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2013-2014学年高中数学 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示知能演练 理(含解析)新人教A版选修2-1


2013-2014 学年高中数学 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 知能演练 理(含解析)新人教 A 版选修 2-1

1.已知{a,b,c}是空间向量的一个基底,则可以与向量 p=a+b,q=a-b 构成基底 的向量是( ) A.a B.b C.a+2b D.a+2c 解析:选 D.∵a+2c,a+b,a-b 为不共面向量,∴a+2c 与 p、q 能构成一个基底. 2.给出下列命题:①对空间任意两个向量 a,b(b≠0),则 a∥b 的充要条件是存在实 → → → 数 λ ,使得 b=λ a;②若 a·b=0,则 a=0 或 b=0;③若OA,OB,OC不能构成空间的一个 基底, O,A,B,C 四点共面; 则 ④对于非零向量 a, , ,则(a·b)c=a(b·c)一定成立. b c 其 中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 A.①错,结果应改为 a=λ b;②错,当 a⊥b 时,也有 a·b=0;③正确;④ 错. 3.在空间直角坐标系 Oxyz 中,下列说法正确的是( ) → A.向量AB的坐标与点 B 的坐标相同 → B.向量AB的坐标与点 A 的坐标相同 → → C.向量AB与向量OB的坐标相同 → → → D.向量AB与向量OB-OA的坐标相同 → → 解析: D.因为 A 点不一定为坐标原点, 选 所以 A 不正确;B、 都不正确;由于AB=OB- C → OA,所以 D 正确,故选 D. → → → → 4.若向量MA,MB,MC的起点 M 和终点 A,B,C 互不重合且无三点共线,则能使向量MA、 → → MB、MC成为空间一组基底的关系是( ) → 1→ 1→ 1→ A.OM= OA+ OB+ OC 3 3 3 → → → B.MA=MB+MC → → → → C.OM=OA+OB+OC → → → D.MA=2MB-MC → → → → 解析:选 C.对于选项 A,由结论OM=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)?M,A,B,C 四点共 → → → → → → → → → 面知,MA,MB,MC共面;对于 B,D 选项,易知MA、MB、MC共面,故只有选项 C 中MA、MB、MC 不共面. → → → 5.空间四边形 OABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC → 中点,则MN为( )

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1 2 1 A. a- b+ c 2 3 2 1 1 2 C. a+ b- c 2 2 3 → → → → 解析:选 B.MN=MA+AB+BN 1→ → → 1 → → = OA+OB-OA+ (OC-OB) 3 2 2→ 1→ 1→ =- OA+ OB+ OC 3 2 2 2 1 1 =- a+ b+ c. 3 2 2 6.

2 1 1 B.- a+ b+ c 3 2 2 2 2 1 D. a+ b- c 3 3 2



如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中建立空间直角坐标系.已知 AB=AD=2,BB1=1.5,则 → → AD的坐标为________,AC1的坐标为________,AC的坐标为________. 解析:根据已建立的空间直角坐标系知 A(0,0,0),C(2,2,0),C1(2,2,1.5),D(0,2,0), → → → 则AD的坐标为(0,2,0),AC1的坐标为(2,2,1.5),AC的坐标为(2,2,0). 答案:(0,2,0) (2,2,1.5) (2,2,0) 7.已知 a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若 e1,e2,e3 不共面,且 d=α a+β b+γ c,则 α +β +γ =__________. 解析:由已知 d=(α +γ )e1+(α +β )e2+(γ +β )e3.

?α +γ =1, ? 所以?α +β =2, ?γ +β =3, ?
答案:3 8.

故有 α +β +γ =3.

→ → → → 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,用AC,AB1,AD1作为基向量,则AC1=________. → → → → 解析:2AC1=2AA1+2AD+2AB → → → → → → =(AA1+AD)+(AA1+AB)+(AD+AB) → → → =AD1+AB1+AC, → 1 → → → ∴AC1= (AD1+AB1+AC). 2 1 → → → 答案: (AD1+AB1+AC) 2 → → → 9.已知{e1,e2,e3}为空间一基底,且OA=e1+2e2-e3,OB=-3e1+e2+2e3,OC=e1+ → → → e2-e3,能否以OA,OB,OC作为空间的一个基底?

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→ → → 解:假设OA,OB,OC共面, → → → 根据向量共面的充要条件有:OA=xOB+yOC, 即 e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3) =(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3.

?-3x+y=1, ? ∴?x+y=2, ?2x-y=-1. ?

此方程组无解.

→ → → ∴OA,OB,OC不共面. → → → ∴{OA,OB,OC}可作为空间的一个基底. 10.

已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 2 的正方体,E,F 分别为 BB1 和 DC 的中点,建立如图所示 → → → 的空间直角坐标系,试写出DB1,DE,DF的坐标. 解:设 x、y、z 轴的单位向量分别为 e1、e2、e3,其方向与各轴上的正方向相同, → → → → 则DB1=DA+AB+BB1 → =2e1+2e2+2e3,∴DB1=(2,2,2). → → → → ∵DE=DA+AB+BE=2e1+2e2+e3, → ∴DE=(2,2,1). → → ∵DF=e2,∴DF=(0,1,0).

1.设命题 p:a、b、c 是三个非零向量;命题 q:{a,b,c}为空间的一个基底,则命 题 p 是命题 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 B.若{a,b,c}可以作为空间的一个基底,则 a、b、c 不共面,所以 a、b、c 必须均为非零向量,即 q? p,但三个非零向量未必可以构成基底. 2.

→ 如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,D,E 分别为 AA1,B1C 的中点,若记AB=a, → → → AC=b,AA1=c,则DE=__________(用 a,b,c 表示). 解析:连接 A1E、A1C(图略). → → → DE=DA1+A1E
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1→ 1 → → = AA1+ (A1B1+A1C) 2 2 1→ 1 → → → = AA1+ (AB+AC-AA1) 2 2 1 1 1 1 = c+ (a+b-c)= a+ b. 2 2 2 2 1 1 答案: a+ b 2 2 3.

已知矩形 ABCD, 为平面 ABCD 外一点. 、 分别为 PC、 上的点且|PM|=2|MC|, PN| P M N PD | → → → → =|ND|.设{AB、AD、AP}为基底,求MN在此基底下的坐标. 解:

如图,取 PC 中点 E,连接 NE. → → → 则MN=EN-EM. 1→ → 1→ 由题意知:EN= CD=- AB, 2 2 → → → 2→ 1→ 1→ → → → → → → EM=PM-PE= PC- PC= PC.连接 AC,则PC=AC-AP=AB+AD-AP. 3 2 6 1→ 1 → → → → ∴MN=- AB- (AB+AD-AP) 2 6 2→ 1→ 1→ =- AB- AD+ AP. 3 6 6 1 1? → → → → ? 2 ∴MN在基底{AB,AD,AP}下的坐标为?- ,- , ?. 3 6 6? ? → → → 4.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设AB=a,AD=b,AA1=c,E,F 分别是 AD1,BD 的 中点. → → (1)用向量 a,b,c 表示D1B,EF; → (2)若D1F=xa+yb+zc,求实数 x,y,z 的值. 解:

→ → → → → → (1)如图,D1B=D1D+DB=-AA1+AB-AD=a-b-c,

4



EF=EA+AF= D1A+ AC
1 → → 1 → → =- (AA1+AD)+ (AB+AD) 2 2 1 = (a-c). 2 → 1 → → (2)D1F= (D1D+D1B) 2 1 → → → = (-AA1+AB-AD1) 2 1 → → → → = (-AA1+AB-AD-DD1) 2 1 1 1 = (a-c-b-c)= a- b-c, 2 2 2 1 1 ∴x= ,y=- ,z=-1. 2 2

→ →

1→ 2

1→ 2

5


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