知集合 A={x|x>0},B={x|-1≤x≤2},则 A∪B=( A.{x|x≥-1} B.{x|x≤2} 二、填空题

C.{x|0<x≤2} D.{x|-1≤x≤2}

6. 已知集合 A={x|x≤1}, B={x|x≥a}, 且 A∪B=R, 则实数 a 的取值范围是________. 7.满足{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合 A 的个数是________. 8.50 名学生参加甲、乙两项体育活动,每人至少参加了一项,参加甲项的学生有 30 名, 参加乙项的学生有 25 名,则仅参加了一项活动的学生人数为________. 9.已知集合 A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},若 A∩B={9},求 a 的值. 10.已知集合 A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若 A∪B={1,2,3,5},求 x 及 A∩B. 11.已知 A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1 或 x>5},若 A∩B=?,求 a 的取值范围. 12.(10 分)某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两 个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26,15,13,同时参加数学和物理小组 的有 6 人,同时参加物理和化学小组的有 4 人,则同时参加数学和化学小组的有多少人?

7

8


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