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一元二次方程的根的判别式和韦达定理


一元二次方程的根的判别式及根与系数关系
根的判别式
1、完成下列推导过程: 任何一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0), 移项,得 ax2+bx=-c, b c 二次项系数化为 1,得 x2+ x=- , a a 配方:x2+
b ? 2 b 2 ? 4ac b ? b ?2 c ? b ?2 ? x+ ? ? =- + ? ? ,即 ? x ? , ? = 2a ? a ? 2a ? a ? 2a ? 4a 2 ?

因为 a≠0,所以 4a2>0. 所以(1)当 (2)当 时,x1=
? b ? b 2 ? 4ac ? b ? b 2 ? 4ac ,x2= ; 2a 2a

b 2a 2 (3)当 时,方程 ax +bx+c=0(a≠0)没有实数根。 2、运用根的判别式的意义,填出根的存在情况: (1)当 a≠0 且△≥0 时,方程 ax2+bx+c=0 (2) 当 a≠0 且△>0 时,方程 ax2+bx+c=0 (3)当 a≠0 且△=0 时,方程 ax2+bx+c=0 (4)当 a≠0 且△<0 时,方程 ax2+bx+c=0

时,x1=x2= ?

; ; ; 。

例 1:不解方程判断下列方程根的情况: (1)4y(y-1)+1=0; (4)x +0.09=0.6x
2

(2)0.2x -5=

2

3 x; 2

(3)2y +4y+35=0;

2

题型一: 题目中已知方程根的情况,求方程系数中字母的值或范围. 步骤:先求出△,再根据题目中方程的根的情况得出△的范围,然后解出(不)等式中字母的值(范 围)即得到所求.
例 2:已知关于 x 的方程 x -3x+k=0,问 k 取何值时,这个方程: (1)有两个不相等的实数根?
2

(2)有两个相等的实数根?

(3)没有实数根?

1

练习一:
1、关于 x 的方程(a-6)x -8x+6=0 有实数根,则整数 a 的最大值是( ) A、6 B、7 C、8 D、9 2 2、若关于 x 的一元二次方程 x -2x+m=0 没有实数根,则实数 m 的取值范围是( ) A、m<1 B、m>-1 C、m>1 D、m<-1 2 2 3、已知 a、b、c 是△ABC 的三边,且方程 a(1+x )+2bx-c(1-x )=0 有两个相等的实数根,则此三角形为( A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、斜三角形 4、方程 mx -mx+2=0 有两个相等的实数根,则 m=
2 2 2



。 。

5、关于 x 的方程 2x -3x++m+1=0 没有实数根,则 m 的取值范围是:
2

6 、 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 方 程 (m-2)x +(2m+1)x+1=0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 , 则 m 的 取 值 范 围 是 。 7、已知关于 x 的一元二次方程(1-2k)x +2 k x-1=0 有实数根,则 k 的取值范围是 8、如果关于 x 的方程(m-2)x -2x+1=0 有实根;那么 m 的取值范围是 9、若一元二次方程 x -x+n=0 有实数根,则化简
2 2 2 2



。 。

?4n ? 1?2
4
2



10、2x -2x+3a-4=0 有两个不相等的实数根,则 a ? 2 - a ? 8a ? 16 的值是
2



11、k 取什么值时,关于 x 的方程 4x -(k+2)x+k-1=0 有两个相等的实数根?求出这时方程的根。

12、关于 x 的一元二次方程(m-1)x -2mx+m=0 有实数根,求 m 的取值范围。

2

13、已知关于 x 的方程 m x +2(m+1)x+1=0 有实根,求 m 的取值范围. (注意:此方程有实根的含义包括哪些?)

2 2

14、 已知关于 x 的方程 x +(2m+1)+m +2=0 有两个不相等的实数根, 试判断直线 y=(2m-3)x-4m+7 能否通过点 (-2, , 4) 并说明理由。

2

2

2

题型二: 根据题目中给的方程(方程可能含有带字母的系数)判断方程根的情况. 步骤:先求出△,然后通过化简得出△的范围(和 0 比较) ,再根据根的判别式判断方程根的情况.
例 3:在关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)中,若 a 与 c 异号,则方程根的情况是
2



练习二:
1、当 k>-

1 2 且 k≠2 时,方程(k-2)x -(2k-1)x+k=0 根的情况 4

2、求证:关于 x 的方程 x +(2k+1)x+k-1=0 有两个不相等的实数根。

2

题型三: 已知一个方程的根的情况,要求判断另一个方程的根的情况。 步骤:此类题型中大多数是系数中含有同一个字母的。先可以根据已知根情况的那个方程求出△,并 根据△的范围求出字母的范围;然后再根据字母的范围去判定待求方程△与 0 之间的大小关系,从而 判定出其根的情况。
例 4:关于 x 的方程 mx -2(m+2)x+m+5=0 无实根,则方程(m-5)x -2(m+2)x+m=0 的根的情况。
2 2

练习三: 1、1.已知方程 x2+2x=k-1 没有实数根。求证:方程 x2+kx=1-2k 有两个不相等的实数根。新 课标第 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、
2、求证:关于 x 的方程 x +(2k+1)x+k-1=0 有两个不相等的实数根。网
2

3

韦达定理
对于一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) ,如果方程有两个实数根 x1 , x2 ,那么
2

注: (1)定理成立的条件 ? ? 0 (2)注意公式重 x1 ? x2 ? ?

b c x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? a a

b 的负号与 b 的符号的区别 a
2

例 已知 x1 , x2 是一元二次方程 4kx ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根. (1) 是否存在实数 k , (2 x1 ?x2) x1 ? x2 ?? 使 ( 2 ) (2) 求使

3 成立?若存在, 求出 k 的值; 若不存在, 请您说明理由. 2

x1 x2 ? ? 2 的值为整数的实数 k 的整数值. x2 x1

解:(1) 假设存在实数 k ,使 (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? ?
2

3 成立. 2

∵ 一元二次方程 4kx ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根 ∴ ?

? 4k ? 0
2 ?? ? (?4k ) ? 4 ? 4k ( k ? 1) ? ?16k ? 0

? k ? 0,

又 x1 , x2 是一元二次方程 4kx ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根
2

? x1 ? x2 ? 1 ? ∴ ? k ?1 ? x1 x2 ? 4k ?
∴ (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? 5 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 9 x1 x2
2 2 2

k ?9 3 ? ? ? ? ? k 4k 2

9 ?,但 k ? 0 . 5 3 成立. 2

∴不存在实数 k ,使 (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? ?

x1 x2 x12 ? x2 2 ( x1 ? x2 ) 2 4k 4 ? ?2? ?2? ?4? ?4?? (2) ∵ x2 x1 x1 x2 x1 x2 k ?1 k ?1
∴ 要使其值是整数,只需 k ? 1能被 4 整除,故 k ? 1 ? ?1, ?2, ?4 ,注意到 k ? 0 ,

要使

x1 x2 ? ? 2 的值为整数的实数 k 的整数值为 ?2, ?3, ?5 . x2 x1

说明: 存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在,否则即不存在.

4

题型一:计算对称式的值
例 若 x1 , x2 是方程 x ? 2 x ? 2007 ? 0 的两个根,试求下列各式的值:
2

(1) x1 ? x2 ;
2 2

(2)

1 1 ? ; x1 x2

(3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ;

(4) | x1 ? x2 | .

解:由题意,根据根与系数的关系得: x1 ? x2 ? ?2, x1 x2 ? ?2007 (1) x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? (?2) ? 2(?2007) ? 4018
2 2 2 2

(2)

1 1 x1 ? x2 ?2 2 ? ? ? ? x1 x2 x1 x2 ?2007 2007

(3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ? x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 25 ? ?2007 ? 5(?2) ? 25 ? ?1972 (4) | x1 ? x2 |?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (?2) 2 ? 4(?2007) ? 2 2008

说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:

x12 ? x2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 ,

x ? x2 1 1 2 2 ? ? 1 , ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 , x1 x2 x1 x2

| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 , x1 x2 2 ? x12 x2 ? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ,

x13 ? x23 ? ( x1 ? x2 )3 ? 3x1 x2 ( x1 ? x2 ) 等等.韦达定理体现了整体思想.
练习 2 2 2 1.设 x1,x2 是方程 2x -6x+3=0 的两根,则 x1 +x2 的值为_________ 2 2.已知 x1,x2 是方程 2x -7x+4=0 的两根,则 x1+x2= ,x1·x2= 2 (x1-x2) = 1 2 3.已知方程 2x -3x+k=0 的两根之差为 2 ,则 k= 2
2 2



;

4.若方程 x +(a -2)x-3=0 的两根是 1 和-3,则 a= ; 2 2 5.若关于 x 的方程 x +2(m-1)x+4m =0 有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么 m 的值为 2 6. 设 x1,x2 是方程 2x -6x+3=0 的两个根,求下列各式的值: (1)x1 x2+x1x2
2 2

;

(2)

1 1 - x1 x2

5

题型二:构造新方程

理论:以两个数 例 解方程组 x+y=5 xy=6

为根的一元二次方程是



解:显然,x,y 是方程 z -5z+6=0 ① 的两根 由方程①解得 z1=2,z2=3 ∴原方程组的解为 x1=2,y1=3 x2=3,y2=2 显然,此法比代入法要简单得多。

2

题型三:定性判断字母系数的取值范围
注:要注意把运算得到的值带回△,判断是否△≥0,若△<0,则该值不符合题意,应舍去。

例 一个三角形的两边长是方程

的两根,第三边长为 2,求 k 的取值范围。

解:设此三角形的三边长分别为 a、b、c,且 a、b 为 由题意知 △=k -4×2×2≥0,k≥4 或 k≤-4
2

的两根,则 c=2



为所求。

6


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