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2014年全国统一考试试题(新课标2)一模数学文试题


2014年普通高等学校招生全国统一模拟考试(新课标Ⅱ) 数学试题(文)
本试卷共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题纸指定位置上。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。 3.

填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题纸上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.若集合 A ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} , B ? {x | x( x ? a) ? 0} ,且 A ? B ? B ,则实数 a 的取值范围为 A. 0 ? a ? 3 B. 1 ? a ? 4 C. ?1 ? a ? 3 D. 0 ? a ? 4

2.设复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? x ? 2i ( x ? R ), 若 A.-2 B.1

z2 为实数,则 x ? z1

C.-1

D.2

3、已知 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 函数的最大值为 2,最小值为-2,最小正周期为 其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为

? ? ,直线 x ? 是 2 3

A. y ? 2sin(4 x ? ) B. y ? 2sin(2 x ? ) C. y ? 2sin(4 x ? ) D. y ? 2sin(4 x ? ) 3 3 6 6

?

?

?

?

4、如图为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形,俯视图为正三角形,尺寸如图,

则该几何体的全面积为(



A.

B.

C.

D.

5、 为了调查某厂工人生产某种产品的能力, 随机抽查了 20 位工人某天 生 产 该 产 品 的 数 量 . 产 品 数 量 的 分 组 区 间 为 ? 45,55 ? ,

?55, 65? , ?65, 75? , ?75,85 ? , ?85,95? 由此得到频率分布直方图如
图, 则这 20 名工人中一天生产该产品数量在 ?55, 75 ? 的人数 ( A. 10 B. 11 C. 12
a



D. 13
a a a10

6、等差数列 {an } 中 a5 ? a6 ? 4 ,则 2 1 ? 2 2 ? 2 3 ? … ? 2 A.
2

?(
D.
2



10

B.

2

20

C.

4

40

40

7、按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 63,则判断框中的整数 M 的值是

A.5 B.6 C.7 D.8

8、函数

在定义域 R 内可导,若

,且当

时,







,则(



A.

B.

C.

D.

9、设 A,B,C,D 是半径为 2 的球面上的四点,且满足

,则

的最大值是(
A. 8 B. 10

) C. 12 D. 14 )

10、已知关于 x 的方程 x 2 ? 6 x ? a (a ? 0) 的解集为 P ,则 P 中所有元素的和可能是( A. 3, 6,9 B.

9,12,15

C. 6,9,12

D. 6,12,15

11.已知直线 当直线 PA、PB 的斜率

与双曲线 存在时

交于 A、B 两点,P 为双曲线上不同于 A、B 的点, =( )

A.

B.

C.

D.与 P 点位置有关

12.已知定义域为 D 的函数 称函数

,苦对任意

,存在正数 M,都有

成立,则 ②

是定义域 D 上的“有界函数”。已知下列函数:①

③ A.1 B.2

④ C.3

,其中“有界函数”的个数是( D.4



第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.
?x ? y ? 0 ? 13、在不等式组 ? x ? y ? 0 确定的平面区域中,若 z ? x ? 2 y 的最大值为 。 ?y ?1 ? ???? ??? ? ???? ??? ? ? 1 ???? ???? 14 在边长为 2 的正方形 ABCD 中,DE ? 2 EC ,???? 求 DF ? BE = DF ? ( DC ? DB ) 2 ,



15、两人相约 8 点到 9 点在某地会面,先到者等候后到者 20 分钟,过时就可离开,这两人能 会面的概率为
a1 ? 2
an ?1 ?



a ?2 2 bn ? n an ? 1 n ? N * ?b ? b an ? 1 , , ,则数列 n 的通项公式 n =

16、设

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。
17、在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , (Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a,b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.

C?

? 3.

18、 (本小题满分 12 分) 如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 , AD ? CD , AB ∥
CD , AB ? AD ?

1 CD ? 2 ,点 M 为 EC 中点. 2

(I)求证: BM ∥平面 ADEF ; (II)若 ED=2,求三棱锥 M ? BDE 的体积.

19、某学生对其亲属 30 人的饮食习惯进行了一次调查,并用茎叶图表示 30 人的饮食指数。 (说明:图中饮食指数低于 70 的人,饮食以蔬菜为主,饮食指数高于 70 的人,饮食以肉类 为主。

(I)根据茎叶图,帮助这位学生说明其亲属 30 人的饮食习惯; (II)根据以上数据完成下列 的列联表;

(III)能否有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年齡有关,并写出简要分析。

附: 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

20、已知椭圆

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4。 2 2 a b

(1) 求椭圆的方程; (2) 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B ,已知点 A 的坐标为( ? a, 0 ) ,点 Q(0, y0 ) 在线段 AB

QB ? 4 ,求 y0 的值 的垂直平分线上,且 QA?

??? ? ??? ?

21、 设函数 f ( x) ? x m ln x , h( x) ? x ? x ? a 。
2 2

(Ⅰ)当 a=0 时, f ( x) ? h( x) 在(1,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)当 m=2 时,若函数 k ( x) ? f ( x) ? h( x) 在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值范围;

22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ⊙ O 是△ ABC 的外接圆,D 是⌒ AC 的中点,BD 交 AC 于 E. (Ⅰ)求证: DC 2 ? DE ? DB ; (Ⅱ)若 CD ? 2 3 ,O 到 AC 的距离为 1,求⊙O 的半径 r
A E D B

O. C

23. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 4:坐标系与参数方程
? x ? 2 ? 2 cos ? 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1 和 C2 的参数方程分别是 ? (φ 为参数)和 ? y ? 2sin ? ? x ? cos ? (φ 为参数) ,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 ? ? y ? 1 ? sin ?

(1)求圆 C1 和 C2 的极坐标方程; (2)射线 OM:θ = α 与圆 C1 的交点为 O、P,与圆 C2 的交点为 O、Q,求| OP | · | OQ |的 最大值

24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲[] 已知函数 f ( x ) ?| x ? 2 | ? | x ? 1 | . (Ⅰ)求证: ? 3 ? f ( x ) ? 3 ; (Ⅱ)解不等式 f ( x ) ? x 2 ? 2 x .

2014年普通高等学校招生全国统一模拟考试(新课标Ⅱ)
数学答案(文)

一、选择题 题 1 2 3 4 5 6 号 答 A C D C D B 案 二、填空题 10 5 13、3;14、 ? ;15、 ;16、2n+1; 3 9 三、解答题

7 B

8 A

9 A

10 C

11 A

12 B

2 2 17、 (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,

1 ab sin C ? 3 又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 2 ,得 ab ? 4 .

4分

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 .

6分

(Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A ,即 sin B cos A ? 2sin A cos A ,

当 cos A ? 0 时,

A?

4 3 2 3 ? ? a? b? B? 3 , 3 , 2, 6,

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 ? a? b? b ? 2 a , 3 , 3 . 联立方程组 ? 解得
所以 △ ABC 的面积

S?

1 2 3 ab sin C ? 2 3 . 12 分

18、 解: (1)以直线 DA 、 DC 、 DE 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间 直角坐标系,则 A( 2,0,0) , B( 2,2,0) C (0,4,0) , E (0,0,2) ,所以 M (0,2,1) . ∴ BM ? ( ?2,0,1) ————————2 分 又, OC ? (0,4,0) 是平面 ADEF 的一个法向量. ∵ BM ? OC ? 0 即 BM ? OC ∴ BM ∥平面 ADEF ——————4 分 1 1 4 (2), VB ? DEM ? ? 4 ? 2 ? ? ————————————12 分 3 2 3 19、(1)30 位亲属中 50 岁以上的人多以食蔬菜为主

50 岁以下的人多以食肉为主 (2) 主食蔬菜 50 岁以下 50 岁以上 合计 4 16 20 主食肉类 8 2 10 合计 12 18 30



的把握认为亲属的饮食习惯与年龄有关。

20、 【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质,直线的方程,平面向量等基础知识,考查用代
数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算和推理能力,满分 12 分 (1)解:由 e ? 由题意可知,

c 3 2 2 2 2 2 ? ,得 3a ? 4c ,再由 c ? a ? b ,得 a ? 2b a 2

1 ? 2a ? 2b ? 4,即ab ? 2 2

解方程组 ?

? a ? 2b 得 a=2,b=1 ? ab ? 2

所以椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(2)解: 由 (1) 可知 A (-2,0) 。 设 B 点的坐标为 (x1,,y1) ,直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 的方程为 y=k(x+2),

? y ? k ( x ? 2) ? 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 ? y2 ? 1 ? ? 4
由方程组消去 Y 并整理,得 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? (16k ? 4) ? 0
2 2 2 2

由 ?2 x1 ?

16k 2 ? 4 ,得 1 ? 4k 2

2 ? 8k 2 4k x1 ? , 从而y1 ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
设线段 AB 是中点为 M,则 M 的坐标为 ( ? 以下分两种情况: (1)当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0) 。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是

8k 2 2k , ) 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

QA ? (?2, ?y0 ), QB ? (2, ? y0)由QA? QB =4,得y0 = ? 2 2
2k 1 8k 2 (2)当 K ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 Y ? ? (x ? ) 1 ? 4k 2 k 1 ? 4k 2
令 x=0,解得 y0 ?
?

?

?

?

?

6k 1 ? 4k 2
?

由 QA ? (?2, ? y0 ), QB ? ( x1 , y1 ? y0)

QA? QB ? ?2 x1 ? y0 ( y1 ? y0)=
4(16k 4 ? 15k 2 ? 1) ?4 (1 ? 4k 2 ) 2
2

?

?

?2(2 ? 8k 2 ) 6k 4k 6k ? ( ? ) 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4 k 1 ? 4k 1 ? 4 k 2

=

整理得 7k ? 2, 故k ? ?

14 2 14 所以y0 = ? 7 5 2 14 5

综上 y0 = ? 2 2或y0 = ?

21、解: (Ⅰ)由 a=0, f ( x) ? g ( x) 可得 ?m ln x ? ? x ,
x ┉┉┉┉┉┉┉┉1 分 ln x x 记? ? ,则 f ( x) ? g ( x) 在(1,+∞)上恒成立等价于 m ? ? ( x)min . ln x ln x ? 1 求得 ? '( x) ? ┉┉┉┉┉┉┉┉2 分 ln 2 x

即m ?

当 x ? (1, e) 时; ? '( x) ? 0 ;当 x ? (e, ??) 时, ? '( x) ? 0 ┉┉┉┉┉┉┉┉3 分 故 ? ( x) 在 x=e 处取得极小值,也是最小值,

即 ? ( x)min ? ? (e) ? e ,故 m ? e . ┉┉┉┉┉┉┉┉4 分
, 1 (Ⅱ) 函数 k ( x) ? f ( x) ? h( x) 在 ?1, 3? 上恰有两个不同的零点等价于方程 x ? 2ln x ? a , 在 ?3

?上

恰有两个相异实根.┉┉┉┉┉┉┉┉5 分 2 令 g ( x) ? x ? 2ln x ,则 g '( x) ? 1 ? ┉┉┉┉┉┉┉┉6 分 x 当 x ? [1, 2) 时, g '( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, g '( x) ? 0

?g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在 (2,3] 上是单调递增函数.
故 g ( x)min ? g (2) ? 2 ? 2ln 2 ┉┉┉┉┉┉┉┉8 分 又 g(1)=1,g(3)=3-2ln3 ∵g(1)>g(3) ,∴只需 g(2)<a≤g(3) , 故 a 的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3) ┉┉┉┉┉┉┉┉9 分 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 解: (I)证明:∵ ?ABD ? ?CBD , ?ABD ? ?ECD ∴ ?CBD ? ?ECD ,又 ?CDB ? ?EDC , ∴△ BCD ~△ CED ,∴ ∴CD 2 =DE·DB;
DE DC , ? DC DB

??????(5 分)

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)圆 C1 和 C2 的的普通方程分别是 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 和 x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1 , 所以圆 C1 和 C2 的的极坐标方程分别是 ? ? 4 cos? 和 ? ? 2 sin ? . (Ⅱ)依题意得,点 P, Q 的极坐标分别为 P(4cos ? , ? ) 和 Q(2sin ? , ? ) 所以 | OP |?| 4 cos? | , | OQ |?| 2 sin ? | .从而 | OP | ? | OQ |?| 4sin 2? |? 4 . 当且仅当 sin 2? ? ?1时,上式取“=”即, | OP | ? | OQ | 的最大值是 4 . 24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲
? 3 ? 解: (1) f ( x ) ? ? ? 2 x ? 1 ? ?3 ? ( x ? ?1) ( ?1 ? x ? 2) ,------------------3 分 ( x ? 2)

……5 分

……10 分

又当 ? 1 ? x ? 2 时, ? 3 ? ?2 x ? 1 ? 3 ,

∴ ? 3 ? f ( x ) ? 3 -----------------------------------------------5 分 (2)当 x ? ?1 时, x 2 ? 2 x ? 3 ? ?1 ? x ? 2 ? x ? 1 ; 当 ? 1 ? x ? 2 时, x 2 ? 2 x ? ?2 x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ; 当 x ? 2 时, x 2 ? 2 x ? ?3 ? x ? ? ;-------------------------8 分 综合上述,不等式的解集为: ?? 1,1? .-------------------------10 分


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