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导数(含绝对值) - 含答案


1. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ?| e x ? bx |, 其中 e 为自然对数的底. (1)当 b ? 1 时,求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程; (2)若函数 y=f(x)有且只有一个零点,求实数 b 的取值范围; (3)当 b>0 时,判断函数 y=f(x)在区间(0,2)上是否存在极大值,若存在,求出极 大值及相应实数 b 的取值范围.

2 20. (本小题满分 16 分) 设 a 为实数, 函数 f ( x) ? x | x ? a | 。 (1 ) 当 a ? 1 时, 求函数 f ( x )

在区间 [?1,1] 上的最大值和最小值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间。

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? m | 和函数 g ( x) ? x | x ? m | ?m2 ? 7m . (1) 若方程 f ( x) ?| m | 在 [4, ??) 上有两个不同的解,求实数 m 的取值范围; (2) 若对任意 x1 ? (??, 4] ,均存在 x2 ?[3, ??) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 m 的取值范 围.

21. 已知函数 f ( x) ? x x ? a ? ln x . (1)若 a=1,求函数 f ( x) 在区间 [1, e] 的最大值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 解: (1)若 a=1, 则 f ( x) ? x x ? 1 ? ln x .

1 2 x2 ? x ?1 当 x ? [1, e] 时, f ( x) ? x ? x ? ln x , f ( x) ? 2 x ? 1 ? ? ?0, x x
2
'

所以 f ( x) 在 [1, e] 上单调增, ? f ( x) max ? f (e) ? e 2 ? e ? 1 . (2)由于 f ( x) ? x x ? a ? ln x , x ? (0, ??) . (ⅰ)当 a ? 0 时,则 f ( x) ? x ? ax ? ln x , f ( x) ? 2 x ? a ?
2
'

……………2 分

1 2 x 2 ? ax ? 1 ? , x x

' 令 f ( x) ? 0 ,得 x0 ?

a ? a2 ? 8 ? 0 (负根舍去) , 4
' '

且当 x ? (0, x0 ) 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? ( x0 , ??) 时, f ( x) ? 0 ,

所以 f ( x) 在 (0,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) 上单调减,在 ( , ??) 上单调增.……4 分 4 4

(ⅱ)当 a ? 0 时, ①当 x ? a 时, f ( x) ? 2 x ? a ?
'

1 2 x 2 ? ax ? 1 , ? x x

' 令 f ( x) ? 0 ,得 x1 ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ? a 舍) (x? , 4 4



a ? a2 ? 8 ? a ,即 a ? 1 , 则 f ' ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (a, ??) 上单调增; 4

a ? a2 ? 8 ' ?a, 若 即 0 ? a ? 1 , 则当 x ? (0, x1 ) 时, f ( x) ? 0 ; 当 x ? ( x1 , ??) 时, 4
f ' ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间 (0,
增.
'

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) 上是单调减,在 ( , ??) 上单调 4 4

………………………………………………………6 分

1 ?2 x 2 ? ax ? 1 ②当 0 ? x ? a 时, f ( x) ? ?2 x ? a ? ? , x x
令 f ( x) ? 0 ,得 ?2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 ,记 ? ? a 2 ? 8 ,
'

若 ? ? a 2 ? 8 ? 0 ,即 0 ? a ? 2 2 , 则 f ( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, a ) 上单调减;
'

若 ? ? a 2 ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 ,
' 则由 f ( x) ? 0 得 x3 ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x4 ? 且 0 ? x3 ? x4 ? a , 4 4
'

当 x ? (0, x3 ) 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? ( x3 , x4 ) 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? ( x4 , ??) 时,
'

f ' ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间 (0,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) 上是单调减,在 ( , ) 4 4 4
…………………………………………8 分

上单调增;在 (

a ? a2 ? 8 , ??) 上单调减. 4

综上所述,当 a ? 1 时, f ( x) 单调递减区间是 (0,

a ? a2 ? 8 ) , f ( x) 单调递增区间 4

a ? a2 ? 8 , ??) ; 是( 4

当 1 ? a ? 2 2 时, f ( x) 单调递减区间是 (0, a ) , f ( x) 单调的递增区间是

(a, ??) ;

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , a) , 当 a ? 2 2 时, f ( x) 单调递减区间是(0, )和 ( 4 4
f ( x) 单调的递增区间是 (

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , ) 和 (a, ??) . ………………10 分 4 4

(3)函数 f ( x) 的定义域为 x ? (0, ??) . 由 f ( x) ? 0 ,得 x ? a ?
ln x . x

*
ln x ? 0 ,不等式*恒成立,所以 a ? R ; x

(ⅰ)当 x ? (0,1) 时, x ? a ≥ 0 , (ⅱ)当 x ? 1 时, 1 ? a ≥ 0 ,

ln x ? 0 ,所以 a ? 1 ; x

………………12 分

(ⅲ)当 x ? 1 时,不等式*恒成立等价于 a ? x ? 令 h( x ) ? x ?

ln x ln x 恒成立或 a ? x ? 恒成立. x x

x 2 ? 1 ? ln x ln x ,则 h?( x) ? . x2 x

因为 x ? 1 ,所以 h?( x) ? 0 ,从而 h( x) ? 1 . 因为 a ? x ?
ln x 恒成立等价于 a ? (h( x)) min ,所以 a ≤ 1 . x

x 2 ? 1 ? ln x ln x ,则 g ?( x) ? . x2 x 1 再令 e( x) ? x 2 ? 1 ? ln x , 则 e?( x) ? 2 x ? ? 0 在 x ? (1, ??) 上恒成立,e( x) 在 x ? (1, ??) 上 x
令 g ( x) ? x ? 无最大值. 综上所述,满足条件的 a 的取值范围是 (??,1) . …………………………16 分

22. 已知函数 f(x)=|x-a|-Inx(a>0)(1)若 a=1,求 f(x)的单调区间(2)若 a>0,求 f(x)的 单调区间

解:已知函数 f(x)=|x-a|-Inx(a>0) (1)若 a=1,求 f(x)的单调区间 f(x)=|x-a|-lnx,a=1 则,f(x)=|x-1|-lnx,定义域为 x>0 所以:

①x≥1 时,f(x)=x-1-lnx 则,f'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x>0 所以,f(x)单调递增; ②当 0<x<1 时,f(x)=1-x-lnx 则,f'(x)=-1-(1/x)=-[1+(1/x)]<0 所以,f(x)单调递减. (2)若 a>0,求 f(x)的单调区间 ①当 x≥a 时,f(x)=(x-a)-lnx 则,f'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x 此时:若 x≥1,则 f(x)单调递增;若 0<x<1,则 f(x)单调递减; ②当 0<x<a 时,f(x)=(a-x)-lnx 则,f'(x)=-1-(1/x)<0 所以,f(x)单调递减


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