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2012-4-27离散型随机变量的方差


离散型随机变量的方差

潮阳实验学校:江烈欣

温故而知新
1、离散型随机变量 X 的均值(数学期望)

E ( X ) ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xi pi ? ? ? xn pn
均值反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2、性质—线性性质

E (aX ?

b) ? aE ( X ) ? b E (aX ? bY ) ? aE ( X ) ? bE (Y )

温故而知新
3、两种特殊分布的均值

(1)若随机变量X服从两点分布,则

E( X ) ?

p

(2)若X~B(n,p),则

E ( X ) ? np
(3)若X~H(n,M,N)则 M E ( X ) ? n· N

探究
要从两名同学中挑选出一名,代表班级参 加射击比赛. 根据以往的成绩记录,第一名同学击中目标 靶的环数X1的分布列为 X1 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10

E( X1 ) ? 8

探究
要从两名同学中挑选出一名,代表班级参 加射击比赛. 第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为 X2 5 6 7 8 9 P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33

E( X 2 ) ? 8

探究
E( X1 ) ? 8
发现两个均 值相等
请问应该派哪名同学参赛? 只根据均值不能区分这两名同学的射击水平!

E( X 2 ) ? 8

新课分析 (一) 、随机变量的方差 1、定性分析 思考:

除平均中靶环数以外,还有其他刻画两 名同学各自射击特点的指标吗?

新课分析 (一) 、随机变量的方差 1、定性分析 (1)分别画出X1、X2的分布列图.
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 5 6 7 8 9 10 X 1

P

P
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 5 6 7 8 9

X2

(2)比较两个分布列图形,哪一名同学的成绩 更稳定? 第二名同学

新课分析 (一) 、随机变量的方差 2、定量分析 思考: 怎样定量刻画随机变量的稳定性?

(1)样本的稳定性是用哪个量刻画的? 样本方差
(2)能否用一个与样本方差类似的量来刻画 随机变量的稳定性呢?

随机变量的方差

新课分析 (一) 、随机变量的方差 设离散型随机变量 X 的分布列为

X
P

x1 p1

x2 p2

x3 p3

… …

xi pi

… …

xn pn

则(xi-E(X))2描述了(xi=1,2,…,n)相对于 均值E(X)的偏离程度.

新课分析 (一) 、随机变量的方差 设离散型随机变量 X 的分布列为

X
P

x1 p1

x2 p2
n

x3 p3

… …

xi pi

… …

xn pn

而 D( X ) ? ? ( xi ? EX )2 pi 为这些偏离程度的加 i ?1 权平均,刻画了随机变量 X 与其均值 E(X ) 的平均偏离程度.

新课分析 (一) 、随机变量的方差 定义

我们称 D(X)为随机变量 X 的方差.其算术平 方根 DX 为随机变量X的标准差,记为? ( X )
其中: D( X ) ? ? ( xi ? EX ) pi
2 i ?1 n

对方差的几点说明
(1)随机变量的方差和标准差都反映了随机变 量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差 越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.

说明:随机变量集中的位置是随机变量的均值; 方差或标 准差这种度量指标是一种加权平均 的度量指标.

对方差的几点说明

(2)随机变量的方差与样本的方差有何联系与 区别? 随机变量的方差是常数,而样本的方差是随着 样本的不同而变化的,因此样本的方差是随机 变量.对于简单随机样本,随着样本容量的增加, 样本方差越来越接近总体方差,因此常用样本 方差来估计总体方差.

公式运用
1.请分别计算探究中两名同学各自的射击成 绩的方差. X1 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
X2 5 6 7 8 9 P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33

D( X 1 ) ? 1.50

D( X 2 ) ? 0.82

公式运用
结论: 第一名同学的射击成绩稳定性较差,第 二名同学的射击成绩稳定性较好,稳定于8环 左右. 思考: 如果其他班级参赛选手的射击成绩都在 9环左右,本班应该派哪一名选手参赛?如果 其他班级参赛选手的成绩在7环左右,又应该 派哪一名选手参赛?

公式运用
2、两个特殊分布的方差

(1)若 X 服从两点分布,则

D( X ) ? p(1 ? p)
(2)若X~B(n,p),则

D( X ) ? np(1 ? p)

公式运用
3、方差的性质 (1)线性变化: 可以证明

D( X ? b) ? D( X ) D(aX ) ? a D( X )
2

常数项不改变方差,一次项系数改变方差

D(aX ? b) ? a D( X )
2

公式运用
(2)方差的几个恒等变形

DX ? ? ( xi ? E ( X )) pi
2 i ?1

n

? E ( X ? E ( X ))
2

2

? E ( X ) ? ( E ( X ))

2

注:要求方差则先求均值

应用举例
(1)计算 例4.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上 一面的点数的均值、方差和标准差.

X P

1
1 6

2
1 6

3
1 6

4
1 6

5
1 6

6
1 6

E ( X ) ? 3.5

D( X ) ? 2.92

? ( X ) ? D( X ) ? 1.71

应用举例
(1)决策问题 例5.有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能 获得如下信息: 甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元

获得相应职位的概率P2

1000 1400 1800 2200 0.4 0.3 0.2 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家 单位?

练习
1.已知 ξ~B(n,p), E(X)=8, D(X)=1.6, 则n、p的值分别是( D ) A.100和0.08 B.20和0.4 C.10和0.2 D .10和0.8 2. 有一批数量很大的商品的次品率为1%, 从中任意地连续取出200件商品,设其中次 品数为X,求E(X),D(X).
E(X) =2; D(X) =1.98

练习
3. 一盒中装有零件12个,其中有9个正品,3 个次品,从中任取一个,如果每次取出次品 就不再放回去,再取一个零件直到取得正品 为止.求在取得正品之前已取出次品数的期 望与方差. E(X) =0.3 ;D(X) =351/1100
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

思考题
1.(高考题)袋中有20大小相同的小球,其中记上0号 的有10个,记上n号的有n个( n =1、2、3、4) 现从袋中任取一球.ξ表示所取的球号. (1)求ξ的分布列、期望和方差.

(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a、b的值.

课堂小结
1.熟记方差计算公式

D( X ) ? ? ( xi ? E ( X )) pi
2 i ?1

n

? E ( X ? E ( X ))
2

2

? E ( X ) ? ( E ( X ))

2

课堂小结
2.求离散型随机变量X的方差、标准差的一 般步骤: ①理解X 的意义,写出X 可能取的全部值; ②求X取各个值的概率,写出分布列; ③根据分布列,由期望的定义求出 E(X);
王新敞
奎屯 新疆

④根据方差、标准差的定义求出 D(X)、σ(X)

课堂小结
3.能熟练地直接运用两个特殊分布的方差公式 (1)若 X 服从两点分布,则

D( X ) ? p(1 ? p)
(2)若X~B(n,p),则

D( X ) ? np(1 ? p)

课堂小结
4、掌握方差的线性变化性质

D(aX ? b) ? a D( X )
2

5、对于两个随机变量X1和X2在E(X1)与E(X2) 相等或很接近时,比较D(X1)和D(X2),可以 确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实 际,适合人们的需要.

课堂练习
一.P68ex1-3.(做在课本上) 二.同步作业(十六)


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