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函数概念、三要素


映射
以前遇到过的有关“对应”的例子 1? 看电影时,电影票与座位之间存在者一一对应的关系。 2? 对任意实数 a,数轴上都有唯一的一点 A 与此相对应。 3? 坐标平面内任意一点 A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应。 4? 任意一个三角形,都有唯一的确定的面积与此相对应。 一种特殊的对应:映射

A
9 4 1

开平方

B
3 ?3 2 ?2 1 ?1

A

求正弦

B
1 2 2 2 3 2 1

A
1 ?1 2 ?2 3 ?3

求平方

B
1 4 9

A
1 2 3

乘以 2

B
1 2 3 4 5 6

30? 45? 60? 90?

(1)

(2)

(3)

(4)

1.先讲清对应法则:然后,根据法则,对于集合 A 中的每一个元素,在集 合 B 中都有一个(或几个)元素与此相对应。 2.对应的形式:一对多(如①) 、多对一(如③) 、一对一(如②、④) 3.映射的概念(定义) :强调:两个“一”即“任一” 、 “唯一” 。 4.注意映射是有方向性的。 5.符号:f : A B 集合 A 到集合 B 的映射。

6.讲解:象与原象定义。 再举例:1?A={1,2,3,4} 2?A=N+ 3?A=Z B={3,4,5,6,7,8,9} 法则:乘 2 加 1 是映射 是映射

B={0,1} 法则:B 中的元素 x 除以 2 得的余数 B=N* 法则:求绝对值 B={0,1,4,9,64}

不是映射(A 中没有象) b=(a?1)2 是映

4?A={0,1,2,4} 射 三、一一映射

法则:f :a

1?对于集合 A 中的不同元素,在集合 B 中有不同的象

(单射)

2?集合 B 中的每一个元素都是集合 A 中的每一个元素的象

(满射)

即集合 B 中的每一个元素都有原象。从而得出一一映射的定义。 例一:A={a,b,c,d} 它是一一映射 B={m,n,p,q}

A
a b c d

f

B

m n p q

函数
一、定义: 1、函数实际上就是集合 A 到集合 B 的一个映射 f:A 空。 2、A:定义域,原象的集合 B:值域,象的集合(C)其中 C ? B f:对应法则 x?A y?B B 这里 A, B 非

3?函数符号:y=f(x) —— y 是 x 的函数,简记 f(x), X 和 y 可以用别的字母代替。 3、关于函数值 f(a) 例:f(x)=x2+3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11

注意:1?在 y=f(x)中 f 表示对应法则,不同的函数其含义不一样。 2?f(x)不一定是解析式,有时可能是“列表” “图象” 。 3?f(x)与 f(a)是不同的,前者为函数,后者为函数值。 二、函数三要素
1、定义域:函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。

复合函数的定义域求法: (1)已知 f(x)的定义域为(a,b) ,求 f(g(x))的定义域; 求法: 由 a<x<b, 知 a<g(x)<b, 解得的 x 的取值范围即是 f(g(x))的定义域。 (2)已知 f(g(x))的定义域为(a,b) ,求 f(x)的定义域; 求法:由 a<x<b,得 g(x)的取值范围即是 f(x)的定义域。 )已知函数 f(2x-1)的定义域为[0,1],求 f(1-3x)的定义域。 函数相同的判别方法: 函数是否相同,看定义域和对应法则。

2、对应法则,常用的函数表示法有三种:解析法、列表法、图象法。 (1)解析法: 定义:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的

解析表达式。 它的优点是:关系清楚,容易求函数值、研究性质。 分段函数的定义: 在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值范围,有着不同的对应法则, 这样的函数通常叫做分段函数,如以下的例 3 的函数就是分段函数。 说明: (1) .分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数问题时,首先要确 定自变量的数值属于哪个区间段,从而选取相应的对应法则;画分段函数 图象时,应根据不同定义域上的不同解析式分别作出; (2) . 分段函数只是一个函数, 只不过 x 的取值范围不同时, 对应法则不相同。 又例: y ? x ? 1 ? x ? 3 我们可用“零点法”把绝对值符号打开,即:
? ?4 ? y ? x ? 1 ? x ? 3 = ?2 x ? 2 ? 4 ?

x ? ?1 ?1 ? x ? 3 x?3

这一种函数我们把它称为分段函数。 利用换元法、定义法、待定系数法等方法求函数解析式。 1.若 f ( x ? 1 ? x ? 2 x ) ,求 f(x)。 例二、已知 f(x)=ax+b,且 af(x)+b=ax+8 求 f(x)
1 已知函数 f(x)满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? x ,求函数 f(x)的解析式。 x

(2)列表法: 定义:列出表格来表示两个变量的函数关系。 它的优点是:不必通过计算就能知道函数对应值。 例:初中接触过的平方表,平方根表,立方表,立方根表,三角函数表, 汽车、火车站的里程价目表等等。 (3)图象法 定义:用函数图象表示两个变量之间的关系。 例:平时作的函数图象:二次函数、一次函数、反比例函数图象。 它的优点是:直观形象地表示出函数变化情况。 注意:函数的图象可以是直线(如:一次函数) 、曲线(如:抛物线) ,也可 以是折线及一些孤立的点集(或点) 。 (讲授图像的变化,平移、缩减、翻折、对称)

3、值域 1.直接法(观察法) : 例一、求下列函数的值域:1? y ? 2.二次函数法: 例二、1?若 x 为实数,求 y=x2+2x+3 的值域
x x ?1

2? f ( x) ? 5 ? 1 ? x

2?求函数 y ? 2 ? 4 x ? x 2 的值域 3.判别式法(△法) 例三、求函数 y ?
x 2 ? 5x ? 6 的值域 x2 ? x ? 6

4.换元法 例四、求函数 y ? 2 x ? 4 1 ? x 的值域


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