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第二章 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 2


2.2 用样本估计总体
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

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预习思考
? 1,什么是众数、中位数、平均数? ? 2,怎样用频率分布直方图估计众数、中位 数、平均数? ? 3,方差公式是什么?

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1.众数、中位数、平均数定义

(

1)众数:一组数据中重复出现次数 最多 的数. (2)中位数:把一组数据按 从小到大 的顺序排列, 处在 中间 位置(或中间两个数的平均数)的数 叫做这组数据的中位数. (3)平均数

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(3)平均数: 1 如果 n 个数 x1,x2,?,xn,那么 x = (x1+ x2+?+ xn) n 叫做这 n 个数的平均数.

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2.标准差、方差 (1)标准差的计算公式:

标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,
一般用s表示,s=
1 [? x1- x ?2+? x2- x ? 2+?+?xn- x ? 2]. n

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(2)方差的计算公式:

标准差的平方s2叫做方差. 1 2 2 2 [( x - x ) + ( x - x ) +?+ ( x - x ) ] 2 1 2 n n s=
1 2 ?2 或 s2= [( x12 + x22 +…+ xn )- nx ] n



其中,xi(i=1,2,?,n)是 样本数据 ,n 是 样本容量 , x 是 样本平均数 .

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(3)标准差、方差的意义是什么?

标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.
在平均数相同的情况下,

方差越大,离散程度越大,数据波动性越大,稳定性越差;
方差越小,数据越集中,数据波动性越大,质量越稳定.

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[例1]

在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出

的分数如下:
9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7

去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值 和方差分别为 A.9.4,0.484 B.9.4,0.016 ( )

C.9.5,0.04

D.9.5,0.016

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[自主解答] 先求平均数: 去掉 9.9 和 8.4 得一组数:9.4,9.4,9.6,9.4,9.7, 1 平均数为 x =9+ (0.4+0.4+0.6+0.4+0.7)=9.5. 5 1 方差为 s2= [3× (9.4- 9.5) 2+ (9.6- 9.5) 2+ (9.7-9.5) 2]= 5 0.016.

[答案] D

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思考:
某公司销售部有销售人员15人,销售部为了制定 某种商品的月销售定额,统计了这15人某月的销售量

如下:
销售量(件) 1 800 510 250 210 150 120

人数

1

1

3

5

3

2

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(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数 及众数; (2)假设销售部负责人把月销售额定为320件,你认 为是否合理,为什么?如不合理,请你制定一个较为合 理的销售定额.

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[ 自主解答 ]

1 (1)由表格可知:平均数为 (1 800× 1+ 15

510× 1+ 250× 3+ 210× 5+ 150× 3+ 120× 2)= 320( 件 ),中 位数为 210 件,众数为 210 件. (2)不合理,因为 15 人中有 13 人的销售量未达到 320 件,也 就是说:虽然 320 是这一组数据的平均数,但它却不能反映 全体销售人员的销售水平.销售额定为 210 件更合理些,这 是由于 210 既是中位数,又是众数,是大部分人都能达到的 定额.

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2.在频率分布直方图中,如何求众数、中位数、平均数?
(1)众数是最高矩形底边的中点。 (2)中位数左边和右边的直方图面积应相等,由此来估

计中位数的值.
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,它等于每个小 矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

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[例2] 125 121 129 126 126 128

已知一组数据: 123 124 125 125 127 127 129 126 125 122 128 124 130 125

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(1)填写下面的频率分布表: 分组 [120.5,122.5) [122.5,124.5) [124.5,126.5) [126.5,128.5) [128.5,130.5] 合计 频数累计 频数 频率

(2)作出频率分布直方图; (3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据 的众数、中位数和平均数.

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[自主解答]
分组 [120.5,122.5) [122.5,124.5) [124.5,126.5) [126.5,128.5)

(1)
频数累计 频数 2 3 正 8 4 频率 0.1 0.15 0.4 0.2

[128.5,130.5]
合计

3
20

0.15
1

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(2)

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(3)在[124.5,126.5)中的数据最多, 取这个区间的中点值作为 众数的近似值,得众数 125.5,事实上,众数的精确值为 125. 5 图中虚线对应的数据是 124.5+ 2× =125.75,事实上中位数为 8 125.5.使用“组中值”求平均数: x = 121.5×0.1+ 123.5×0.15 + 125.5×0.4+127.5×0.2+129.5× 0.15=125.8, 平均数的精确值为 x =125.75.

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1.利用直方图求数字特征 (1)众数是最高的矩形的底边的中点. (2)中位数左右两边直方图的面积应相等.

(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边
中点的横坐标之和. 2.利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值, 往往与实际数据得出的不一致,但它们能粗略估计其众数、

中位数和平均数.

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课时练习:
? P38,课堂强化

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课时小结
? ? ? ? ? ? 数字特征: 众数 中位数 平均数 方差 用频率分布直方图估计数字特征

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课时作业
? 作业十二

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备用练习:

[例1]

某公司销售部有销售人员15人,销售部为

了制定某种商品的月销售定额,统计了这15人某月的

销售量如下:
销售量(件) 1 800 510 250 210 150 120

人数

1

1

3

5

3

2

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(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数 及众数; (2)假设销售部负责人把月销售额定为320件,你认 为是否合理,为什么?如不合理,请你制定一个较为合 理的销售定额.

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[ 自主解答 ]

1 (1)由表格可知:平均数为 (1 800× 1+ 15

510× 1+ 250× 3+ 210× 5+ 150× 3+ 120× 2)= 320( 件 ),中 位数为 210 件,众数为 210 件. (2)不合理,因为 15 人中有 13 人的销售量未达到 320 件,也 就是说:虽然 320 是这一组数据的平均数,但它却不能反映 全体销售人员的销售水平.销售额定为 210 件更合理些,这 是由于 210 既是中位数,又是众数,是大部分人都能达到的 定额.

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1.众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋

势的量.
2.平均数的大小与一组数据里每个数的大小均有关 系,任何一组数据的变动都会引起平均数的变动. 3.众数考查各数出现的频率,其大小与这组数据中 部分数据有关,当一组数据中有不少数据重复出现时,

其众数往往更能反映问题.

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4.中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据
的变动对中位数没有影响,中位数可能出现在所给数 据中,也可能不在所给数据中,当一组数据中个别数 据较大时,用中位数描述这种趋势.

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1.某工厂人员及工资构成如下: 管理 高级 人员 经理 工人 学徒 合计 人员 技工 周工资(元) 2 200 250 220 200 100 2 970 1 6 5 10 1 23 人数 2 200 1 500 1 100 2 000 100 6 900 合计 (1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数. (2)这个问题中,平均数能客观地反映该工厂的工资 水平吗?为什么?

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解:(1)由表格可知:众数为200元. ∵23个数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,排在中

间的数应是第12个数,其值为220,
∴中位数为220元. 平均数为(2 200+1 500+1 100+2 000+100)÷23=6 900÷23=300(元). (2)虽然平均数为300元/周,但由表格中所列出的数据可见,

只有经理在平均数以上,其余的人都在平均数以下,故用
平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平.

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[小问题·大思维]

1.一组数据的众数可以有几个?那么中位数是否也具有
相同的结论?

提示:一组数据的众数可能有一个,也可能有多个,
中位数只有唯一一个.

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1.极差、方差与标准差的区别与联系: 数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述. (1)极差是数据的最大值与最小值的差,它反映了一组数 据变化的最大幅度,它对一组数据中的极端值非常敏感. (2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小,为了

得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差,即
样本方差的算术平方根,是样本数据到平均数的一种平均 距离.

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2.在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题
还要研究方差,方差描述了数据相对平均数的离散程度, 在平均数相同的情况下,方差越大,离散程度越大,数 据波动性越大,稳定性越差;方差越小,数据越集中, 质量越稳定.

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2.从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株,分别测得它们
的株高如下:(单位:cm) 甲:25 乙:27 41 16 40 44 37 27 22 44 14 16 19 40 39 40 21 16 42 40

问:(1)哪种玉米的苗长得高?

(2)哪种玉米的苗长得齐?

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1 解: (1) x 甲= (25+ 41+40+37+22+14+19+ 39+ 21+42) 10 1 = × 300=30(cm), 10 1 x 乙= (27+16+44+27+44+ 16+40+40+16+ 40) 10 1 = × 310=31(cm). 10 ∴ x 甲< x 乙. 所以乙种玉米的苗长得高.

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2 s (2) 甲 =

1 [(25-30)2+(41- 30)2+ (40-30)2+(37- 30)2+ 10

(22- 30)2+ (14-30)2+ (19-30)2+(39-30)2+(21- 30)2+ (42- 30)2] 1 = × (25+121+100+49+64+256+121+81+81+144) 10 1 = × 1 042= 104.2(cm2), 10

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2 s乙 =

1 [(2× 272+ 3× 162+ 3× 402+2× 442)-10× 312] 10

1 = × 1 288= 128.8 (cm2). 10
2 2 s s ∴ 甲< 乙.

所以甲种玉米的苗长得整齐.

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3.某市2011年4月1日~4月30日对空气污染指数的监测数
据如下(主要污染物为可吸入颗粒物): 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86, 81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. (1)完成频率分布表; (2)作出频率分布直方图;

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(3)根据国家标准,污染指数在0~50之间时,空气质量 为优;在51~100之间时,为良;在101~150之间时, 为轻微污染;在151~200之间时,为轻度污染. 请你根据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出 一个简短评价.

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解:(1)频率分布表:(以10为组距)
分组 [41,51) [51,61) [61,71) 频数 2 1 4 频率 2 30 1 30 4 30

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分组 [71,81) [81,91) [91,101) [101,111] 总计

频数 6 10 5 2 30

频率 6 30 10 30 5 30 2 30 1

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(2)频率分布直方图:

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(3)答出下述两条中一条即可: ①该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平,占当 1 13 月天数的 .有 26 天处于良的水平,占当月天数的 ,处于 15 15 14 优或良的天数共有 28 天, 占当月天数的 .说明该市空气质 15 量基本良好.

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1 ②轻微污染有 2 天, 占当月天数的 .污染指数在 80 以上 15 的接近轻微污染的天数有 15 天,加上处于轻微污染的天 17 数,共有 17 天,占当月天数的 ,超过 50%.说明该市空 30 气质量有待进一步改善.

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求下列数据的平均数 184 208 190 192 178 200

[巧思] 从数据中发现它们在 190 上下摆动, ∴用简化公式 x = x′ +a= x′ +190.

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[妙解] 取 a=190,得新数据- 6,18,0,2,-12,10 1 x′ = (-6+ 18+ 0+ 2- 12+10)= 2, 6 ∴ x = x′ + 190= 192.

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