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四川省成都七中实验学校2015-2016学年高一数学3月月考试题


成都七中实验学校 2018 届高一年级 3 月月考数学试题
满分:150 分 一:选择题: (12 题,每题 5 分,共 60) 1.已知向量 a ? (1,?2) , b ? (m,4) ,且 a // b ,则 2a ? b ? ( A.(4,0) B.(0,4) C.(4,-8) D.(-4,8) ) ) 时间:120 分钟

2.下列向量组中

,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(

?? ?? ? A. e1 =(0,0), e2 =(1,-2) ?? ?? ? B. e1 =(-1,2), e2 =(5,7) ?? ?? ? C. e1 =(3,5), e2 =(6,10)
D. e1 =(2,-3), e2 = ( , ? ) π 1 2π 3. 若 sin( -α )= ,则 cos( +2α )的值为 6 3 3 1 A.- 3 7 B.- 9 C. 1 3 ( ) D. 7 9 ( )

??

?? ?

1 2

3 4

4. 已知向量 a, b 满足 a ? b ? 0 , a ? 1, b ? 2 ,则 2a ? b 等于 A.0 C.4 B.2 2 D.8

? ?

? ?

?

?

? ?

3 5 5. 在△ABC 中,cos A= ,cos B= ,则 cos C 等于 5 13 ( ) 33 B. 65 ) . 63 C.- 65 D. 63 65

33 A.- 65

6: 2 1 ? sin8 ? 2 ? 2cos8 等于(

A.2sin 4 ? 4cos 4

B. ? 2sin 4 ? 4cos 4

C. ? 2sin 4

D.4cos 4 ? 2sin 4

7. 若 e1 , e2 是平面内夹角为 60°的两个单位向量, 则向量 a ? 2e1 ? e2 , A.30°

? ? ?? ?

?

? ?

?? ?

?? ? ? ?? ? b ? ?3e1 ? 2 e2 的夹角为(
C.90° D.120°

)

B.60°

1

8.向量 a , b , c 在正方形网格中的位置如图所示.若 c ? ? a ? ?b (?, ? ? R), λ 则 =( ) . μ

? ?? ?

?

?

?

A.1

B.4

C.3 )

D.

2 3

9. 下列说法中,正确的序号为(

??? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? (1) AB ? MB ? BC ? OM ? CO ? AB ;

(2)若 a ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角是钝角; (3)若向量 e1 ? (2, ?3) , e2 ? ( , ? ) 能作为平面内所有向量的一组基底 (4)若 a / / b ,则 a 在 b 上的投影为 | a | A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

? ?

?

?

??

?? ?

1 2

3 4

?

?

?

?

?

10: 已知 AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60 ,P 是线段 AB 上一点(包括端点) , 则 CP ? AB
?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

的最小值为( A.-3

) B.3 C. 0 D. 1

2

二:填空题: (共 4 题,每题 5 分,共 20 分)

13. AB ? CF ? BC ? FA ? _____

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

???? ? ? ??? ? ? ???? ? ??? ? ???? 14.若 AB ? a , AC ? b , BD ? 3DC ,则向量 AD 可用 a , b 表示为___________.

15.设 ?ABC 的三个内角为 A, B, C ,向量 m ? ( 3sin A,sin B) ,

?? ?

? ?? ? ? n ? (cos B, 3 cos A) ,若 m ? n ? 1 ? cos( A ? B) ,则 C =____________.

, ? 1, B ? 3,0 ? , C ? 2,1? . 若 平 面 区 域 16 : 已 知 点 A ?1 ?

D

由 所 有 满 足

??? ? ??? ? ???? AP ? ? AB ? ? AC ?1 ? ? ? 2,0 ? ? ? 1? 的点 P 组成,则 D 的面积为__________.

3

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17:(本题满分 9 分)化简: (1) sin 76 cos 74 ? sin14 cos16 =
0 0 0 0

(2) (1-tan 59°)(1-tan 76°)=

(3)

sin 7°+cos 15°sin 8° = cos 7°-sin 15°sin 8°

18.(本题满分 12 分)

4

19 . ( 本 题 满 分

12

分 ) : 已 知 a , b 是 两 个 单 位 向 量 .

?

?

(1)若 | 3a ? 2b |? 3 ,试求 | 3a ? b | 的值;

?

?

? ?

?? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)若 a , b 的夹角为 60 ,试求向量 m ? 2a ? b 与 n ? 2b ? a 的夹角

20:(本题满分 12 分) 已知向量: a ? (cos x,cos x), b ? (cos y,cos y), c ? (sin x, ? cos x), (1)求 cos( x ? y) 的值; (2) 若函数 f ( x) ? a ? c 的图像向左平移 m ? m ? 0? 个单位后, 得到函数 g ? x ? 的图像关于 y 轴对称,求实数 m 的最小值.

?

?

?

? ? 2 5 a ?b ? 5

? ?

5

21.(本题满分 12 分)已知角 α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边上一点

sin 2( ? ? ) ? 4cos 2 ? 2 P(3,1),α ∈(0,π ), β ∈(0,π ), tan(? ? ? ) ? . 3? 2 10cos ? ? cos( ? 2? ) 2
(1)求 tan(α —β )的值; (2)求 tan β 的值. (3)求 2α -β 的值.

?

22.(本题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ? [2sin( x ?

?
3

) ? sin x]cos x ? 3 sin 2 x .

(1) 求f ( x)的最小正周期.

5? ] 使 mf ( x 0 ) ? 2 ? 0 成立,求实数 m 的取值范围. 12 C ? f( ? ) (3) ?ABC 为锐角三角形,且?B=2?A, 求 2 6 的取值范围. B ? f( ? ) 2 6
(2)若存在 x0 ? [0,

6

7

成都七中实验学校 2018 届高一 3 月月考数学试题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟. 一:选择题: (12 题,每题 5 分,共 60) 1.已知向量 a ? (1,?2) , b ? (m,4) ,且 a // b ,则 2a ? b ? ( c ) A.(4,0) 12.C 【解析】 B.(0,4) C.(4,-8) D.(-4,8)

试题分析:因为,向量 a ? (1,?2) , b ? (m,4) ,且 a // b ,所以,m=-2,

2a ? b ? 2×(1,-2)+(-2, 4)=(4,-8),故选 C。
2.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( A.e1=(0,0),e2 =(1,-2) B.e1=(-1,2),e2=(5,7) C.e1=(3,5),e2=(6,10) 3? ?1 D.e1=(2,-3),e 2=? ,- ? 2 4? ? B )

π 1 2π 3. 若 sin( -α )= ,则 cos( +2α )的值为 6 3 3 ( C ) 7 B.- 9 C. 1 3 D. 7 9

1 A.- 3

4. 已知向量 a,b 满足 a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|等于 ( A.0 C.4 D) B.2 2 D.8

3 5 5. 在△ABC 中,cos A= ,cos B= ,则 cos C 等于 5 13 ( ) 33 B. 65 63 C.- 65 D. 63 65

33 A.- 65 A

8

6: 2 1 ? sin8 ? 2 ? 2cos8 等于(

) .

A.2sin 4 ? 4cos 4
【答案】C 【

B. ? 2sin 4 ? 4cos 4

C. ? 2sin 4

D.4cos 4 ? 2sin 4











? 2 sin 2 4 ? cos 2 4 ? 2sin 4 cos 4 ? 2(1 ? cos8) ? 2 sin 4 ? cos 4 ? 2 cos 4

?

5? 3? ?4? 4 2

? sin 4 ? cos 4 ? 0

原式 ? 2cos 4 ? 2sin 4 ? 2cos 4 ? ?2sin 4

7 若 e1 , e2 是平面内夹角为 60°的两个单位向量, 则向量 a ? 2e1 ? e2 , A.30°

? ? ?? ?

?

? ? ?? ?

?? ? ? ?? ? b ? ?3e1 ? 2 e2 的夹角为( D )
C.90° D.120°

B.60°

1 7 解析:∵e1·e2=|e1||e2|cos 60°= ,a·b =(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=- ,|a|= 2 2 (2e1+e2) = 4+4e1·e2+1 = 7 , |b| = (-3e1+2e2) = 9-12e1·e2+4 = 7 ,
2 2

a·b 1 ∴a,b 的夹角的余弦值为 cos〈a,b〉= = =- ,∴〈a,b〉=120°,故 |a||b| 2 7× 7
选 D.



7 2

8 向量 a , b , c 在正方形网格中的位置如图所示.若 c ? ? a ? ?b (?, ? ? R), λ 则 =() μ

? ?? ?

?

?

9

A.1

B.4

C.3

D.

2 3

解析:建立平面直角坐标系,转化为向量的坐标运算求解.以向量 a 的终点为原点, 过该点的水平和竖直的网格线所在直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,设一个小正方形 网格的边长为 1,则 a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).由 c=λ a+μ b,即(-1, 1 -3)=λ (-1,1)+μ (6-2),得-λ +6μ =-1,λ +2μ =-3,故 λ =-2, μ =- , 2 λ 则 =4. μ 答案:B

9:下列说法中,正确的序号为(



??? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? (1) AB ? MB ? BC ? OM ? CO ? AB ;

(2)若 a ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角是钝角; (3)若向量 e1 ? (2, ?3) , e2 ? ( , ? ) 能作为平面内所有向量的一组基底 (4)若 a / / b ,则 a 在 b 上的投影为 | a | A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

? ?

?

?

??

?? ?

1 2

3 4

?

?

?

?

?

解析:本题考查平面向量的加法的三角形法则、向量的夹角、基底及投影等概念 ??? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ???? ??? ? 因为 AB ? MB ? BC ? OM ? CO ? AB ? BC ? CO ? OM ? MB ? AB ,因而(1)正确; 当 | a |?| b |? 1 且 a 与 b 反向时, a ? b ? ?1 ? 0 ,但 a 与 b 的夹角为180 ,因而(2)
?

?

?

?

?

? ?

?

?

? ? ? ? ?? ?? ? 不正确;由于 e1 ? 4e2 ,所以 e1 // e2 ,所以向量 e1 , e2 不能作为基底,所以(3)不正 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 确;若 a / / b ,则 a 与 b 的夹角为 0 或180 ,所以 a 在 b 上的投影为 | a | cos? ? ? | a | ,
10

因而(4)不正确.只有(1)正确,其它均不正确,所以选 A

10: 已知 AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60 ,P 是线段 AB 上一点(包括端点) , 则 CP ? AB
?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

的最小值为( A.-3

A) B.3 C. 0 D. 1

d

二:填空题: (共 4 题,每题 5 分,共 20 分)

1 3. AB ? CF ? BC ? FA ? _____ 0

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

?

11

???? ??? ? ? ???? ? ??? ? ???? 14. (2012·广东实验中学高一上期末)如图,若 AB ? a , AC ? b , BD ? 3DC ,则向量 AD

? ? 可用 a , b 表示为___________.

解析:本题考查向量的数乘、向量加 法减法及三角形法则

??? ? ???? ???? ??? ? ???? ???? ???? 1 ??? ? 3 ???? 1 ? 3 ? 1? 3? 填 a? b ? BD ? 3DC , ? AD ? AB ? 3( AC ? AD) ,AD ? AB ? AC ? a ? b , 4 4 4 4 4 4

15.设 ?ABC 的三个内角为 A, B, C ,向量 m ? ( 3sin A,sin B) , n ? (cos B, 3 cos A) , 若 m ? n ? 1 ? cos( A ? B) ,则 C =___________

?? ?

?

?? ? ?

2? ; 3

( 16 ) 已 知 点 A ?1, ?1? , B ? 3,0 ? , C ? 2,1? . 若 平 面 区 域 D 由 所 有 满 足

??? ? ??? ? ???? AP ? ? AB ? ? AC ?1 ? ? ? 2,0 ? ? ? 1? 的点 P 组成,则 D 的面积为__________.

12

三:解答题: 17:(9 分)化简: (1) sin 76 cos 74 ? sin14 cos16 =
0 0 0 0

1 2
2

(2)(1-tan 59°)(1-tan 76°)= sin 7°+cos 15°sin 8° = cos 7°-sin 15°sin 8°

(3)

2- 3

18. (12 分) :

19 .( 2012 · 杭 州 二 中 高 一 期 中 ) 已 知 a , b 是 两 个 单 位 向 量 . (1)若 | 3a ? 2b |? 3 ,试求 | 3a ? b | 的值; (2)若 a , b 的夹角为 60 ,试求向量 m ? 2a ? b 与 n ? 2b ? a 的夹角
?

?

?

?

?

? ?

?

?

??

? ? ?

? ?

解析:本题考查单位向量、向量夹角的求法、向量的数量积及向量模的求法等

? ? ? ? ? ? (1)? a , b 是两个单位向量,?| a |?| b |? 1 ,又 | 3a ? 2b |? 3 ,

13

? ? a ? 1, b ? 2 ?2 ? ? ?2 . ?9 | a | ?12a ? b ? 4 | b | ? 9 ,即 ? ? 2a ? b

? ? ? ? ? ? 1 ?| 3a ? b |? 9 | a |2 ?6a ? b? | b |2 ? 9 ?1 ? 6 ? ? 1 ? 2 3 3 ?? ? ? 2 ? 2 ? ? ?2 1 2 (2)| m |? (2a ? b) ? 4 | a | ?4a ? b? | b | ? 4 ?1 ? 4 ? ? 1 ? 7 3 ? ? ? 2 ?2 ? ? ? 2 1 | n |? (2b ? a) ? 4 | b | ?4a ? b? | a | ? 4 ?1 ? 4 ? ? 12 ? 7 3 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7 m ? n ? (2a ? b) ? (2b ? 3a) ? 2 | b |2 ?a ? b ? 6 | a |2 ? ? , 2
7 ?? ? ? m?n 2 ? ? 1 ,? 0 ? ? ? 180? ,?夹角? ? 120? cos ? ? ?? ? ? 2 | m || n | 7? 7

20: (12 分) 已知向量: a ? (cos x,cos x), b ? (cos y,cos y), c ? (sin x, ? cos x), (1)求 cos( x ? y) 的值; (2) 若函数 f ( x) ? a ? c 的图像向左平移 m ? m ? 0? 个单位后, 得到函数 g ? x ? 的图像关于 y 轴对称,求实数 m 的最小值.

?

?

?

? ? 2 5 a ?b ? 5

? ?

? ? ? ? 4 试题分析: (Ⅰ)? | a |? 1 , | b |? 1 又 | a ? b |2 ?
? ? 4 ? 2 ? 2a ? b ? 5

5 ? ? 3 3 ? a ? b ? 即 cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 5 5

3 ? cos ?? ? ? ? ? ……………5 分 5
? ? (法二)? a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,

? ? ? a ? b ? ? cos ? ? cos ?, sin ? ? sin ? ? .
14

? ? 2 5 ,? ? a ?b ? 5
即 2 ? 2 cos ?? ? ? ? ?

? cos ? ? cos ? ?

2

? ? sin ? ? sin ? ? ?
2

2 5 , 5

4 3 ,? cos ?? ? ? ? ? . 5 5

21(本题满分 12 分)已知角 α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边上一点

sin 2( ? ? ) ? 4cos 2 ? 2 P(3,1),α ∈(0,π ), β ∈(0,π ), tan(? ? ? ) ? . 3? 2 10cos ? ? cos( ? 2? ) 2
(1)求 tan(α —β )的值; (2)求 tan β 的值. (3)求 2α -β 的值.
15

?

21.解

1 (1)由已知 tanα = .∵tan(α —β )= 3
2 2

sin 2?

π 2 -α ?+4cos α 2 = 2 10cos α -sin 2α

sin 2α +4cos α 2sin α cos α +4cos α 2cos α ?sin α +2cos α ? = = = 2 2 10cos α -sin 2α 10cos α -2sin α cos α 2cos α ?5cos α -sin α ?

1 ?2 sin α +2cos α tan α +2 3 1 = = ? .……3 分 5cos α -sin α 5-tan α 1 2 5? 3
(2)tan β =—tan[(α —β )-α ]=—

tan(? ? ? ) ? tan ? = 1 ? tan(? ? ? ) tan ?

1 1 ? 2 3 ? ? 1 ………………7 分 1 1 7 1? ? 2 3
1 3 1 π 2tan α 3 π (3)∵tan α = >0,∴0<α < ,又∵tan 2α = = = >0,∴0<2α < , 2 3 2 1-tan α 1 4 2 ? ?2 1-? ? ?3? 2× 3 1 + 4 7 tan 2α -tan β 1 π ∴tan(2α -β )= = =1.∵tan β =- <0, ∴ <β <π ,- 1+tan 2α tan β 3 1 7 2 1- × 4 7 π <2α -β <0, 3π ∴2α -β =- .……12 分 4

(如果多个答案,没判断范围扣 2 分)

22、 (15 湖北模拟)已知函数 f ( x) ? [2sin( x ? (1) 求f ( x)的最小正周期.

?
3

) ? sin x]cos x ? 3 sin 2 x .

5? ] 使 mf ( x 0 ) ? 2 ? 0 成立,求实数 m 的取值范围. 12 C ? f( ? ) (3) ?ABC 为锐角三角形,且?B=2?A, 求 2 6 的取值范围. B ? f( ? ) 2 6
(2)若存在 x0 ? [0,

16

解: (1)

最小正周期为 ? (2)

(3)

17


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