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北京市朝阳区2015-2016学年高二上学期期末考试数学文试题


北京市朝阳区 2015-2016 学年度第一学期期末高二年级统一考试

数学文科试卷

2016.1

(考试时间 100 分钟 满分 120 分) 一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项) (1)设 a, b ? R ,则“ a ? b ?

0 ”是“ A.充分不必要条件 C.充分必要条件

1 1 ? ”的 ( a b



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(2)下列选项中,满足焦点在 y 轴上且离心率为 3 的双曲线的标准方程为( ) A.

x2 ? y2 ? 1 2
2

B.

y2 ?

x2 ?1 2

C. x ?

y ?1 2

2

D.

y2 ? x2 ? 1 2


(3)若函数 f ( x) ? x3 ? ax 在 x ? 2 处取得极小值,则 a ? ( A. 6 B. 12 C.

2

D. ? 2 )

(4)圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心到直线 x ? y ? 0 的距离为( A.

2 2

B.1

C.

2

D.

3 2 2

2 2 (5) 已知圆 O1 : x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 41 ? 0 ,圆 O2 : (x +1 ) + (y ? 2) ? 4 ,则两圆的位置关系为

(

) B. 外切 C. 相交 D. 内切

A.外离

(6)已知顶点为原点,对称轴为坐标轴的抛物线的焦点在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上,则此抛物 线的标准方程是( A. y 2 ? 8x ). C. y 2 ? 8x 或 x 2 ? ?4 y D. y 2 ? 8x 或 x 2 ? 4 y B. x 2 ? 4 y

C: (7)设 F 1 、 F2 是椭圆

4 x2 y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? ? a 上一点, △ 2 3 a b


2

F1PF2 是底角为 30? 的等腰三角形,则此椭圆 C 的离心率为(
A.

2 3

B.

1 2

C.

3 4

D.

8 9
1

(8)某几何体的三视图如图所示,则其体积为( ) A.

4 π 3

B.

8 π 3

C.

16 π 3

D.

32 π 3

4

2 正视图 6

2 2 6 侧视图 6

俯视图

(9) 若 f ( x) ? x ? e ln x , 0 ? a ? e ? b ,则下列说法一定正确的是(

)

A. f(a)<f(b)

B.

f(a)> f(b)

C. f(a)>f(e)

D. f(e) >f(b)

M 为线段 BC1 上的动点( M 不与 B, C1 (10)如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, N 为 CD 1 中点,
重合),以下四个命题: (1) CD1 ? 平面 BMN ; (2) MN // 平面 AB1D1 ; (3)△ D1MN 的面积与△ CMN 的面积相等; (4)三棱锥 D ? MNC 的体积有最大值 其中真命题的个数为( ) A 1 B 2 C 3 D 4

D1 B1

C1

A1 N

M

D A
2

C B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,请把正确答案填在答题卡上) (11)命题“ ?x ? R , x2 ? 2 x ? 2 ? 0 ”的否定是_______________.

(2, 0) (12)从点 引圆 x 2 ? y 2 ? 1的切线,则切线长为
(13)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第 x h
? 时,原油的温度(单位 C )为 y ? f ( x) ? x 2 ? 7 x ? 15 ( 0 ? x ? 8 ),则第 4 h 时原油温度的瞬

? 时变化率是_______________ C / h ;在第 4 h 时附近,原油的温度在_______________.(此空填上升

或下降) (14)一个三棱锥的三视图如图所示,则其体积是_ _;此三棱锥的最长棱的长度为 _ .

2

2 正视图

1

1

侧视图

俯视图 (15)已知 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同平面,则以下命题不成立 的是_______ ... (1)若 ? //? , m ? ? , n ? ? ,则 m //n (2)若 m / / ? , ? ? ? ,则 m ? ? (3)若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? (4) 若 m //? , n //? , m / / n ,则 ? //?

(16)已知圆 C :x

2

? y 2 ? 4 x ? 0 与直线 y ? x+b 相交于 M , N 两点,且满足 CM ? CN ( C 为圆心),

则实数 b 的值为_______.

3

三、 解答题(本大题共 3 小题, 共 40 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.请写在答题卡上) 17. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ)求这个函数的图象在点 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)讨论函数 f ( x) 在区间 (0, t ] ( t ? 0 )上的单调性.

18. (本题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, AP ? 平面 PBC , AB // DC , AP ? AD ? DC ?

1 AB ? 1 , 2

?ADC ? 120? , E , F 分别为线段 AB , PC 的中点.
(Ⅰ)求证: AP// 平面 EFD ; (Ⅱ)求证:平面 EFD ? 平面 APC ; (III)求锥体 P ? ADC 的体积.
F B E A P

C

D

19. (本题满分 14 分)
, 0).过原点 O 椭圆 W 的中心在坐标原点 O , 以坐标轴为对称轴, 且过点(0, 3), 其右焦点为 F(1
作直线 l1 交椭圆 W 于 A, B 两点,过 F 作直线 l2 交椭圆 W 于 C , D 两点,且 AB // CD . (Ⅰ)求椭圆 W 的标准方程; (Ⅱ)求证: AB ? 4 CD .
2

??? ?

??? ?

北京市朝阳区 2015-2016 学年度第一学期期末高二年级统一考试

数学文科答案
4

2016.1

一、选择题(满分 50 分)
题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 D 5 D 6 C 7 A 8 B 9 C 10 B

二、填空题(满分 30 分)
题号 答案 11 12 13 14 15 ①②④ 16

?x0 ? R, x02 ? 2x0 ? 2 ? 0

3

1 ;上升

4 ;3 3

0 或 ?4

三、解答题(满分 40 分) 17. (本题满分 12 分) (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,

f '( x) ? 1 ? ln x .
这个函数的图象在 x ? 1 处的切线的斜率为 k ? f ?(1) ? 1 . 把 x ? 1 代入 f ( x) ? x ln x 中得 f (1) ? 0 ,即切点坐标为 ?1,0 ? . 则这个函数的图象在 x ? 1 处的切线方程为 y ? x ? 1 . ????????5 分 (Ⅱ)令 f '( x) ? 1 ? ln x=0 ,得 x ? (1) 当 0 ? t ?

1 . e

1 时,在区间 (0, t ] 上, f ?( x) ? 0 成立,所以函数 f ( x ) 为减函数. e 1 ? 1? (2)当 t ? 时,在区间 ? 0, ? 上, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 为减函数; e ? e? ?1 ? 在区间 ? , t ? 上, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 为增函数. ?e ?
????????12 分 18.(本题满分 14 分) 解:(Ⅰ)设 AC ? DE ? O ,连接 OF , EC , 由于 E 为线段 AB 的中点, AD ? DC ? 所以 AE // DC , AE ? DC . 所以四边形 ADCE 为菱形,故 O 为 AC 中点, 又 F 为 PC 中点, 因此,在△ APC 中, AP // OF 又 OF ? 平面 EFD , AP ? 平面 EFD , 所以 AP// 平面 EFD ????????5 分

1 AB 且 AB // DC , 2

5

(Ⅱ)由题意, BE // CD , BE ? CD ,所以四边形 BCDE 为平行四边形 所以 BC // ED . 而 AP ? 平面 PBC ,所以 AP ? BC ,故 AP ? ED . 因为四边形 ADCE 为菱形,所以 AC ? ED , 又 AP ? AC ? A , AP , AC ? 平面 PAC , 所以 ED ? 平面 PAC ,又 ED ? 平面 EFD , 所以平面 EFD ? 平面 APC . ????????10 分
?

(III)在△ ADC 中, AD ? CD ? 1 , ?ADC ? 120 ,所以 AC ? 3 . 因为 AP ? 平面 PBC ,所以 AP ? PC ,又 AP ? 1 ,所以 PC ? 所以 S? APC ?

AC 2 ? AP2 ? 2 .

1 1 2 . ? AP ? PC ? ?1? 2 ? 2 2 2
1 . 2

又 ED ? 平面 PAC ,所以 D 点到平面 APC 的距离为 DO ?

VP ? ADC ? VD ? APC 1 ? ? DO ? S? APC 3 1 1 2 2 ? ? ? ? . 3 2 2 12
????????14 分 19. (本题满分 14 分) (Ⅰ)因为已知焦点在 x 轴上,设椭圆 W 的标准方程为: 由题意: b ? 3,c ? 1 ,则 a ? 4 .
2

x2 y 2 ? ? 1, a ? b ? 0 . a 2 b2

所求椭圆 W 的标准方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

????????4 分

(Ⅱ)当直线 l1 垂直于 x 轴时,则直线 l2 也垂直于 x 轴,把 x ? 1 代入椭圆 W 的方程,得

y??

3 2 ,即此时 CD =3 ,而 AB ? 2 3 ,所以 AB ? 4 CD . 2

当直线 l1 不垂直于 x 轴时,设直线 l1 的斜率为 k , 则依题意 l2 的斜率也为 k ,其方程为
6

.设点 A y ?( k x ?1 ) (? x0 , ? y0 ) , C (x1 , y1 ) , D (x2 , y2 ) . (x0 , y0 ) , B 则 AB ? 4 x0 ? y0 .
2 2
2 2 2 2 把 y ?( 代入椭圆方程中,整理得, 4k ? 3 x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 . k x ?1 )

2

?

?

?

?

显然 ? ? 0 , x1 ? x2 ?
2

8k 2 4k 2 ? 12 x x ? , . 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
2 2

(y1 ? y2 ) = 1+k 则 CD = (x1 ? x2 ) ?
即 CD =
2

x1 ? x2 = 1+k 2 (x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 .

1+k 2

144( k 2 ? 1) 12(k 2 ? 1) = . (4k 2 ? 3) 2 4k 2 ? 3
2

由 AB ? 4 x0 ? y0 ,且 A (x0 , y0 ) 在椭圆上,
2

?

?

? 2 x0 2 ? x0 2 得 AB ? 4 ? x0 ? 3(1 ? . ) ? =4( +3) 4 ? 4 ?
2
2 2 2 则 AB (4k ? 3) = 4k 2 x0 ? 3x0 ? 48k 2 ? 36 . 2 2 2 因为直线 l1 过原点,所以 y0 ? kx0 ,则 AB (4k ? 3) = 4 y0 ? 3x0 ? 48k 2 ? 36 .
2 2

2 2 =48 (k 2 ?1) 因为 A . (x0 , y0 ) 在椭圆上,所以 3x0 ? 4 y0 ? 12 ,所以 AB (4k 2 ? 3)
2 所以 AB (4k ? 3) = 4 ?12 (k 2 ? 1) ,即 AB ? 4 CD . ??????14 分
2 2

2

7


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