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综合检测题(A组)


综合检测题(A 组)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分, ) 1.下列命题中正确的是( ) A.第一象限角一定是锐角 B.终边相同的角相等 C.相等的角终边必相同 D.不相等的角其终边不相同 2.将分针拨慢 5 分钟,则分钟转过的弧度数是( A.
?
3


?
6
<

br />B.-

?
3

C.

D.-

?
6

3 3.已知角 ? 的终边过点 P ? ? 4 m , m ? , ? m ? 0 ? ,则 2 sin ? ? cos ? 的值是(


2 5

A.1 或-1

B.

2 5

或?

2 5

C.1 或 ?

2 5

D.-1 或 )

4、若点 P (s in ? ? c o s ? , ta n ? ) 在第一象限,则在 [ 0 , 2 ? ) 内 ? 的取值范围是( A. ( C. (
?
2 , 3? 4 ) ? (? , 5? 4 )

B. (
)

?
4

,

?
2

) ? (? , )? (

5? 4

)

?
2

,

3? 4
2

)?(

5? 4

,

3? 2

D. (

?
2

,

3? 4

3? 4

,? )

5. 若| a |? (A)

,| b

|? 2

且( a ? b )⊥ a ,则 a 与 b 的夹角是 (B)
?
4


5



?
6

(C)

?
3

(D)

?

12

6.已知函数 y ? A sin( ? x ? ? ) ? B 的一部分图象如右图所示,如果
A ? 0 , ? ? 0 , | ? |?

?
2

,则(

) B.? ? 1 C. ? ?
?
6

A. A ? 4

D. B ? 4 ) D.A ? B ? R

7. 设集合 A ? ?( x , y ) | y ? 2 sin 2 x ? ,集合 B ? ?( x , y ) | y ? x ? ,则( A.A ? B 中有 3 个元素 8.已知 x ? ( ? A.
7 24

B.A ? B 中有 1 个元素
4 5

C.A ? B 中有 2 个元素 ) D. ?
24 7

?
2

, 0 ), cos x ?

, 则 tan 2 x ? (

B. ?

7 24

C. 24
7

π π π 9. 同时具有以下性质: “①最小正周期实 π;②图象关于直线 x= 对称;③在[- , ]上是增函数”的一个 3 6 3 函数是 ( ) B. π y=cos(2x+ ) 3 C. π y=sin(2x- ) 6 π D. y=cos(2x- ) 6 x π A. y=sin( + ) 2 6

10. 在 ? ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ? ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.正三角形 11. 函数 y ? 3 sin(
?
4 ? 3x) ? 3 cos(

?
4

? 3x)

的最小正周期为





1

A. 2 ?
3

B. ?
3

C.8

D.4

12. 2002 年 8 月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由 4 个相同的直角三角形与中间的小 正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为 ? ,大正方形的面积是 1,小正方形的面积 是
1 25 , 则 sin
2

? ? cos ? 的值等于(
2

) D.-
7 25

A.1

B. ?

24 25

C.

7 25

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 已知 sin
?
2 ? cos

?
2

?

2 3
? 4

3

,那么 sin ? 的值为

, cos 2? 的值为



14.函数 y=

2 sin( 3 x +

)- 1

的单调递减区间为

. 上的一点(O 为坐标原点) ,那么 XA
? XB

15. 已知向量 OP

? ( 2 ,1), OA ? (1, 7 ), OB ? ( 5 ,1), 设 X 是直线 OP

的最

小值是___________________ 16.给出下列 6 种图像变换方法: ①图像上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 原来的 2 倍;③图像向右平移 向左平移
2? 3 1 2

;②图像上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到
?
3 x 2

?
3

个单位;④图像向左平移

个单位;⑤图像向右平移 +

2? 3

个单位;⑥图像 )的图像的一个变

个单位。 请写出用上述变换将函数 y = sinx 的图像变换到函数 y = sin (

?
3

换______________.(按变换顺序写上序号即可) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应有证明或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知
? 4 ? ? ? 3? 4

,0 ? ? ?

? 4

, cos(

?
4

??) ? ?

3 5

, sin(

3? 4

? ?) ?

5 13

,求 sin ?? ? ? ? 的值.

18(本题满分 12 分)已知一个平行四边形三个顶点为 A(0,-9) ,B(2,6) ,C(4,5) ,求第四个顶点的 坐标.

2

19.(本题满分 12 分)已知向量 a ? (cos 其中 x ? R .

3x 2

, sin

3x 2

) , b ? (cos

x 2

, ? sin

x 2

) ,c ? (

3, ? 1 )



(Ⅰ)当 a ? b 时,求 x 值的集合;

(Ⅱ)求 | a ? c | 的最大值.

20.已知函数 f ( x ) ? 2 sin

2

x ? sin 2 x ? 1 , x ? R .

(1)求 f ( x ) 的最小正周期及 f ( x ) 取得最大值时 x 的集合; (2)在平面直角坐标系中画出函数 f ( x ) 在 [ 0 , ? ] 上的图象.

3

21.(本题满分 12 分)设 a 、 b 是两个不共线的非零向量( t ? R ) (1)记 OA ? a , OB ? t b , OC ?
1 3 ( a ? b ), 那么当实数 t 为何值时,A、B、C 三点共线?

(2)若 | a |? | b |? 1且 a与 b夹角为 120 ? ,那么实数 x 为何值时 | a ? x b | 的值最小?

22. (本小题满分 14 分) 已知 M (1 ? cos 2 x ,1 ), N (1 , 3 sin 2 x ? a ) ( x ? R , a ? R , a 是常数) ,且 y ? OM ? ON (其中 O 为坐 标原点). (1)求 y 关于 x 的函数关系式 y ? f ( x ) ; (2)求函数 y ? f ( x ) 的单调区间; (3)若 x ? [ 0 ,
? 2 ] 时, f ( x ) 的最大值为 4,求 a 的值.

4

综合检测题(A 组)参考答案
1. C 13.
1 3

2. D 3.B 4、B
7 9 ? 4

5、B 6、C 7、A
, 2 k? 3 ? 7? ? ,k ? Z ? 36 ?

8、D 9、C. 10、B 11、A 12、D 15.-8 16. ④②或②⑥



14. ?
?

? 2 k? 3

?

?
12

17. 解:∵ ∴
? 2 ? ? 4

? ? ?

3? 4 ? 4
? 4

? ? ? ?
? 4

又 cos( ∴
12 13
3? 4 ?

? ?) ? ?

3 5 3? 4

∴ sin(

? ?) ?

4 5

∵0 ? ? ? ∴ cos(
3? 4

3? 4

? ? ? ? 又 sin(

? ?) ?

5 13

? ?) ? ?

∴sin(? + ?) = ?sin[? + (? + ?)] = ? sin[(
? ? [sin( ? 4
??? ? ????

? 4

? ?) ? (

3? 4

? ? )] 4 5 ? (? 12 13 )? 3 5 ? 5 13 ]? 63 65

? ? ) cos(

3? 4

? ? ) ? cos(

? 4

? ? ) sin(

3? 4

? ? )] ? ? [

18.解:设 D 坐标为(x,y) ,依题意,可能出现右图两种情形, 由图(1)有 A B ? D C
D A
???? ??? ? ?4 ? x ? 2 而 A B ? ( 2 ,1 5 ) , D C ? ( 4 ? x , 5 ? y ) , 则 ? , ?5 ? y ? 15

C B

图(1)
C

解得 ?

?x ? 2 ? y ? ?10

A

,故 D 坐标为(2,-10)
D

B

图(2)

???? ???? ???? ???? 由图(2)有 A C ? D B , A C ? ( 4 , 1 4 ) , D B ? ( 2 ? x , 6 ? y )

?2 ? x ? 4 ,则 ? ?6 ? y ? 14

解得 ?

? x ? ?2 ? y ? ?8

,故 D 坐标为(-2,-8)

综上所述,D 点的坐标为(2,-10)或(-2,-8)。 19 解: (Ⅰ)由 a ? b ,得 a ? b ? 0 ,即 cos 则 cos 2 x ? 0 ,得 x ?
kπ 2 ? π 4 3x 2 x 2 3x 2 x 2

cos

? sin

sin

? 0.

(k ? Z ) .



kπ π ? ? ? , k ? Z ? 为所求 ?x | x ? 2 4 ? ?
2

(Ⅱ) | a ? c | ? (cos

3x 2

?

3 ) ? (sin
2

3x 2

? 1 ) ? 5 ? 4 sin(
2

3x 2

?

π 3

),

所以 | a ? c | 有最大值为 3.

5

20 解: (I) f ( x ) ? 2 sin

2

x ? sin 2 x ? 1 ? sin 2 x ? (1 ? 2 sin

2

x ) ? sin 2 x ? cos 2 x

= 2 sin( 2 x ? 所以 f ( x ) 的最小正周期是 ?
? x ?

?
4

)

R,所以当 2 x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

,即 x ? k? ? 3? 8

3? 8

( k ? Z)时, f ( x ) 的最大值为

2 .

即 f ( x ) 取得最大值时 x 的集合为 { x | x ? k ? ?

, k ? Z}

(II)图象如下图所示: (阅卷时注意以下 3 点) 1.最小值 f ( 最小值 f ( 2.增区间 [ 0 , 减区间 [ 3.图象上的特殊点: (0,-1)( ,
?
4 3? 8 3? 8 7? 8 3? 8 , 7? 8 3? 4 , ? 1 ), ( ? , ? 1 ) ] ], [ 7? 8 , ? ]; ) ? ? 2 . ) ? 2 ,

, ,1 )(

?
2

, ,1 ) (

21.解: (1)A、B、C 三点共线知存在实数 ? , 使 OC ? ? OA ? (1 ? ? ) OB 即 ( a ? b ) ? ? a ? (1 ? ? ) t b .
3 1

则? ?

1 3

, 实数 t ?

1 2
?

(2) a ? b ? | a | ? | b | cos 120
?| a ? x b | ? a
2 2

? ?

1 2

,

? x

2

?b

2

? 2x ?a ?b ? x
3 2

2

? x ? 1,

当x ? ?

1 2

时 , | a ? x b | 取最小值

22.解: (1) y ? OM ? ON ? 1 ? cos 2 x ? 所以 f ( x ) ? cos 2 x ?

3 sin 2 x ? a ,

3 sin 2 x ? 1 ? a

.

(2)由(1)可得 f ( x ) ? 2 sin( 2 x ? 由 2k? ? 由 2k? ?
?
2 ? 2x ? ? 2x ?

?
6

)?1? a ,

?
6

? 2k? ? ? 2k? ?

?
2

, 解得 k ? ? , 解得 k ? ?
?
3 , k? ?

?
3

? x ? k? ? ? x ? k? ?

?
6

(k ? Z ) ; (k ? Z ) ,

?
2

?
6

3? 2

?
6

2? 3

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [ k ? ?

?
6

]( k ? Z ) ,

6

单调递减区间为 [ k ? ? (3) f ( x ) ? 2 sin( 2 x ? 因为 0 ? x ? 所以
?
6

?
6

, k? ?

2? 3

]( k ? Z ) .

?
6

)?1? a ,

?
2


?
6 ? 7? 6

? 2x ?


?
6

当2x ?

?
6

?

?
2

,即 x ?

时, f ( x ) 取最大值 3 ? a ,

所以 3 ? a ? 4 ,即 a ? 1 .

7


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