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电磁感应中的动力学问题


电磁感应和力学规律 的综合应用
专题五

电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受 到安培力的作用,因此,电磁感应问题往往跟 力学问题联系在一起,解决这类电磁感应中的 力学问题,不仅要应用电磁学中的有关规律, 如楞次定律、法拉第电磁感应定律、左右手定 则、安培力的计算公式等,还要应用力学中的 有关规律,如牛顿运动定律、动量定理、动能 定理、动量守恒定律

、机械能守恒定律等。要 将电磁学和力学的知识综合起来应用。 由于安培力和导体中的电流、运动速度 均有关, 所以对磁场中运动导体进行动态分 析十分必要。

收尾速度问题
? 动态分析(1)受力情况分析(安培力是一 个变力) ? (2) 运动情况的分析

例1. 水平放置于匀强磁场中的光滑导轨上,有一根导体棒ab ,用恒力F作用在ab上,由静止开始运动,回路总电阻为R,分 析ab 的运动情况,并求ab的最大速度。 分析:ab 在F作用下向右加速运动,切割磁感应线,产生感应 电流,感应电流又受到磁场的作用力f,画出受力图: a=(F-f)/m v E=BLv I= E/R f=BIL

最后,当f=F 时,a=0,速度达到最大, F=f=BIL=B2 L2 vm /R

a
R f1 f2 b B

vm=FR / B2 L2
vm称为收尾速度. 又解:匀速运动时,拉力 所做的功使机械能转化为 电阻R上的内能。

F
f

F

F

F vm=I2 R= B2 L2 vm2/ R

vm=FR / B2 L2

例2. 在磁感应强度为B的水平均强磁场中,竖直放置一个冂 形金属框ABCD,框面垂直于磁场,宽度BC=L ,质量m的金 属杆PQ用光滑金属套连接在框架AB和CD上如图.金属杆PQ电 阻为R,当杆自静止开始沿框架下滑时: (1)开始下滑的加速度为 多少? (2)框内感应电流的方向怎样? (3)金属杆下滑的最大速度是多少? (4)从开始下滑到达到最大速度过程中重力势能转化为什么能量 解: 开始PQ受力为mg, 所以 a=g PQ向下加速运动,产生感应电流,方向顺时针, 受到向上的磁场力F作用。 达最大速度时, F=BIL=B2 L2 vm /R =mg B F P I mg A Q C

∴vm=mgR /

B2

L2

由能量守恒定律,重力做功减小的重力势能 转化为使PQ加速增大的动能和热能

D

高考题 如图所示,AB、CD是两根足够长的固定平 行金属导轨,两导轨间的距离为L,导轨平面与水平面的 夹角是θ.在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向 上方的匀强磁场,磁感应强度为B.在导轨的AC端连接 一个阻值为R的电阻.一根垂直于导轨放置的金属棒ab, 质量为m,从静止开始沿导轨下滑,求ab棒 C 的最大速度. 要求画出 b ab棒的受力图.已知ab与 R 导轨间的滑动摩擦系数 A θ μ,导轨和金属棒的电阻 a D 都不计. θ B

解:

画出ab棒的截面受力图: f=μN= μ mgcosθ

N=mgcosθ

开始时,ab在mg 和f 的作用下加速运动,v 增大,

切割磁感应线产生感应电流I,
感应电流I又受到磁场的作用力F,

合力减小,加速度a 减小,速度v 增大,I 和 F 增大
当 F+f=mgsinθ时 ab棒以最大速度v m 做匀速运动
F
f a

N

B

F=BIL=B2 L2 vm /R = mgsinθ- μ mgcosθ
vm= mg (sinθ- μ cosθ)R/ B2 L2

·
θ
mg

例3.如图所示,竖直平行导轨间距l=20cm,导轨顶 端接有一电键K。导体棒ab与导轨接触良好且无摩 擦,ab的电阻R=0.4Ω,质量m=10g,导轨的电阻不

计,整个装置处在与轨道平面垂直的匀强磁场中,
磁感强度B=1T。当ab棒由静止释放0.8s 后,突然接

通电键,不计空气阻力,设导轨足够长。求ab棒的
最大速度和最终速度的大小。(g取10m/s2)
K

a

b

解: ab 棒由静止开始自由下落0.8s时速度大小为 v=gt=8m/s 则闭合K瞬间,导体棒中产生的感应电流大小 I=Blv/R=4A ab棒受重力mg=0.1N, 安培力F=BIL=0.8N. 因为F>mg,ab棒加速度向上,开始做减速运动,

产生的感应电流和受到的安培力逐渐减小,
当安培力 F′=mg时,开始做匀速直线运动。 此时满足B2l2 v vm =
m /R =mg

K

解得最终速度, mgR/B2l2 = 1m/s。 a

F
b mg 2

闭合电键时速度最大为8m/s。

B 2l vm ? mg R

t=0.8s l=20cm R=0.4Ω m=10g B=1T

“双杆”滑轨问题
? 分析两杆的运动情况和受力情况 ? 分析物理情景 ? 灵活选择运动规律

例4. 光滑平行导轨上有两根质量均为m,电阻均为R 的导体棒1、2,给导体棒1以初速度 v 运动, 分析它们 的运动情况,并求它们的最终速度。….
对棒1,切割磁感应线产生感应电流I,I又受到磁场的作用力F v1 E1=BLv1 I=(E1-E2) /2R F=BIL a1=F/m 对棒2,在F作用下,做加速运动,产生感应电动势,总电动势减小

a2 =F/m

v2

E2=BLv2

I=(E1-E2) /2R

F=BIL

当E1=E2时,I=0,F=0,两棒以共同速度匀速运动,vt =1/2 v B B F E1

v
I
2 E2 F

F 1

1

E1 v I t

2 E2

F

vt

由楞次定律,感应电流的效果总要阻碍产生感应 电流的原因,1棒向右运动时, 2棒也要向右运动。 杆1做变减速运动,杆2做变加速运动,稳定时, 两杆的加速度为0,当两棒相对静止时,没有感应 电流,也不受磁场力作用,以共同速度匀速运动。 由动量守恒定律:

mv=(m+m)vt 共同速度为vt =1/2 v
它们的速度图象如图示:
B v 1 2 v

v
0.5 v

1

2 0 t

04年广东 15. 如图,在水平面上有两条平行导电导轨MN、PQ, 导轨间距离为l,匀强磁场垂直于导轨所在的平面(纸 面)向里,磁感应强度的大小为B,两根金属杆1、2摆 在导轨上,与导轨垂直,它们的质量和电阻分别为m1、 m2和R1 、 R2,两杆与导轨接触良好,与导轨间的动摩擦 因数为μ,已知:杆1被外力拖动,以恒定的速度v0沿导 轨运动;达到稳定状态时,杆2也以恒定速度沿导轨运 动,导轨的电阻可忽略,求此时杆2克服摩擦力做功的 1 2 功率。 M N
v0 P
Q

解法一: 设杆2的运动速度为v,由于两杆运动时, 两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化,产生 感应电动势 ?1? E ? Bl(v ? v)
0

E 感应电流 ?2 ? I? R1 ? R 2 杆2作匀速运动,它受到的安培力等于它受到的摩擦力,

BIl ? μ m2g

?3?

导体杆2克服摩擦力做功的功率

M

2

1

N

P ? μ m 2gv
解得

?4?

μ m 2g P ? μ m 2g[v0 ? 2 2 (R1 ? R 2 )] Bl

P

v0 Q

解法二:以F表示拖动杆1的外力,以I表示由杆1、杆2 和导轨构成的回路中的电流,达到稳定时,
对杆1有 F-μm1 g-BI l=0 …… ?

对杆2有

BI l –μm2 g=0 ……
PF=Fv0 ……

?
?

外力F的功率
2

以P表示杆2克服摩擦力做功的功率,则有

P ? PF ? I (R1 ? R 2 ) ? μ m1gv0
由以上各式得

?4 ?

P ? μ m 2g[v0 ?

μ mgg Bl
2 2

(R1 ? R 2 )]

?5 ?
M 2

1

N v0 Q

P

例5.(15分)如图所示,两足够长平行光滑的金属导轨 MN、PQ相距为L,导轨平面与水平面夹角α=30°,导轨 电阻不计。磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面 向上,两根长为L的完全相同的金属棒ab、cd垂直于MN、 PQ放置在导轨上,且与导轨电接触良好,每根棒的质量 为m、电阻为R.现对ab施加平行导轨向上的恒力F, 当ab向上做匀速直线运动时,cd保持静止状态. (1)求力F的大小及ab运动的速度大小; (2)若施加在ab上力的大小变为2mg,方向不变,经 过一段时间后ab、cd以相同的 N B Q 加速度沿导轨向上加速运动, a c b 求此时ab棒和cd棒的速度差 M α d (Δv=vab-vcd). P α

.解:

(1)ab棒所受合外力为零 F-Fab-mgsinα=0



cd棒合外力为零 Fcd-mgsinα=0 ② BLvab L ③ ab、cd棒所受安培力为 Fab ? Fcd ? BIL ? B 2R 解得: F=2mgsinα=mg ④

(2)当ab、cd以共同加速度a 运动时,运用整体法 由牛顿定律得到 2mg - 2mgsinα=2ma ⑥
BIL- mgsinα=ma ⑦ ?? ? BL(va-vb ) ? BL?v ⑧ 由法拉第电磁感应定律 E ? ?t I=E/2R ⑨ 2mgR 上面几式联立解得 ?v ? 2 2 ⑩ B L 以b棒为研究对象有

2mgR sin ? mgR vab ? ? 2 2 2 2 B L B L



2006年广东卷16、 16. (16分)如图所示,在磁感应强度大小为B、方向垂直 向上的匀强磁场中,有一上、下两层均与水平面平行的 “U”型光滑金属导轨,在导轨面上各放一根完全相同的 质量为m的匀质金属杆A1和A2,开始时两根金属杆位于 同一竖直面内且杆与轨道垂直。设两导轨面相距为H, 导轨宽为L,导轨足够长且电阻不计,金属杆单位长度的 电阻为r。现有一质量为m/2的不带电小球以水平向右 的速度v0撞击杆A1的中点,撞击后小球反弹落到下层面 上的C点。C点与杆A2初始位置相距为S。求: B (1)回路内感应电流的最大值; v0 (2)整个运动过程中感应电流 A1 最多产生了多少热量; Cs A H (3)当杆A2与杆A1的速度比 L 2 为1:3时,A2受到的安培力大小。
图11

16解: (1)小球与杆A1 碰撞过程动量守恒,之后小 球作平抛运动。设小球碰撞后速度大小为v1 ,杆A1 获 得速度大小为v2 ,则 m m v0 ? ? v1 ? mv2 ① 2 2 S=v1 t H=1/2 gt2 ②
1? g ? v0 ? S v2 ? ? 2? 2H ? ? ? ? ③

杆在磁场中运动,其最大电动势为

E1=BLv2
? ? ? ?



最大电流

I max

? g B? v0 ? S ? 2H E1 ? ? ? 2 Lr 4r



(2)两金属杆在磁场中运动始终满足动量守恒,两杆 最终速度相等,设为v′ mv2 =2mv′ ⑥
1 2 1 Q ? mv2 ? ? 2mv / 2 2 2 2 1 ? g ? ? v0 ? S ? Q? ? 16 m ? 2H ? ? ⑦


(3)设杆A2和A1的速度大小分别为 v和3v, mv2 =mv+3mv v= v2/4 ⑨ 由法拉第电磁感应定律得:E2=BL(3v - v)
E2 Bv Bv2 I? ? ? 2 Lr r 4r



安培力

F=BIL
? ? ? ? (11)

B2L ? g ? v0 ? S ?F ? 8r ? 2H ?

作业一:两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一 水平面内,两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根 导体棒ab和cd,构成矩形回路,如图所示.两根导体 棒的质量皆为m,电阻皆为R,回路中其余部分的电阻 可不计.在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场, 磁感应强度为B.设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑 行.开始时,棒cd静止,棒ab有指向棒cd的初速度 v0.若两导体棒在运动中始终不接触,求:
?在运动中产生的焦耳热最多是 多少? ?当ab棒的速度变为初速度的 3/4时,cd棒的加速度是多少? 作业二:备考指南第109页第13题.


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