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第11讲 导数的综合题 精品讲义


导函数的综合题
主讲教师:周沛耕 全国著名数学特级教师

考查方向
? ? ? ? ? 函数的极值点,单调区间与导函数的关系 分离参数,通过最值求参数取值范围的一般方法 数形结合的思想方法 分情况讨论的思想方法 导函数值的符号与不等式

金题精讲
题一:曲线 y =

x 与曲线 y =alnx 相切的定义如下:

1.两条曲线有公共点; 2.在公共点处有公切线,称这样的公共点为切点. (1)求曲线 y = (2)设 h(x)= f (x) ?g (x), 其中 f (x)= x , g (x) = alnx, x 与曲线 y =alnx 的切点;

记 P(a)为 h (x)的最小值,变化 a,求 P(a)的最大值.

题二:f (x) =

1 2 x ?ax +(a?1)lnx (a>1), 2

(1)讨论 f (x)的单调情况; (2)设 1<a<5,对 ? x1,x2∈(0,+ ? ),x1≠x2. 求证:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) >?1. x1 ? x2

题三:f (x) = (x?a)2lnx, (1)求 a 使 x =e 是 f (x)的极值点; (2)对 ? x∈(0,3e],都有 f (x)≤ 4e2,求 a 的取值范围.

导函数的综合题
金题精讲
题一:(1)(e 2,e) ;(2)1 题二: (1)当 1<a<2 时,函数 f (x)在(0,a?1],[1,+ ? )上单调递增,在[a?1,1]上单调递减;当 a=2 时,f (x)在(0,+ ? )上单调递增;当 a>2 时,f (x)在(0,1],[a?1,+ ? )上单调递增,在[1,a?1]上 单调递减; (2)证明略

题三: (1)e 或 3e; (2)a∈ [3e ?

2e ,3e] ln 3e


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