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重庆市杨家坪中学2014-2015学年高一下学期期末数学模拟试卷 Word版含解析


重庆市杨家坪中学 2014-2015 学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,把答案填写在答题卡相应的位 置上. 1. (5 分)已知 a>b,ab≠0,则下列不等式中:①a >b ;② >2ab,恒成立的不等式的个数是() A.1 个 B. 2 个
2 2

;③a >b ;④a

+b

3

3

2

2

C. 3 个

D.4 个

2. (5 分)一只小狗在如图所示的方砖上走来走去,求最终停在阴影方砖上的概率为()

A.

B.

C.

D.

3. (5 分)在△ ABC 中,若 A.锐角三角形 B.直角三角形

,则△ ABC 的形状为() C.等腰三角形 D.钝角三角形

4. (5 分)某人最近 7 天收到的聊天信息数分别是 5,10,6,8,9,7,11,则该组数据的 方差为() A. B. 4 C. D.3

5. (5 分)某射手射中 10 环、9 环、8 环的概率分别为 0.24,0.28,0.19,那么,在一次射 击训练中,该射手射击一次不够 9 环的概率为() A.0.48 B.0.52 C.0.71 D.0.29 6. (5 分)对某班 60 名学生参加毕业考试成绩(成绩均为整数)整理后,画出频率分布直 方图,如图所示,则该班学生及格(60 分为及格)人数为()

A.45

B.51

C.54

D.57

7. (5 分)设 a>0,b>0,若 A.1 B.13+

是 9 与 3 的等比中项,则 C. 2

3a

b

的最小值为() D.

8. (5 分)如果执行如图的程序框图,输出的结果为()

A.43

B.69

C.72

D.54

9. (5 分)数列{an}满足 an+1=

,若 a1= ,则 a2014=()

A.

B.
2 2 2

C.

D.

10. (5 分)在△ ABC 中,sin A≤sin B+sin C﹣sinBsinC,则 A 的取值范围是() A. (0, ] B. D.

专题: 概率与统计. 分析: 由题意,本题符合几何概型,只要求出阴影部分与矩形的面积比即可. 解答: 解:由题意,假设每个小方砖的面积为 1,则所有方砖的面积为 15,而阴影部分的 面积为 5, 由几何概型公式得到最终停在阴影方砖上的概率为: ;

故选:C. 点评: 本题考查了几何概型公式的运用;关键是明确事件的集合测度是面积. 3. (5 分)在△ ABC 中,若 A.锐角三角形 B.直角三角形 ,则△ ABC 的形状为() C.等腰三角形 D.钝角三角形

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用两角和公式对原等式整理求得 cosA 的值,判断出三角形的形状. 解答: 解:整理原等式得 sinCcosA=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, ∴sinCcosA=0,

∵sinC≠0, ∴cosA=0,A= ,

∴三角形为直角三角形, 故选 B. 点评: 本题主要考查了两角和公式的运用.属于基础题. 4. (5 分)某人最近 7 天收到的聊天信息数分别是 5,10,6,8,9,7,11,则该组数据的 方差为() A. B. 4 C. D.3

考点: 极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: 先计算数据的平均数,然后利用方差公式直接计算即可. 解答: 解: = (5+10+6+8+9+7+11)=8, ∴该组数据的方差 s = =4. 故选:B. 点评: 本题主要考查了方差公式,解题的关键是正确 运用方差公式,同时考查了计算能 力,属于基础题. 5. (5 分)某射手射中 10 环、9 环、8 环的概率分别为 0.24,0.28,0.19,那么,在一次射 击训练中,该射手射击一次不够 9 环的概率为() A.0.48 B.0.52 C.0.71 D.0.29 考点: 互斥事件的概率加法公式. 专题: 概率与统计. 分析: 利用对立事件的概率的性质计算即可. 解答: 解:∵某射手一次射击中,击中 10 环、9 环、8 环的概率分别是 0.24,0.28,0.19, ∴这射手在一次射击中不够 9 环的概率 p=1﹣0.24﹣0.28=0.48. 故选:A 点评: 本题考查概率的性质的应用,是基础题.解题时要认真审题,注意对立事件的概率 的性质的应用. 6. (5 分)对某班 60 名学生参加毕业考试成绩(成绩均为整数)整理后,画出频率分布直 方图,如图所示,则该班学生及格(60 分为及格)人数为()
2

A.45

B.51

C.54

D.57

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 先求出成绩在 49.5~59.5 的概率,再求出该班学生及格(60 分为及格)的概率, 从而求出该班学生及格(60 分为及格)人数. 解答: 解:由图象得:成绩在 49.5~59.5 的概率为:0.1, ∴该班学生及格(60 分为及格)的概率为:0.9, 故该班学生及格(60 分为及格)人数为:6 0×0.9=54, 故选:C. 点评: 本题考察了频率分布直方图,考察概率问题,本题是一道基础题.
3a b

7. (5 分)设 a>0,b>0,若 A.1 B.13+

是 9 与 3 的等比中项,则 C. 2

的最小值为() D.

考点: 等比数列的通项公式;基本不等式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 是 9 与 3 的等比中项,可得 9 ?3 =
3a b 3a b 3a b

,化为 6a+b=1.再利用“乘 1

法”与基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵ ∴9 ?3 = ∴6a+b=1. ∵a>0,b>0, ∴ b= =(6a+b) a= =13+ + ≥13+2× =13+4 ,当且仅当
3a b

是 9 与 3 的等比中项, ,

时取等号.

故选:B. 点评: 本题考查了等比数 列的性质、 “乘 1 法”与基本不等式的性质, 考查了推理能力与计 算能力,属于中档题. 8. (5 分)如果执行如图的程序框图,输出的结果为()

A.43

B.69

C.72

D.54

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 主要是判断条件框和赋值框,计算出 i 和 S,当条件不满足时,输出 S 即可. 解答: 解: ①1<8, 是, 则 i=1+2=3, S=0+3×3=9, ②3<8, 是, 则 i=3+2=5, S=9+3×5=24, ③5<8,是,则 i=5+2=7,S=24+3×7=45,④7<8,是,则 i=7+2=9,S=45+3×9=72, ⑤9<8,否,输出 S=72. 故选:C. 点评: 本题考查了算法与程序框图的结合,属于中档题.

9. (5 分)数列{an}满足 an+1=

,若 a1= ,则 a2014=()

A.

B.

C.

D.

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 探究数列的周期性即可得出. 解答: 解:∵a1= ∴a3=2a2= ,a4=2a3= , ∴a5=2a4﹣1= . ∴an+4=an, ∴a2014=a4×503+2=a2= . 故选:A. 点评: 本题考查了数列的周期性,考查了计算能力与推理能力,属于基础题. 10. (5 分)在△ ABC 中,sin A≤sin B+sin C﹣sinBsinC,则 A 的取值范围是() A. (0, ] B. D.
2 2 2

,∴a2=2a1﹣1= ,

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: 先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边,进而代入到余弦定理公式中求得 cosA 的范围,进而求得 A 的范围. 解答: 解:由正弦定理可知 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 2 2 2 ∵sin A≤sin B+sin C﹣sinBsinC, 2 2 2 ∴a ≤b +c ﹣bc, 2 2 2 ∴bc≤b +c ﹣a

∴cosA= ∴A≤ ∵A>0



∴A 的取值范围是(0,

]

故选 C 点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用. 作为解三角形中常用的两个定理, 考 生应能熟练记忆. 一.填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡相应的位置上. 11. (5 分)某算法的程序框图如图所示,若输入量 S=1,a=5,则输出 S=20. (考点:程序 框图)

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: ①由于 5≥4, 算出 S=5, a=4, ②由于 4≥4, 算出 S=20, a=3, 由于 3<4, 输出 S=20. 解答: 解:①5≥4,是,S=1×5=5,a=5﹣1=4,②4≥4,是,S=5×4=20,a=4﹣1=3, 3≥4,否,输出 S=20 故答案为:20. 点评: 本题考查了根据程序框图进行计算的能力,属于中档题. 12. (5 分)甲、乙两人在 9 天每天加工零件的个数用茎叶图表示如图,则这 9 天甲、乙加 工零件个数的中位数之和为 91. (考点:茎叶图与中位数综合)

考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: 把甲、乙的数据分别从小到大排列,分别找到第五个数,然后相加即可.

解答: 解:把甲、乙的数据分别从小到大排列, 甲:28,31,39,42,45,55,57,58,66,甲的中位数为 45, 乙:29,34,35,42,46,48,53,55,67,乙的中位数为 46,故这 9 天甲、乙加工零件 个数的中位数之和为 91. 故答案为:91. 点评: 本题考查了中位数的定义及茎叶图,属于基础题. 13. (5 分)已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,且 a6+a7=18,则 S12=108. (考点:数列的 性质) 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知结合等差数列的性质求得 a1+a12,然后代入等差数列的前 n 项和得答案. 解答: 解:在等差数列{an}中,由 a6+a7=18 ,得 a1+a12=a6+a7=18, ∴ .

故答案为:108. 点评: 本题考查等差数列的性质,考查了等差数列的前 n 项和,是基础题.

14. (5 分)已知 x、y 满足约束条件

,则 z=x+3y 的最小值为﹣5.

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合. 分析: 根据约束条件,作出平面区域,平移直线 x+3y=0,推出表达式取得最小值时的点 的坐标,求出最小值.

解答: 解:作出不等式组

,所表示的平面区域,

作出直线 x+3y=0,对该直线进行平移, 可以发现经过点 A(1,﹣2)时 Z 取得最小值﹣5; 故答案为:﹣5.

点评: 本题主要考查线性规划中的最值问题,属于中档题,考查学生的作图能力,计算能 力. 15. (5 分)如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练.已知点 A 到墙面的距离为 AB,某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此人为了准确瞄准目标点 P, 需计算由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的大小.若 AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则 tanθ 的 最大值是 . (仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)

考点: 在实际问题中建立三角函数模型;解三角形. 专题: 解三角形. 分析: 过 P 作 PP′⊥BC,交 BC 于 P′,连接 AP′,则 tanθ= 数的性质,分类讨论,即可得出结论. 解答: 解:∵AB=15m,AC=25m,∠ABC=90°, ∴BC=20m, 过 P 作 PP′⊥BC,交 BC 于 P′,连接 AP′,则 tanθ= 设 BP′=x,则 CP′=20﹣x, 由∠BCM=30°,得 PP′=CP′tan30°= 在直角△ ABP′中,AP′= , , , ,求出 PP′,AP′,利用函

∴tanθ=

?



令 y=

,则函数在 x∈单调递减,

∴x=0 时,取得最大值为

=

. ,

若 P′在 CB 的延长线上,PP′=CP′tan30°= 在直角△ ABP′中,AP′= ∴tanθ= , ,

?

令 y=

,则 y′=0 可得 x=

时,函数取得最大值



故答案为:



点评: 本题考查利用数学知识解决实际问题, 考查函数的单调性, 考查学生分析解决问题 的能力,属于中档题. 二.解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分,把答案填写在答题卡相应的位置上. 16. (10 分)甲、乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2,红桃 3,红桃 4,方片 4)玩游戏, 他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上, 甲先抽,乙后抽, 抽出的牌不放回,各抽一张. (Ⅰ)设(i,j) ,表示甲乙抽到的牌的数字,如甲抽到红桃 2,乙抽到红桃 3,记为(2,3) , 请写出甲乙二人抽到的牌的所有情况; (Ⅱ)若甲抽到红桃 3,则乙抽出的牌面数字比 3 大的概率是多少?(考点:概率应用) 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)方片 4 用 4′表示,一一列举出甲乙二人抽到的牌的所有情况即可; (Ⅱ)甲抽到 3,乙抽到的牌只能是 2,4,4′,问题得以解决. 解答: 解: (Ⅰ)方片 4 用 4′表示,则甲乙二人抽到的牌的所有情况为: (2,3) , (2,4) , (2,4′) , (3,2) , (3,4) , (3,4′) , (4,2) , (4,3) , (4,4′) ,

(4′,2) , (4′,3) , (4′,4)共 12 种不同的情况. (II)甲抽到 3,乙抽到的牌只能是 2,4,4′,因此乙抽到的牌的数字大于 3 的概率为 . 点评: 本题考查了古典概型的概率问题,关键是列举,属于基础题. 17. (12 分)在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=1,b1=2,bn>0(n∈N ) ,且 b1,a2, b2 成等差数列,a2,b2,a3+2 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 ,求数列{cn}的前 n 和 Sn.
*

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)由题意,得 与等比数列的通项可求 (Ⅱ)由 ,利用分组求和,结合等比数列的求和 ,解方程可求 q,d,代入等差

解答: 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q(q>0) . 由题意,得 ,解得 d=q=3. …(3 分) …(7 分) .
1 2 n

∴an=3n﹣2, (Ⅱ)



…(10 分)

∴Sn=c1+c2+…+cn=2(3 +3 +…+3 )﹣2n = =3 ﹣2n﹣3. …(14 分) 点评: 本题主要考查了利用基本量表示等差数列、 等比数列的通项、 及等比数列与等差数 列的求和公式的应用. 18. (12 分)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小 李某月 1 号到 5 号每天打时间 x(单位:小时)与当于投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 1 2 3 4 5 命中率 y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 (Ⅰ)根据上表的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y= x+a; (Ⅱ)预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率为多少?(考点:线性回归应用)
n+1

考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据题目代入公式,先求出线性回归方程, (Ⅱ)令 x=6,即可预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率 解答: 解: (Ⅰ)由题意, (1+2+3+4+5)=3, = (0.4+0.5+0.6+0.6+0.4)=0.5

∴ =

=0.01, =0.47

∴线性回归方程为 =0.01x+0.47, (Ⅱ)∴当 x=6 时,y=0.53 ∴预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率为 0.53 点评: 本题考查线性回归方程,考查学生的计算能力,属于基础题. 19. (12 分)学校食堂定期向精英米业以每吨 1500 元的价格购买大米,每次购买大米需支 付运输费用 100 元,已知食堂每天需食用大米 1 吨,储存大米的费用为每吨每天 2 元,假设 食堂每次均在用完大米的当天购买. (Ⅰ)问食堂每隔多少天购买一次大米,能使平均每天所支付的费用最少? (Ⅱ)若购买量大,精英米业推出价格优惠措施,一次购买量不少于 20 吨时可享受九五折 优惠,问食堂能否接受此优惠措施?请说明理由. 考点: 根据实际问题选择函数类型;基本不等式. 专题: 应用题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (I)先求库存费用,再求出每天所支出的总费用,利用基本不等式,即可求得平 均每天所支付的最小费用; (Ⅱ)设每隔 n(n≥20)天购买一次,求出每天支付费用,利用函数的单调性,求出函数的 最小值,与(I)比较,即可得到结论. 解答: 解: (I)设每隔 t 天购进大米一次,因为每天需大米一吨,所以一次购大米 t 吨, 那么库存费用为 2=t(t+1) , (2 分) 设每天所支出的总费用为 y1,则 . 当且仅当 t= ,即 t=10 时等号成立.

所以每隔 10 天购买大米 一次使平均每天支付的费用最少. (7 分) (II)若接受优惠条件,则至少每隔 20 天购买一次, 设每隔 n(n≥20)天购买一次,每天支付费用为 y2, 则 y2= ∵ ∴当 n=20 时,y2 有最小值: +1426 在[20,+∞)上为增函数, .

故食堂可接受 (13 分) 点评: 本题考查函数模型的构建,考查基本不等式的运用,考查函数的单调性,解题的关 键是确定函数解析式,属于中档题. 20. (14 分) 在△ ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 所对的边分别是 a、 b、 c, 不等式 x cosC+4xsinC+6≥0 对一切实数 x 恒成立. (1)求 cosC 的取值范围; (2)当∠C 取最大值,且△ ABC 的周长为 6 时,求△ ABC 面积的最大值,并指出面积取最 大值时△ ABC 的形状. 考点: 三角形的形状判断;三角函数的最值. 专题: 解三角形. 分析: (1)当 cosC=0 时,不恒成立,当 cosC≠0 时,应有 解不等式结合三角形内角的范围可得; (2)可得∠C 的最大值为 ,代入数据由基本不等式可得. ,
2

解答: 解: (1)当 cosC=0 时,sinC=1, 原不等式即为 4x+6≥0,显然对一切实数 x 不恒成立, 当 cosC≠0 时,应有

化简可得



解得

,或 cosC≤﹣2(舍去) , ;

∵C 是△ ABC 的内角,∴ (2)∵0<C<π, ∴∠C 的最大值为 ∴ ,此时 ≥

, ,

∴ab≤4(当且仅当 a=b 时取“=”) , ∴S△ ABC= ab ≤ (当且仅当 a=b 时取“=”) ,

∴△ABC 面积的最大值为 ,△ ABC 为等边三角形. 点评: 本题考查三角形形状的判断,涉及三角函数的最值和基本不等式,属中档题. 21. (15 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 an+1=2Sn+2(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式;
*

(2)在 an 与 an+1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成一个公差为 d 的等差数列. (Ⅰ)在数列{dn}中是否存在三项 dm,dk,dp(其中 m,k,p 是等差数列)成等比数列? 若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由; (Ⅱ)求证: (n∈N ) .
*

考点: 数列与不等式的综合;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用 an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)和等比数列的定义即可得出; (2)利用等差数列的通项公式即可得出; (I)假设在数列{dn}中存在三项 dm,dk,dp(其中 m,k,p 是等差数列)成等比数列,利 用等比数列和等差数列的定义及其反证法即可得出; (II)利用(2)的结论、“错位相减法”和等比数列的前 n 项和公式即可得出. * 解答: 解: (1)由 an+1=2Sn+2(n∈N ) . 可得:an=2Sn﹣1+2(n≥2) , 两式相减:an+1=3an(n≥2) . 又 a2=2a1+2, ∵数列{an}是等 比数列,∴a2=3a1,解得 a1=2. ∴ .
n﹣1

(2)由(1)可知 an=2?3





∵an+1=an+(n+2﹣1)d, ∴ . .

(I)由(2)可知:dn=

假设在数列{dn}中存在三项 dm,dk,dp(其中 m,k,p 是等差数列)成等比数列, 则 即: , ,



(*)

∵m,k,p 成等差数列,∴m+p=2k, 2 2 ∴(k+1) =(m+1) (p+1) ,展开为 k +2k+1=mp+(m+p)+1, 2 ∴k =mp,故 k=m=p,这与题设矛盾. ∴在数列{dn}中不存在三项 dm,dk,dp(其中 m,k,p 是等差数列)成等比数列. (II)令 Tn= = + …+ +…+ ,

= 两式相减: =

+…+

, +…+

=



=



∴Tn=



点评: 本题考查了数列递推式及利用 an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)求熟练的通项公式、等比数列与 等差数列的定义及其通项公式及其前 n 项和公式、“错位相减法”、反证法即等基础知识与基 本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.


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