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7.27函数奇偶性学生版


百思特备课组
一、要点精讲 1、函数的奇偶性的定义: 对于函数

一位黑黑的数学教员

f ( x) 定 义 域 内 定 义 域 内 任 意 一 个 x , 若 有 _____________ f ( x) 为偶函数.

_____ , 则 函 数

f ( x) 为 奇 函 数 ; 若 有



___________________,那么函数 2、奇偶函数的性质: ⑴ 定义域关于原点对称;

⑵ 偶函数的图象关于

y 轴对称;

⑶ 奇函数的图象关于原点对称; ⑷ 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇. ⑸

f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (| x |) . f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 .

⑹ 若奇函数

3、判断函数奇偶性的途径: ⑴ 依据图象的对称性进行判断. ⑵ 依据常见函数奇偶性的结论进行判断. ⑶ 运用定义法判断函数奇偶性,首先考虑定义域是否关于原点对称,其次看 f(-x)是否等于-f(x)或 f(x). ⑷对抽象函数奇偶性的判断,要注意挖掘函数“原形”,采用“赋值”等策略. 4、周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么就称 函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.

二、基本训练 1.下面四个结论中,正确命题的个数是( )

①偶函数的图象一定与 y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于 y 轴对称 ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R) A.1 B.2 C.3 D.4

2.已知函数 f ? x ? 是奇函数,当 x ? 0 时, f ?x ? ? x?1 ? x ? ;当 x ? 0 时, f ? x ? 等于 (A) ? x?1 ? x? (B) x?1 ? x ? (C) ? x?1 ? x ? (D) x?1 ? x ? )

3. 已知 f(x)在 R 上是奇函数, 且满足 f(x+4)=f(x), 当 x∈(0,2)时, f(x)=2x2, 则 f(2011)=( A.-2 B.2 C.-98 D.98

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一位黑黑的数学教员

4. (2012 上海)已知 y ? f ( x) ? x 2 是奇函数, 且 f (1) ? 1 , 若 g ( x) ? f ( x) ? 2 , 则 g (?1) ? 。 三、典例解析 考点一:函数奇偶性的判断 1、判断下列函数的奇偶性

f ( x) ? x 2 ? x ? a ? 2 f ( x) ? (1 ? x)

1? x 1? x

? ?1,x∈Q, ex-1 2.设 Q 为有理数集,函数 f(x)=? g(x)= x ,则函数 h(x)=f(x)· g(x)( e +1 ?-1,x∈?RQ, ?

)

A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是偶函数也不是奇函数

4x ? 1 3..(2010 重庆)函数 f ? x ? ? 的图象 2x
A. 关于原点对称 B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称

4.若 f(x)=

a ? 2x ? a ? 2 为奇函数,求实数 a 的值. 2x ?1

5.定义在 R 上的奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,又 f(-3)=0,则不等式 xf(x)<0 的解集为 A.(-3,0)∪(0,3) C.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)

6.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(2)=0,则使得 f(x)<0 的 x 的取 值范围是( A.(-∞,2) ) B.(2,+∞) C.(-∞-2)∪(2,+∞) D.(-2,2)

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一位黑黑的数学教员

一丢丢课后练习
1. 已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 f(x+2)=f(x),若 f(x)在[-1,0]上是减函数,则 f(x)在[2,3]上是 A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数

解:由 f(x+2)=f(x)得出周期 T=2,∵f(x)在[-1,0]上为减函数, 又 f(x)为偶函数,∴f(x)在[0,1]上为增函数,从而 f(x)在[2,3]上为增函数. 1 8. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称,则 f(1)+f(2)+f(3) 2 +f(4)+f(5)=_____. 1 ?1 ? ?1 ? 解:∵f(x)的图象关于直线 x= 对称,∴ f ? +x ? ? f ? ? x ? ,对任意 x∈R 都成立, 2 ?2 ? ?2 ? ∴f(x)=f(1-x),又 f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-f(1+x)=f(-1-x)=f(2+x), ∴周期 T=2 ∴f(0)=f(2)=f(4)=0 1 又 f(1)与 f(0)关于 x= 对 2

称∴f(1)=0 ∴f(3)=f(5)=0 填 0.

9.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= x(0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式. 解:(1)证明:由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,得 f(x+1)=f(1-x),即有 f(-x) =f(x+2). 又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,故有 f(-x)=-f(x).故 f(x+2)=-f(x). 从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0.x∈[-1,0)时,-x∈(0,1], f(x)=-f(-x)=- -x,又 f(0)=0,故 x∈[-1,0]时, f(x)=- -x.x∈[-5,-4],x +4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=- -x-4.从而,x∈[-5,-4]时,函数 f(x)=- -x-4. 0、判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 16x+1+2x ; 2x

f(x)=

3-2x+ 2x-3


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