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2008年全国高中数学联赛山东赛区预赛


中等数学

2008年全国高中数学联赛山东赛区预赛
一、选择题(每小题6分,共60分)

1.若方程
算2+(1—2 i)菇+3m—i=0(m∈R) 有一实根,则它的另一个根为( ).


6.已知函数),=一j兰的反函数的
再一Ⅱ一上

图像关于点(一.1,

3)成中心对称图形.则实数
口等于( (A)2 ). (B)3 (C)一2 (D)一3

(A)一要+2 i
(c)一去+2
i.

(B)丢一2
(D)去一2



7.有6个座位连成一横排,三人就座,恰 有两个空位相邻的不同排法共有( )种.
(A)48 (B)60 (C)72


(D)96

2.若函数八z)log。菇(o>o,且口≠1)满

8.实系数一元二次方程 石2+(口+1)省+口+b+1=0

足,(罢)>,(丢),则,(1一i1)>l的解集
是( ). (A)o之戈<i1 口 (c)1<戈<三

的两个实根为戈1、x2.若0<菇1<1,菇2>1,则

(B)o<从击
工一o

旱的取值范围是(

).

(D)1<菇<.—_=

(A)(一2,一虿1)。(B)(-2’专)
(c)(“一吉)t(叫“虿1)
9.在四棱锥P—ABCD中,

3.数列{o。}、{b。}均为正整数等差数列, 它们的公差分别为d。、d:,且均大于零.若 集合A={口。l n∈N+},B={b。h∈N+}, 则两数列首项相等(即口l_b。=口)是集合
C=A n

,4蕊:(4,一2,3),动=(一4,1,o), 一AP:(一6,2,一8).
则这个四棱锥的高h=( (A)1 (B)2 (C)13 ). (D)26 10.对于实数名,[z]表示不超过实数戈 的最大整数.已知正数数列t口。}满足

B的元素也是一正整数等差数列的



).

(A)必要但不充分的条件 (B)充分但不必要的条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件

口l_1^=丢(”去),
其中,S。为数列{口。}的前n项和.则

4.以双曲线寺一备=1的离心率为半
径、右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相 切.则m=( ).

【吉+夏1+..。+熹㈠).
(A)17 (B)18 (C)19 (D)20

(A)吾

(B)导

(c)导

(D)詈

二、填空题(每小题6分,共24分)
11.在一次投篮测试中,每人只要投中3

5.已知4--(o皓口,sin口),6=(00B p,sin卢),

个,即为合格,不用再投,不过每人至多只能

I口一西I.学.若o<口<号,一号<p<0,且
sin

投5次.一投篮命中率为鲁的球员,其测试合
格的概率为


p=一素,则sin口=(

).,

(A)器(B)詈(c)磊(D)葫34
万方数据

12.如图l,由沿河城市A运货到另一地 点B.日离河岸最近的C处b lan.按沿河的 距离算,Ac的距离为o km.如果水路运费是

2009年第3期

公路运费的上(n是大于1的实数),欲从点


曰修一条公路到河岸点D处,为使由A到曰

的总运费最小,则DC=——km.

②对于任意的戈∈{一2,一1,0,l,2}, 以茹)均为整数; (IDAl)=1,f(5)=70. 试判断,对于每个整数z,八戈)是否为整
数,并对你的结论给出论证.

弋 。谚
图1 图2

参考答案
一、1.C. 设方程的实根为a,另一根为口+b (o、b∈R).则 龙2+(1—2 i)菇+3m—i


13.如图2,已知在四边形ABCD中,AC

:l。,BD:l:.则(蕊+茄)?(葡+商)=

=(戈一口)[菇一(口+b i)]
=x2一(口+o+b i)x+口(o+b i)=0. 对比系数得
b=2,口+口=一1,ab=一1.


14.数列{口。}满足a。+。=矿与.若对任
意的正整数/7,,均有‰+。>‰,则o。的取值
范围是


解得口:一喜,。:一{.
2.D.

三、解答题(共66分) 说明:解题时,应写出文字说明、证明过
程和演算步骤. 15.(12分)F(1,0)为一定点,P(0,b)是

由“罢)=?09。丢>“丢)=崦。丢,得
0<口<1.

o.若点Ⅳ满足2菌。商:o,求:
的交点轨迹. 16.(12分)设函数

:y轴_k篚J-动点,点肘(口,o)满足南?帝=
(1)点Ⅳ的轨迹曲线c的方程; (2)曲线C的任何两条相互垂直的切线

所以,原不等式等价于0<1一一1<口. 解此不等式得

一1<一』<o一1=争1<省<彳—L一.
3.B.

.厂(戈)=z(1+髫)2(xE(一∞,0]). (1)求.厂(菇)的极值点;
(2)对任意的口<0,以F(o)记f(石)在

以[d。,d:]记作d。、d:的最小公倍数.
若有口。=b。=口,则对任意自然数儿,有 口+“dl,d2]∈c.

[口,o]上的最小值点,求k:生掣的最小值.
17.(12分)已知髫>0,Y>0,z>0,且

反之,对任意的c。∈C,则
c。=口+(凡l一1)dl=口+(n2—1)d2, 即d2I(n1—1)d1,d1 I(n2—1)d2. 故c。=n+“d。,d:](n是一自然数). 从而,条件是充分的.

舻=1.证明:

?<击+南+南<2..
18.(15分)设K、L、肘、Ⅳ分别为四面体 ABCD的棱AB、BC、CD、DA上的点.若K、L、

但条件不是必要的.反例如下:
A={1,2,…,n,…}, B={2,3,…,n+lj…},
C=A 4.B.

肘、N四点共面,且面AN=,丽BL,求证:器=篙.
19.(15分)已知函数 “菇)=似4+如3+饿2+dx 满足 ①a、b、c、d均大于0;

n B=B,但01≠b1.

注意到口=2,6= ̄/m,

c:而舻孕.

万方数据

中等数学

渐近线方程为鲁±{=0,即 √m


作出可行区域,直线o+b+1=0及
2口+b+3=0的交点为A(一2,1)(如图3), (口,b)的可行区域即为图中阴影部分(不带 边界).


/赢±2y=0.

右焦点(/而,O)到渐近线的距离为
d:6:而.

-b

:o的值为可行区
域中的点(口,b)与原点

从而,6=王笔卫号m=导.
5.C.

连线的斜率.显然,它 小于直线伽的斜率

I口一西12=(cos口一COS p)2+(sin口-sin =2—2(cos a?C08 p+sin口?sin p) =2—2cos(fl,一卢),

p12

一去,大于直线2a+


黏 I/>
图3

0-a





b+3=0的斜率一2
(图3中虚线所示范

即2—2cos(口一p)=了4,eos(a一卢)=了3. 围),即一2<旦<一百1.

由a=(口一p)+卢,且o<口<号,一吾<

//<0及sin卢=一嘉,cos(口一p)=了3,知 J9=器'sin(a一卢)=了4.
cos

望必的高为册,南=(聋,,,,z).则 朋?AB=4x一2y+3z=0,
,.B.

?——+———+

PH’AD=一4%+y=0.

故sin口=sin[p+(口一p)]

解得,,=4X,Z=了4鼽

=sin/9?叩(口一卢)+oos
6.A.

p?豳(口一卢)=善.

一PH=(硝菇,导戈).
,。

此时,(AP+册)?册=AP?用+I册12=O.
32 26 一一 PA7 PH =一6x+8x一号肛一等髫, I—PHI 2=X2+16菇2+萼髫2=等石2.

-..,—'——●、——+——'——+——’6

在原函数图像上取点(1,i1—1),则点

(丢一1,1)在其反函数图像上,它关于点
(一i,3)的对称点为(一1—1口,5).从而,点

所以,一了26z+孚石2=o.
解得省=0(舍去),菇=两6.

(5,一1一丢)在原函数图像上.


所以,一1一i1=一晶j口=2.
3一口一l

7.C.

、z

将座位按顺序编号为1,2,…,6.

故^=I—PHI=√茗2+16菇2+萼菇2 =…√等=巧6 x了13=2.
加.B.

若相邻空位是1和2或5和6时,各有

排法q?越种;若相邻空位是2和3’或3和4
或4和5时,各有排法畦?A3种. 所以,恰有两个空位相邻的不同排法共

&={(¨瓦1)=丢【(s。嗵-1)+志】’

注意到

有2a?A3+3畦?砖=72种.
8.A.

s—s川2赢,
s:=s:一1+1.

令八z)=戈2+(o+1)x+口+b+1.贝4

鬈O<x。l“’营黜务{测我.

觚+厂;j<2^<厂i万+^.

因为S。=口l_1,所以,s:=n,S。=^.

万方数据

2009年第3期

31

_—』—#:丽一6<{ 万i再忑刮¨卜彻<孺 ?<7亏}:_了i <下—三一:^一历.
2√凡一√n一1?

13.Zj—Zj.

如图4,设E、F、 G、日分别为AB、BC、 CD、DA的中点.则

令Js=酉1+夏1+…+瓦1.则
虿S>、/101—1>9毒s>18. 又因为S1=口1=1,所以,

嬲=E8+船+cG.

又EG=砑+AD+
DG,故
图4

2嬲

=(E8+FA)+(船+AD)+(CG+DG)
———?’.———’

——’—+

.——’——’.——’——+

i一面尸巫+丽"一+2Sloo

<俪一1=9,

=BC+AD.

即s<2(9+虿1)一=19.
从而,[S]=18.

同理,2一HF:商+葡. =EF+ 又一EG:商+一Eli,一HF:一HE+一HG’贝¨ 又 ,贝0 ,——+——÷、 ,——+——+.——+———I.






(佃+们)?(日C+删)=4 EG?胛 ,——+——÷、 ,——+——÷、

=4(朋+EH)?(船+鹏)
=碍一乐

--,II.篙.
该球员: 4次投篮投中3个的概率为

=4(I EFl2一I FJtI。+肠『?HG 4-EF?liE)


,——+一——+一——+——+——_I●——+.

14.口1<1.

3次投篮投中3个的概率为(号)3=芴8; 吾×(吾)2×吉喏=嘉;
5次投篮投中3个的概率为

‰。飞=击--an-筹>。 2瓦——乏_=_石=_一>u
on+1一口n

铮o。<2,且口。≠1. 因此,问题转化为使口。恒小于2时o.
的取值范围.由于

.也?志.

号×(吾)2×(吾)2暖=豇16.、 测试合格的概率为嘉+芴8+豇16=豇64.

‰“戡哪n>1铮%“2度“,
则当口。<1时,恒有if,。<1<2.

从而,对任何正整数n,有n。+,>‰.
若口。>1,则存在正整数m,使得


不妨设公路运费为1.则水路运费为上.

m+1 口一>——. m


以z)=去(口一髫)+厢. “加÷志=≤雾
因为菇>0,b>0,所以,

令DC=名km.则由A到B的总运费为

事实上,若有口。>卫丛,则




2飞<2一学=宇,

即。川2去>寿?一
因此,由al>旦兰,可得am>{:2,即 m’


,7(髫)>o营脏>厂瓦7

酣>雨b2铮算>压b2
万方数据

a。+。<a。.所以,a1的取值范围为a1<1. 三、15.(1)注意到
————’———+

从而,知,7(戈)=o,即髫=≯与是厂(x)

PM=(a,一b),PF(1,一b).

的最小值点,即DC=≯刍h.

由一PM?一PF:0,得a+b2:0. =,得

?

+2=.

设点Ⅳ(菇,Y).则

32
———’


中等数学
~———一.


PN=(菇,Y—b),NM(口一戈,一Y). 从而,2(菇,Y—b)+(口一戈,一Y)=0,即
o+菇=0.Y一2b=0.

当菇<一l或菇>一号时,,7(髫)>o;
当一1<省<一吉时,厂7(石)<o.
所以,,(z)有两个极值点:

所以,筇=一口=b2=y_.2.、 因此,曲线C的方程为Y2=4x. (2)对于曲线C: 当Y>0时,有

菇。=一1是极大值点,以一1)=o;

菇:=一号是极小值点,“一了1)=一芴4.
(2)如图 5所示,过点
l -1 ~3
l,

闩^∥=击=争
q篱


当Y<0时,有

y=一2厶,y7=一兀1=72.
总之,曲线C上除原点(0,0)外任意一

(一了1,一芴4)
作直线Y=

一r—、

j—/

/。 晓1

乃o,一务
图5

点(z,!y)处的切线斜率为三.
o ^,

一一427,与以茁)
’了J\^,

设z。、z:为曲线C的两条相互垂直的切
线,切点分别为(菇。,Y。)、(髫:,Y:).则其方程 分别为

的图像的另一个交点为A(菇,一嘉).则 一刍=菇(髫+1)2
即27x3+54x2
4-27x+4=0.

“Y=考(石一省1)+Yl;
已知有解戈=一了1.则

z2:y=丧(髫一菇2)+Y2.
交点横坐标z满足

(3茹+1)(9筇2+15菇●4):0.

解得A(一导,一刍).
当口<一导时,

2x(万1—1y:)+2(费一蚤)+(yt—yz)

=2菇(等)+2(等一等)一c扎嘣)
=(Y2-Y1)(焘+丢一-)一o.
由Zl上Z2,知Y1 又Y2≠Y1,则
Y2=一4.

F(口)=m),五=掣=(1+∥>吾;
当一号≤口每一专时,
、4 4

F(口)=一芴4,忌=孚≥{=吾,
一了

一号+了1—1--0:=》x=一1.
所以,直线茹=一1是所求轨迹. 注:本题理应再证明z=一1上任意一
点均为曲线C的两条互相垂直的切线的交

特别地,当口=一导时,有后=吉;
当一百1<口<0时,


点,这里不作要求.得到髫=一1即为满分.
16.(1)由 .厂7(笫)=(1+筇)2+2x(1+菇) =(1+石)(1+3x)=0,

,(。=m),忌=掣=(1+o)2>吉.
所以,对任意的口<o,I|}的最小值为吉.
此时,。=一百4.

解得省l=一1,石2=一专.
万方数据

2009年第3期

33

17.仕取a>0,令b=O,X,c=妙.

白栌=l,得菇=ib,),=詈,z=詈.故

:丽‰(PC.AC—PC?Qc’ ?p 一PQ?AC


击+南+壶=孺a毒颐b蒜. p,即黔凿. ≥云j_厩+石1_丽+云1_而2

一丝:丛殳一尘丝

>.{+—0绰?二1.
<i而+i而+乒而2
o+c

一PQ’AC—DC’



l?

19,因为.厂(1)=a+b+c+d,

又而a+士+熹
o+’b、

.厂(一1)=a—b+c—d,
‘b.4-0一


以1)+八一1)=2a+2c, 八1)一八一1)=2b+2《, 所以。施+2c、26+2d均为整数. 因为以2)=。16a+86+4c+2d, .厂(一2)=16a一8b+4c一2d, 7-(2)+以一2)未32a+8c,


z,

故i<而1‘+南斗南<2.
18.记平面K/MN‘为口,aC所在直线为z.
(1)若Z∥口(如图‘6).

、苫笳=器’肴署_嚣:

“2)一以一2)、=(16b+4d, 所以,32a+8c、16b 0.4d均为整数.
又32u-+8c一4(2辑+2£)=24a≮ 116(2a+2c)一(32a+8e),;’24c, 1155冲4d一2(2b+2d)j
12b,

鹾=丽DN。笞=基,:县i器=面AK. 蔽葡2丽?菇2磁,碾”丽2面‘




8(2b;2d)’一(’16b+4d)=12d;

且口、b、c、d均大予o,则24a、12∥,24c、12d


均为正整数. ,令24a=k,12b景Z,24c弓。m,12d=,l

(k、Z、m、,l均为正整数).则
圈6 圈7

“1)=q+b+c十d 2砑●砭+芴+.萎?
.1。 。‘

:,1、



’l





(2)若l∥口,设zn口=P(如图7).则点

户既在直线娩上,也在萱线脚上.
加、册.则加∥胭iNq//ICO.,。、i

所以,24f(.1)=一J|}+2z+rig+2n..
同理,24f(一L)=k一2Z+m一2n.

一在z,上取点Q,使筹置筹。=器:;联结


从而,犁[八1)+“_1)];2(k+m), 24[以1)一以一1)]=4(z+邛).. 于是,k+m是12的倍数,Z+、n是6的 倍数. 由.厂(1)=1,得k+m+2(z+n)=24.
所以,l|}+m=12,l+n=6.

显然,有丽DM=丽AK铮丽MC=万KB..
.,

M.c?馏=葡PC!筹,够,

~-昔赤(PQ。A?一牌‘?∞、?
万方数据

筹三一二箬“一茬:篝;襄番篙。Aqcc
善南‰[(彤+面)凹h_(o+cP)Qc]

由.厂(5)=70,得
625a+125b+25c 4r5d=70.

于是,署||}+

5im+瓦1 rg=14+,即

】25k+50Z+5m+2rt=14×24=336.

中等数学

■锞外剃结◆

簸营奥潞霞禽劫睁期缘趣(116)、
第一试

1.黄龙一丢=店,面笋丢拣的值
一、选择题(每小题7分,共42分).

点F、G.则篆的L值为(

).

(A)学、(B)学(c)竽(D)学
57已知二次函数/(茗)满足,(一2)_=1,
八2j=2,且茗≤,(菇)舞百1(菇2+4)对于一切
’实数髫均成立.则“4).的值为(
).5

(A)篆(B)筹'(乙,4弱5∞)慧
2.在平面直角坐标系中,点A在第一象 限,点B在第二象限,点c在坐标轴上,满足 A ABC是直角三角形构点C最多有,口个。,最

(A)弘(嗡9(s)譬、(D)5
6:鼋知芝谚是白D的弦,点P在劣弧船

少有’6个j则+谚十为的值为(


.(cHl .c、㈣12 3.一个袋子里装有。2 000个红球。1 000 个黑球i10个黄球,这些球仅颜色不同:要保 萑摸出的球中有l 000个颜色相同j1至少应 摸出(。,,)个. 。:《A)1 010(B)2 000’(C)2 008(D)2 009
(A)}o,(B)10:
‘。

)。。。

上(AP《胆),点c在优弧仰上,且CP= BP,过P作用A_AS于Q.则Ac+AQ与加
的大小关系为(
。).

(鲥邶,+Aq>明(B)AC+AQ=BQ
‘(c),4c率AQ t盘叼

4.在Rt△霹8C,中,?么A掣3伊,1么℃=

(Dy以上都不对 .二、填空题(每小题7分,奘28‘分),+ 1.66…677…788??谗除以72的余数为
-。’、’—J■-’、_一■_‘、●一
100/P

900,分别以肛、AC为边向△ABC外部作正 AABD、△ACE,联结4砸分别交AC.‘AB于
而125||}+卯Z+5m+'2n =120k+5(k+m)4+50Z+2,l
=120k+5×12+501年2n

10卟loo'i"

-。故文髫.)迳c刍≯专{菇3+易氟j-丢茹
=砑1茹(茗3+6算2¨lx+6)

=10(12k。斗6‘+5、Z>+2n,‘、

、因此,2n的个位数即336的个位数6. 又2聘’<12,故
;1

=去省(x+1)(菇+2)(菇+.3)?
在四个连续整数戈“+l^茹+2峙茹+3中 必有两个连续偶数,其积能被8整除;又任意 三个连续整数其积能被3整除,且3与8互
质,因此,菇(髫+1)(菇+2)(x+3)能被3×8=

2n=6,n=3,z暑6一n亡3.

于是,125k+5m=180,即…
24k+k+m=36.24:k=24‘.

所.眺,婷,!,m=1.1??”

.i

固些一二刍,,亍丢,:=昙≯=孑1.
万方数据

24整除,即对每个整数髫,以菇)均为整数.
’(方祖耀提供)


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