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【步步高】2015高考数学(广东专用,理)一轮题库:第9章 第1讲 直线方程和两直线的位置关系]


第九章
第1讲
一、选择题

解析几何

直线方程和两直线的位置关系

1 1.已知直线 l 的倾斜角 α 满足条件 sinα +cosα = ,则 l 的斜率为( 5 A. 4 3 B. 3 4 C.- 4 3 D.- 3 4

)

解析 答案

α 必为钝角,且 sinα 的绝对值大,故选 C. C 3π ,则 y=( 4 D.2 ).

2.经过两点 A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为 A.-1 解析 由 B.-3 2y+1- - 4-2 = C.0 2y+4 =y+2, 2

得:y+2=tan 答案 B

3π =-1.∴y=-3. 4

3.若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的 倾斜角的取值范围是 ?π π? A.?6,3? ? ? ?π π? C.?3,2? ? ? 解析 ?π π? B.?6,2? ? ? ?π π? D.?6,2? ? ? ( ).

如图, 直线 l: y=kx- 3, 过定点 P(0, - 3),

3 π 又 A(3,0),∴kPA= 3 ,则直线 PA 的倾斜角为6,满 ?π π? 足条件的直线 l 的倾斜角的范围是?6,2?. ? ? 答案 B ).

4.过点 A(2,3)且垂直于直线 2x+y-5=0 的直线方程为(

A.x-2y+4=0 C.x-2y+3=0 解析

B.2x+y-7=0 D.x-2y+5=0

由题意可设所求直线方程为:x-2y+m=0,将 A(2,3)代入上式得 2-

2×3+m=0,即 m=4,所以所求直线方程为 x-2y+4=0. 答案 A

5.设直线 l 的方程为 x+ycos θ +3=0(θ ∈R),则直线 l 的倾斜角 α 的范围 是( ). ?π π ? B.? , ? 2? ?4 ?π π ? ?π 3π ? D.? , ?∪? , ? 2? ?2 4 ? ?4 π ; 2

A.[0,π ) ?π 3π ? C. ? , ? 4 ? ?4 解析

(直接法或筛选法)当 cos θ =0 时, 方程变为 x+3=0, 其倾斜角为 1 . cos θ

当 cos θ ≠0 时,由直线方程可得斜率 k=- ∵cos θ ∈[-1,1]且 cos θ ≠0, ∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞). ∴tan α ∈(-∞,-1]∪[1,+∞),

?π π ? ?π 3π ? 又 α ∈[0,π ),∴α ∈? , ?∪? , ?. 4 ? ?4 2? ?2 ?π 3π ? 综上知,倾斜角的范围是? , ?. 4 ? ?4 答案 C

6.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合, 则 m+n= A.4 解析 B.6 34 C. 5 36 D. 5 ( ).

由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线 y=2x-

3+n 7+m ? = 2 × ? 2 2 -3, 3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是? n-3 1 =-2, ? ?m-7

3 ? ?m=5, 解得? 31 n = ? ? 5. 答案 C

34 故 m+n= 5 .

二、填空题 1 7.若 A(-2,3),B(3,-2),C( ,m)三点共线,则 m 的值为________. 2 解析 由 kAB=kBC,即 -2-3 m+2 1 = ,得 m= . 3+2 1 2 -3 2

答案

1 2

8.直线过点(2,-3),且在两个坐标轴上的截距互为相反数,则这样的直线方程 是________. 解析 x y 设直线方程为为 - =1 或 y=kx 的形式后,代入点的坐标求得 a=5 a a

3 和 k=- . 2 3 x y 答案 y=- x 或 - =1 2 5 5 9.已知直线 l1:ax+3y-1=0 与直线 l2:2x+(a-1)y+1=0 垂直,则实数 a= ________. 解析 答案 3 由两直线垂直的条件得 2a+3(a-1)=0,解得 a=5. 3 5

c+2 2 13 10.若两平行直线 3x-2y-1=0,6x+ay+c=0 之间的距离为 13 ,则 a 的值 为________. 解析 3 -2 -1 由题意得,6= a ≠ c ,∴a=-4 且 c≠-2,

c 则 6x+ay+c=0 可化为 3x-2y+2=0,

?c ? ? +1? 2 13 ?2 ? 由两平行线间的距离,得 13 = , 13 c+2 解得 c=2 或 c=-6,所以 a =± 1. 答案 ± 1

三、解答题 11.已知直线 l 过点 M(2,1),且分别与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A、B 两点,O 为 原点,是否存在使△ABO 面积最小的直线 l?若存在,求出;若不存在,请说 明理由. 解 存在.理由如下.

1 ? ? 设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2)(k<0),则 A?2- ,0?,B(0,1-2k), k ? ? 1? 1? 1 ? △ AOB 的面积 S= (1-2k)?2- ?= ?4+ k? 2? 2 ? -4k ? 1?? 1 +?- ??≥ (4+4)=4. ? k?? 2

1 1 当且仅当-4k=- ,即 k=- 时,等号成立, k 2 1 故直线 l 的方程为 y-1=- (x-2),即 x+2y-4=0. 2 12.已知直线 l 经过直线 2x+y-5=0 与 x-2y=0 的交点. (1)点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值. 解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+

λ)x+(1-2λ)y-5=0, ∴ |10+5λ-5| 1 2 2 =3.解得 λ=2 或 λ=2. ?2+λ? +?1-2λ?

∴l 的方程为 x=2 或 4x-3y-5=0. ?2x+y-5=0, (2)由? 解得交点 P(2,1), ?x-2y=0, 如图,过 P 作任一直线 l,设 d 为点 A 到 l 的距离, 则 d≤|PA|(当 l⊥PA 时等号成立).

∴dmax=|PA|= 10. 13.已知直线 l 过点 P(2,3),且被两条平行直线 l1:3x+4y-7=0,l2:3x+4y+8 =0 截得的线段长为 d. (1)求 d 的最小值; (2)当直线 l 与 x 轴平行,试求 d 的值. 解 (1)因为 3×2+4×3-7>0,3×2+4×3+8>0, 所以点 P 在两条平行直线 l1,

l2 外. 过 P 点作直线 l,使 l⊥l1,则 l⊥l2,设垂足分别为 G,H,则|GH|就是所求的 d 的最小值.由两平行线间的距离公式,得 d 的最小值为|GH|= |8-?-7?| =3. 32+42

(2)当直线 l 与 x 轴平行时,l 的方程为 y=3,设直线 l 与直线 l1,l2 分别交于点 A(x1,3),B(x2,3),则 3x1+12-7=0,3x2+12+8=0,所以 3(x1-x2)=15,即 x1 -x2=5,所以 d=|AB|=|x1-x2|=5. 14.已知直线 l1:x-y+3=0,直线 l:x-y-1=0.若直线 l1 关于直线 l 的对称直 线为 l2,求直线 l2 的方程. 解 法一 因为 l1∥l,所以 l2∥l,

设直线 l2:x-y+m=0(m≠3,m≠-1). 直线 l1,l2 关于直线 l 对称, 所以 l1 与 l,l2 与 l 间的距离相等. 由两平行直线间的距离公式得 解得 m=-5 或 m=3(舍去). 所以直线 l2 的方程为 x-y-5=0. 法二 由题意知 l1∥l2,设直线 l2:x-y+m=0(m≠3,m≠-1). |3-?-1?| |m-?-1?| = , 2 2

在直线 l1 上取点 M(0,3), 设点 M 关于直线 l 的对称点为 M′(a,b), b-3 ? ? a ×1=-1, 于是有? a+0 b+3 ? ? 2 - 2 -1=0, ?a=4, 解得? 即 M′(4,-1). ?b=-1,

把点 M′(4,-1)代入 l2 的方程,得 m=-5, 所以直线 l2 的方程为 x-y-5=0.


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