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综合检测题(A组)


综合检测题(A 组)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分, ) 1.下列命题中正确的是( ) A.第一象限角一定是锐角 B.终边相同的角相等 C.相等的角终边必相同 D.不相等的角其终边不相同 2.将分针拨慢 5 分钟,则分钟转过的弧度数是( A. )

? 3

B.-

? 3

C.

? 6

D.-

? 6


3.已知角 ? 的终边过点 P?? 4m, 3m? , ?m ? 0? ,则 2 sin ? ? cos ? 的值是( A.1 或-1 B.

2 2 或? 5 5

C .1 或 ?

2 5

D.-1 或 )

2 5

4、若点 P(sin ? ? cos ? , tan ? ) 在第一象限,则在 [0, 2? ) 内 ? 的取值范围是(

5? ) 2 4 4 ? 3? 5? 3? )?( , ) C. ( , 2 4 4 2
A. (

? 3?
,

) ? (? ,

5? , ) ? (? , ) 4 2 4 ? 3? 3? ) ? ( ,? ) D. ( , 2 4 4
B. ( ( )

? ?

5. 若| a |? 2 , | b |? 2 且( a ? b )⊥ a ,则 a 与 b 的夹角是 (A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

5 (D) ? 12

?x ? ? ) ? B 的一部分图象如右图所示,如果 6. 已知函数 y ? A sin(
A ? 0,? ? 0, | ? |?
A. A ? 4

?
2

,则(

) B. ? ? 1 C. ? ?

?
6

D. B ? 4 ) D.A ? B ? R

7. 设集合 A ? ?( x,y) | y ? 2 sin 2 x?,集合 B ? ?( x,y) | y ? x?,则( A.A ? B 中有 3 个元素 8.已知 x ? ( ? A. 7 B.A ? B 中有 1 个元素

C.A ? B 中有 2 个元素 ) D. ? 24
7

?
2

,0), cos x ?
B. ? 7
24

4 , 则 tan 2 x ? ( 5
C. 24
7

24

π π π 9. 同时具有以下性质: “①最小正周期实 π;②图象关于直线 x= 对称;③在[- , ]上是增函数”的一个 3 6 3 函数是 ( ) B. π y=cos(2x+ ) 3 C. π y=sin(2x- ) 6 π D. y=cos(2x- ) 6 x π A. y=sin( + ) 2 6

10. 在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.正三角形 11. 函数 y ? 3 sin(

?
4

? 3x) ? 3 cos(

?
4

? 3x) 的最小正周期为





1

A. 2?
3

B. ?

3

C.8

D.4

12. 2002 年 8 月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由 4 个相同的直角三角形与中间的小 正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为 ? ,大正方形的面积是 1,小正方形的面积

1 , 则 sin 2 ? ? cos 2 ? 的值等于( 25 24 7 A.1 B. ? C. 25 25


) D.-

7 25

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 已知 sin

?
2

? cos

?
2

?

2 3 ,那么 sin ? 的值为 3

, cos 2? 的值为



? 14.函数 y= 2 sin(3x+ )-1 的单调递减区间为 4



15. 已知向量 OP ? (2,1), OA ? (1,7), OB ? (5,1),设X是直线OP 上的一点(O 为坐标原点) ,那么 XA ? XB 的最 小值是___________________ 16.给出下列 6 种图像变换方法:

1 ;②图像上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到 2 ? ? 2? 原来的 2 倍;③图像向右平移 个单位;④图像向左平移 个单位;⑤图像向右平移 个单位;⑥图像 3 3 3 2? x ? 向左平移 个单位。 请写出用上述变换将函数 y = sinx 的图像变换到函数 y = sin ( + )的图像的一个变 3 2 3
①图像上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 换______________.(按变换顺序写上序号即可) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应有证明或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知

? ? 3 3? 5 ? 3? ? ?) ? ,求 sin ?? ? ? ? 的值. ??? , 0 ? ? ? , cos( ? ? ) ? ? , sin( 4 4 5 4 13 4 4

18(本题满分 12 分)已知一个平行四边形三个顶点为 A(0,-9) ,B(2,6) ,C(4,5) ,求第四个顶点的 坐标.

2

19.(本题满分 12 分)已知向量 a ? (cos 其中 x ? R .

3x 3x x x ,sin ) , b ? (cos ,? sin ) , c ? ( 3,? 1) , 2 2 2 2
(Ⅱ)求 | a ? c | 的最大值.

(Ⅰ)当 a ? b 时,求 x 值的集合;

20.已知函数 f ( x) ? 2 sin 2 x ? sin 2 x ? 1, x ? R. (1)求 f ( x) 的最小正周期及 f ( x) 取得最大值时 x 的集合; (2)在平面直角坐标系中画出函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上的图象.

3

21.(本题满分 12 分)设 a 、 b 是两个不共线的非零向量( t ? R ) (1)记 OA ? a, OB ? t b, OC ?

1 (a ? b), 那么当实数 t 为何值时,A、B、C 三点共线? 3

(2)若 | a |?| b |? 1且a与b夹角为 120? ,那么实数 x 为何值时 | a ? xb | 的值最小?

22. (本小题满分 14 分) 已知 M (1 ? cos2x,1), N (1, 3 sin 2x ? a) ( x ? R, a ? R, a 是常数) ,且 y ? OM ? ON (其中 O 为坐 标原点). (1)求 y 关于 x 的函数关系式 y ? f ( x) ; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (3)若 x ? [0, ] 时, f ( x) 的最大值为 4,求 a 的值.

? 2

4

综合检测题(A 组)参考答案
1. C 13. 2. D 3.B 4、B 14. ? 5、B 6、C 7、A 8、D 9、C. 10、B 11、A 12、D 15.-8 16. ④②或②⑥

1 7 , 3 9

? 2k? ? 2k? 7? ? ? , ? ,k ? Z 12 3 36 ? ? 3 ?

17. 解:∵ ∴

? 3? ??? 4 4

? 4 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 又 cos( ? ?) ? ? ∴ sin( ? ?) ? 4 5 2 4 4 5 ? 3? 3? 3? 5 ? ? ? ? ? 又 sin( ? ?) ? ∵0 ? ? ? ∴ 4 4 4 4 13 3? 12 ? ?) ? ? ∴ cos( 4 13 ? 3? ? ?)] ∴sin(? + ?) = ?sin[? + (? + ?)] = ? sin[( ? ?) ? ( 4 4 ? 3? ? 3? 4 12 3 5 63 ? ?[sin( ? ?) cos( ? ?) ? cos( ? ?) sin( ? ?)] ? ?[ ? (? ) ? ? ] ? 4 4 4 4 5 13 5 13 65
18.解:设 D 坐标为(x,y) ,依题意,可能出现右图两种情形, 由图(1)有 AB ? DC 而 AB ? (2,15) , DC ? (4 ? x,5 ? y) , 则 ?

??? ?

????

D

C B

??? ?

????

?4 ? x ? 2 , ?5 ? y ? 15

A

图(1)
C

解得 ?

?x ? 2 ,故 D 坐标为(2,-10) ? y ? ?10 ?2 ? x ? 4 ,则 ? ?6 ? y ? 14

A

B

D

图(2)

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 由图(2)有 AC ? DB , AC ? (4,14) , DB ? (2 ? x,6 ? y)

解得 ?

? x ? ?2 ,故 D 坐标为(-2,-8) ? y ? ?8

综上所述,D 点的坐标为(2,-10)或(-2,-8)。 19 解: (Ⅰ)由 a ? b ,得 a ? b ? 0 ,即 cos 则 cos 2 x ? 0 ,得 x ?

3x x 3x x cos ? sin sin ? 0 . 2 2 2 2

kπ π ? ( k ? Z) . 2 4



kπ π ? ? ? ,k ? Z? 为所求 ?x | x ? 2 4 ? ?
2

(Ⅱ) | a ? c | ? (cos

3x 3x 3x π ? 3 ) 2 ? (sin ? 1) 2 ? 5 ? 4 sin( ? ) , 2 2 2 3

所以 | a ? c | 有最大值为 3.

5

20 解: (I) f ( x) ? 2 sin 2 x ? sin 2x ? 1 ? sin 2x ? (1 ? 2 sin 2 x) ? sin 2x ? cos2x = 2 sin( 2 x ?

?
4

)

所以 f ( x) 的最小正周期是 ?

? x ? R,所以当 2 x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

, 即x ? k? ?

即 f ( x) 取得最大值时 x 的集合为 {x | x ? k? ?

3? , k ? Z} 8

3? (k ? Z)时, f ( x) 的最大值为 2 . 8

(II)图象如下图所示: (阅卷时注意以下 3 点)

3? ) ? 2, 8 7? )? ? 2. 最小值 f ( 8 3? 7? ], [ , ? ]; 2.增区间 [0, 8 8 3? 7? , ] 减区间 [ 8 8 ? ? 3? ,?1), (? ,?1) 3.图象上的特殊点: (0,-1) , ( ,1 ) , ( ,1 ) ,( 4 4 2
1.最小值 f ( 21.解: (1)A、B、C 三点共线知存在实数 ?, 使OC ? ?OA ? (1 ? ? )OB 即 (a ? b) ? ? a ? (1 ? ? )t b . 则? ?

1 3

1 1 , 实数 t ? 3 2
?

(2) a ? b ?| a | ? | b | cos 120 ? ?
2 2

1 , 2

?| a ? xb | 2 ? a ? x 2 ? b ? 2 x ? a ? b ? x 2 ? x ? 1,
当 x ? ? 时, | a ? xb | 取最小值

1 2

3 2

22.解: (1) y ? OM ? ON ? 1 ? cos2x ? 3 sin 2x ? a , 所以 f ( x) ? cos2x ? 3 sin 2x ? 1 ? a . (2)由(1)可得 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 由 2k? ?

?
6

) ?1? a ,

(k ? Z ) ; 2 3 6 ? ? 3? ? 2? (k ? Z ) , 由 2k ? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? , 解得 k? ? ? x ? k? ? 2 6 2 6 3 2 6
所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [k? ?

?

? 2x ?

?

? 2 k? ?

?

, 解得 k? ?

?

? x ? k? ?

?

?

, k? ? ](k ? Z ) , 3 6

?

6

单调递减区间为 [k? ? (3) f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 因为 0 ? x ? 所以

?
6

, k? ?

?
6

2? ](k ? Z ) . 3

) ?1? a ,

?
2



?
6

? 2x ?

?
6

?

当 2x ?

?

6 2 6 所以 3 ? a ? 4 ,即 a ? 1 .

?

?

7? , 6

,即 x ?

?

时, f ( x) 取最大值 3 ? a ,

7


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