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平面直角坐标系中的伸缩变换


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平面直角坐标系中的伸缩变换

【知识要点归纳】 (1) 以坐标法为工具,用代数方法研究几何图形是解析几何的主要问题,它的特点是“数形结合” 。 (2) 能根据问题建立适当的坐标系又是能否准确解决问题的关键。 (3) 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

? :?

? x? ? ? ? x, (? ? 0), 的作用下, 点 P(x,y)对应到点 P ?( x ?, y ?) , 称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变 ? y ? ? ? ? y, ( ? ? 0),

换。 【典型例题】 在同一直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换。 (1) 将直线 x ? 2 y ? 2 变成直线 2 x? ? y ? ? 4 , (2) 曲线 x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 变成曲线 x? 2 ? 16y ? 2 ? 4 x / ? 0

【解题能力测试】 1、已知 f1 ( x) ? sin x, f 2 ( x) ? sin ?x ( ? ? 0) f 2 ( x) 的图象可以看作把 f 1 ( x ) 的图象在其所在的坐标系中 的横坐标压缩到原来的 A.

1 2

B .2

1 倍(纵坐标不变)而得到的,则 ? 为( 3 1 C.3 D. 3



2.在同一直角坐标系中,经过伸缩变换 ? ( )

? x? ? 5x 2 2 后,曲线 C 变为曲线 2 x? ? 8 y? ? 1 则曲线 C 的方程为 ? y? ? 3 y
C. 10x ? 24y ? 1

A. 50x 2 ? 72y 2 ? 1 B. 9 x 2 ? 100y 2 ? 1 3.在同一平面坐标系中,经过伸缩变换 ? 并画出图象。

D.

2 2 8 2 x ? y ?1 25 9

? x ? ? 3 x, 2 2 后,曲线 C 变为曲线 x? ? 9 y ? ? 9 ,求曲线 C 的方程 ? ?y ?y

1

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? ? 1 ?x ? 2 x 4.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 ? 后的图形。 1 ? y? ? y 3 ?
求: (1) 5 x ? 2 y ? 0; (2) x 2 ? y 2 ? 1 。

5.已知点 A 为定点,线段 BC 在定直线 l 上滑动,已知|BC|=4,点 A 到直线 l 的距离为 3,求?ABC 的外心的 轨迹方程。

极坐标系的的概念
M ( ? ,? )
O ,叫做
; 再选定一个 (通常取 ; , 一个 (通 方向) ,这样就建立了一

一、导学 1、如右图,在平面内取一个 自极点 O 引一条射线 Ox , 叫做 常取 个 )及其 。 ,记

?
?
O



x

2、设 M 是平面内一点,极点 O 与 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的

为 ; 以 极 轴 Ox 为 始 边 , 射 线 OM 为 终 边 的 角 xOM 叫 做 点 M 的 ,记为 。有序数对 叫做点 M 的 ,记 作 。 ◆应用示例 例题 1:(1)写出图中 A,B,C,D,E,F,G 各点的极坐标 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) . (2) :思考下列问题,给出解答。 ①平面上一点的极坐标是否唯一? ②若不唯一,那有多少种表示方法? ③坐标不唯一是由谁引起的? ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式? ⑤本题点 G 的极坐标统一表达式。

2

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◆反馈练习 在下面的极坐标系里描出下列各点

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A(3, 0) 4? ) 3 5? G (6, ) 3 D(5,

B(6, 2? ) E (3, 5? ) 6

C (3, ) 2 F (4, ? )

?

O

X

小结:在平面直角坐标系中,一个点对应 里的点的极坐标有

个坐标表示,一个直角坐标对应 个点。

个点。极坐标系

种表示,但每个极坐标只能对应

极坐标与直角坐标的互化
二、新课导学 直角坐标系的原点O为极点, x 轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为 ( x, y ) 和 ( ? ,? ) ,则由三角函数的定义可以得到如下两组公式:

{

x ? ? cos? y ? ? sin ?

? 2 ? x2 ? y2
{

tan? ?

y x

说明:1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式 2、 通常情况下, 将点的直角坐标化为极坐标时, 取 ? ≥0, 3、互化公式的三个前提条件 (1). 极点与直角坐标系的原点重合;(2). 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合; (3). 两种坐标系的单位长度相同. ◆应用示例 例 1.将点 M 的极坐标 (5,

0 ≤ ? < 2? 。

2? ) 化成直角坐标。 3

例2.将点 M 的直角坐标 (? 3,?1) 化成极坐标

堂上练习
1.点 P 1,? 3 ,则它的极坐标是 A. ? 2,

?

?

? ?

??
? 3?

B. ? 2,

? ?

4? ? ? 3 ?

C. ? 2,?

? ?

??
? 3?

D. ? 2,?

? ?

4? ? ? 3 ?

3

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2.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2,

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?
3

)

B. (2, ?

?
3

)

C. (2,

2? ) 3

D. (2, 2k? ?

?
3

), ( k ? Z )

3.已知 M ? 5,

? ?? ? ,下列所给出的能表示该点的坐标的是 ? 3?
B. ? 5,

A. ? 5,?

? ?

??
? 3?

? ?

4? ? ? 3 ?

C. ? 5,?

? ?

2? ? ? 3 ?
)

D. ? 5, ?

? ?

5? ? ? 3 ?

4、在极坐标系中,与(ρ ,θ )关于极轴对称的点是( A、 ( ? , ? ) B、 ( ? ,?? )

C、 ( ? ,? ? ? )

D、 ( ? , ? ? ? ) )

5、 设点 P 对应的复数为-3+3i, 以原点为极点, 实轴正半轴为极轴建立极坐标系, 则点 P 的极坐标为 ( A.( 3 2 ,

3 5 5 ? ) B. ( 3 2 , ? ) C. (3, ? ) 4 4 4

D. (3,

3 ?) 4

课后作业

?? ?? ? ? 1.若 A ? 3, ? ,B ? 4, (其中 O 是极点) ? ? ,则|AB|=___5____, S ?ABO =_6_________。 ? ? 3 6? ?
S ?AOB ?

2.已知点的极坐标分别为 (3,

?
4

) , ( 2,

2? ? 3 ) , (4, ) , ( , ? ) ,求它们的直角坐标。 3 2 2

3.已知点的直角坐标分别 (3, 3 ) , (0,?

7 5 ) , ( ,0) , (?2,?2 3) ,为求它们的极坐标。 2 3
2? ) ,求 A, B 两点间的距离。 3

4.在极坐标系中,已知两点 A(3,?

?
3

) , B (1,

5. 已知点 A ? 2,

? ?

??

3? ? ? , B ? 2, 2? ? 4

? (等腰直角三角形) ? , O ? 0, 0 ? ,试判断 ?ABO 的形状。 ?

4


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