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高三数学总复习二轮专题2函数、导数及其应用知识归纳(6547414)


? 专题知识归纳

? 一、函数的图像与性质 ? 1.根据函数的概念可以知道:(1)函数图 像与任意一条与x轴垂直的直线至多有一 个公共点,但与任意一条与y轴垂直的直 线的公共点可能没有,也可能有任意个; (2)函数图像一定是坐标系中的曲线,但坐 标系中的曲线不一定能成为函数图像.

? 2.函数的表示方法:解析法、图像法和 列表法.当一个函数在定义域的不同区间 上具有不同的对应关系时,在不同的定义 域区间上的函数解析式也不同,就要用分 段函数来表示.分段函数是一个函数. ? 3.函数的三要素:对应关系、定义域、 值域.实际上只要对应关系和定义域确定 了,函数的值域也就确定了,决定函数的 是对应关系和定义域.

? 4.函数的单调性是函数在其定义域上的 局部性质,当函数在其定义域的两个或几 个区间上为增函数时在这些区间的并集上 不一定单调. ? 5.单调性与奇偶性的关系:奇函数在关 于原点对称的区间上若有单调性,则其单 调性完全相同:偶函数在关于原点对称的 区间上若有单调性,则其单调性恰恰相 反.

? 6.偶函数的图像关于y轴对称,奇函数的 图像关于坐标原点对称;函数的奇偶性是 函数在其定义域上的整体性质,即对定义 域内的任意自变量都成立的性质,这个任 意性是我们解题的主要依据之一.在处理 有关问题时,常用到以下几个结论: ? ①两个奇函数的和仍为奇函数;②两个偶 函数的和仍为偶函数;③两个奇函数的积 是偶函数;④两个偶函数的积是偶函数; ⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函 数.

? 7.几个注意事项及简单结论: ? (1)确定函数的奇偶性,务必先判定函数的 定义域是否关于原点对称; ? (2)对于偶函数而言,有f(-x)=f(x)=f(|x|); ? (3)若奇函数的定义域中有0,则必有f(0)= 0,但f(0)=0是f(x)为奇函数的必要非充分 条件.

二、指数函数、对数函数与幂函数 1.解决指数与对数的有关运算问题时,注意指数式与 对数式之间的相互关系与转化,注意对数的一些运算法则和 性质的应用,例如:当a>0且a≠1,b>0且b≠1,m>0,n>0 m 时,logamn=logam+logan,loga =logam-logan ,logamn= n logbm nlogam,alogan=n,logam= , logba 1 n logab· logba=1,logaa =n,logab= , logba n 1 1 n logamb = logab,log b=loga . m a b

? 2.注意对数式的符号规律:logab>0(a>0, a≠1,b>0)?(a-1)(b-1)>0; ? logab<0(a>0,a≠1,b>0)?(a-1)(b- 1)<0,这一规律在解题中非常有用,应熟 练掌握. ? 3.指数函数与对数函数的图像与性质: 指数函数与对数函数互为反函数,其图像 关于直线y=x对称.

指数函数y=ax

定义域 (-∞,+∞) 值域 (0,+∞) 不变性 恒过定点(0,1) a>1时为增函 a>1时为增函数, 数, 增减性 0<a<1时为减函 0<a<1时为减 数 函数 奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数

对数函数y= logax (0,+∞) (-∞,+∞) 恒过定点(1,0)

? 3.指数方程、对数方程的解法 ? ①形如af(x)=ag(x)(a>0,a≠1)的方程,化成 f(x)=g(x)求解. ? ②形如F(ax)=0(a>0,a≠1)的方程,用换 元法求解. ? ③形如af(x)=b(a>0,a≠1)的方程,化成f(x) =logab求解.

④形如 logaf(x) = logag(x)(a>0 , a≠1) 的方程,化成
? ?f?x?>0 ? ? ?f?x?=g?x?

求解.

⑤形如 F(logax)=0(a>0,a≠1)的方程,用换元法求 解. ⑥形如 logf(x)g(x)=m 的方程, 化为(f(x))m=g(x)(f(x)>0, f(x)≠1,g(x)>0)求解.

? 4.指数函数与对数函数的图像与底数的 关系 ? (1)作直线x=1与指数函数的图像相交,交 点自上而下,对应的函数的底数由大变 小. ? (2)作直线y=1与对数函数的图像相交,交 点自左向右,对应的函数的底数由小变 大.

? 5.需要注意的几个问题 ? (1)利用指数函数与对数函数的性质比较大 小 ? ①底数相同,指数不同的幂用指数函数的 单调性进行比较;底数相同,真数不同的 对数值用对数函数的单调性进行比较. ? ②底数不同、指数也不同,或底数不同、 真数也不同的两个数,可以引入中间量或 结合图像进行比较.

? (2)指数式与对数式的变形、运算、互化、 求值是研究指数、对数类型的函数方程、 不等式的基础;指数函数、对数函数的性 质(定义域、值域、单调性等)和图像是解 决此类问题的关键. ? (3)对于含参数的指数、对数问题,在应用 单调性时,要注意对底数进行讨论,解决 对数问题时,首先要考虑定义域,其次再 利用性质求解. ? (4)合理运用幂的运算法则和对数的运算法 则,注意法则成立的条件.

? 三、函数与方程及函数的应用 ? 1.函数零点(方程的根)的确定问题,常见 的类型有(1)零点或零点存在区间的确定; (2)零点个数的确定;(3)两函数图像交点 的横坐标或有几个交点的确定;解决这类 问题的常用方法有:解方程法、利用零点 存在的判定或数形结合法,尤其是那些方 程两端对应的函数类型不同的方程多以数 形结合法求解.

? 2.函数零点(方程的根)的应用问题,即已 知函数零点的存在情况求参数的值或取值 范围问题,解决该类问题关键是利用函数 方程思想或数形结合思想,构建关于参数 的方程或不等式求解.

? 四、导数及其应用 ? 1.在(a,b)上f ′(x)>0是y=f(x)在(a,b)上 递增的充分条件. ? 2.f ′(x0)=0不是y=f(x)在x=x0处取到极 值的充分条件,也非必要条件. ? 3.求函数y=f(x)在[a,b]上的最值,只需 求在(a,b)内使f ′(x)=0处的函数值以及端 点x=a和x=b处的函数值.

? 4.讨论函数的单调性其实就是讨论不等 式的解集的情况,大多数情况下是归结为 一个含有参数的一元二次不等式的解集的 讨论,在能够通过因式分解求出不等式对 应方程的根时依据根的大小进行分类讨论, 在不能通过因式分解求出根的情况时根据 不等式对应方程的判别式进行分类讨 论.讨论函数的单调性是在函数的定义内 进行的,千万不要忽视了定义域的限制.

? 5.求实际问题中的最值 ? 在实际问题中,有时会遇到函数在某区间 内只有一个点使f ′(x)=0,如果函数在这 一点有极值,那么可不与区间端点处的函 数值进行比较,即可断定该极值即为最 值.


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