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湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(3)


湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(三)
姓名: 班级 : 分数 :

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个答案中,只 有一项是符合题目要求的.) 1. 定 义 集合 运 算 : A ? B ? ? z | z ? xy , x ? A , y ? B ? . 设 A ? ?2 , 0 ? ,

B ? ?0 , 8 ? , 则 集合
A ? B 的所有元素之和为(

) C. 20
1 4

A.16

B.18

D.22
?

2.已知 ?a n ? 是等比数列, a 2 ? 2 , a 5 ? 围是( ) B. ?8 ,16 ?

,则 a 1 a 2 ? a 2 a 3 ? ? ? ? ? a n a n ? 1 ?n ? N

? 的取值范

A. ?12 ,16 ?

C. ? 8 , ? 3 ? ?

?

32 ?

D. ? , ? 3 ? ? 3

? 16

32 ?

3.5 名志愿者随进入 3 个不同的奥运场馆参加接待工作,则每个场馆至少有一名志愿者的概 率为( ) A.
3 5

B.

1 15

C.

5 8

D.

50 81

4.已知 a 、 b 为非零的不共线的向量,设条件 M : b ? a ? b ;条件 N : 对一切 x ? R , 不等式 a ? x b ? a ? b 恒成立.则 M 是 N 的( A.必要而不充分条件 C.充分而且必要条件 )

?

?

B.充分而不必要条件 D.既不充分又不必要条件

5.设函数 f ( x ) 定义在 R 上,给出下述三个命题: ① 满 足 条 件 f ( x ? 2 ) ? f ( 2 ? x ) ? 4 的 函 数 图 象 关 于 点 ?2 ,2 ? 对 称 ; ② 满 足 条 件 ③函数 f ( x ? 2 ) 与 f ( ? x ? 2 ) 在同一 f ( x ? 2 ) ? f ( 2 ? x ) 的函数图象关于直线 x ? 2 对称; 坐标系中,其图象关于直线 x ? 2 对称.其中,真命题的个数是 ( A.0 B.1 C.2 D.3 )

6.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为 4 的球的两条弦 AB、 的长度分别等于 2 7 CD 和 4 3 , M 、 N 分别为 AB 、 CD 的中点,每两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个 命题: ①弦 AB 、 CD 可能相交于点 M ③ MN 的最大值为 5 其中真命题为( )

②弦 AB 、 CD 可能相交于点 N ④ MN 的最小值为 1

A.①③④ 7.设 a ? sin(sin 2008
0

B.①②③
) ,b ? sin(cos 2008

C.①②④
0

D.②③④
2008
0

) ,c ? cos(sin

) ,d ? cos(cos

2008

0

),

则 a , b , c , d 的大小关系是( A. a ? b ? c ? d C. c ? d ? b ? a
3 2

) B. b ? a ? d ? c D. d ? c ? a ? b )

8. 设函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? 6 x ? 14 ,且 f ( a ) ? 1 , f ( b ) ? 19 ,则 a ? b ? ( A.2 B.1 C.0 D. ? 2

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 8 分,共 48 分. 请将正确的答案填在横线上.) 9.在平面直角坐标系中,定义点 P ? x 1 , y 1 ? 、 Q ? x 2 , y 2 ? 之间的“直角距离”为
d ( P , Q ) ? x 1 ? x 2 ? y 1 ? y 2 . 若 C ? x , y ? 到点 A ?1 , 3 ? 、 B ? 6 , 9 ? 的“直角距离”相等,其中实

数 x 、 y 满足 0 ? x ? 10 、 0 ? y ? 10 ,则所有满足条件的点 C 的轨迹的长度之和为
2 2 10.已知集合 ? ? ?? x , y ? | x ? y ? 2008



? ,若点 P ( x , y ) 、点 P ? ( x ?, y ? ) 满足 x ?

x? 且

y ? y ? ,则称点 P 优于 P ? . 如果集合 ? 中的点 Q 满足:不存在 ? 中的其它点优于 Q ,则

所有这样的点 Q 构成的集合为 11.多项式 ?1 ? x ? x 2 ? ? ? ? ? x 100



?

3

的展开式在合并同类项后, x

150

的系数为

.

(用数字作答) 12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面 上,且该六棱柱的体积为
9 8

,底面周长为 3,则这个球的体积为

.

13.将一个 4 ? 4 棋盘中的 8 个小方格染成黑色,使得每行、每列都恰有两个黑色方格,则有 不同的染法.(用数字作答) 14.某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第 k 棵树种植在点
P k ? x k , y k ? 处,其中 x 1 ? 1, y 1 ? 1 ,当 k ? 2 时,

? ? x k ? x k ?1 ? 1 ? ? ? ? y k ? y k ?1 ? ? ?

? k ? 1? ?k ? 2? ? 5 ; ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? ? k ? 1? ? k ? 2 ? ? . ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 5

其中, ? a ? 表示实数 a 的整数部分,例如 ? 2 . 6 ? ? 2 , ?0 . 6 ? ? 0 . 按此方案,第 2008 棵树种植 点的坐标为 .

三、解答题(本大题共 4 小题,共 62 分. 要求有必要的解答过程.) 15. (本小题满分 14 分)设实数 a , b ? ?? , ? ? ,求证:
b a ? a b ?

? ?

?

? ?

其中等号当且仅当 a ? ? , b ? ? 或 a ? ? , b ? ? 成立, ? , ? 为正实数.

16. (本小题满分 14 分)甲、乙两人进行乒乓球单打比赛,采用五局三胜制(即先胜三局 者获冠军) .对于每局比赛,甲获胜的概率为
2 3

,乙获胜的概率为

1 3

.如果将“乙获得冠军”

的事件称为“爆出冷门” .试求此项赛事爆出冷门的概率.

17. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x ) ? ln ?1 ? x ? ? x 在区间 ?0 , n ??n ? N
b n ,令 a n ? ln ?1 ? n ? ? b n , p k ?

?

? 上的最小值为

a 1 a 3 ? ? ? a 2 k ?1 a 2 a 4 ? ? ? a 2k

?k ?

N

?

?,

求证: p 1 ? p 2 ? ? ? ? ? p n ?

2a n ? 1 ? 1.

18. (本小题满分 18 分)过直线 l : 5 x ? 7 y ? 70 ? 0 上的点 P 作椭圆
PM 、 PN ,切点分别为 M 、 N ,联结 MN .

x

2

?

y

2

? 1 的切线

25

9

(1)当点 P 在直线 l 上运动时,证明:直线 MN 恒过定点 Q ; (2)当 MN ∥ l 时,定点 Q 平分线段 MN .

湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(三)详细解答 1.解: 集合 A ? B 的元素:z 1 ? 2 ? 0 ? 0 ,z 2 ? 2 ? 8 ? 16 ,z 3 ? 0 ? 0 ? 0 ,z 4 ? 0 ? 8 ? 0 , 故集合 A ? B 的所有元素之和为 16. 选 A.
1

2. 解: 设 ?a n ? 的公比为 q ,则 q ?
3

a5 a2

?

4 2

?

1 8

,进而 q ?
1 4

1 2

.

2 所以,数列 ?a n a n ? 1 ? 是以 a 1 a 2 ? 8 为首项,以 q ?

为公比的等比数列.

a 1 a 2 ? a 2 a 3 ? ? ? ? ? a n a n ?1 ?

1 ? ? 8?1 ? n ? 4 ? ? 1? 1 4

?

32 3

?1 ? 4 ? .
?n

显然, 8 ? a 1 a 2 ? a 1 a 2 ? a 2 a 3 ? ? ? ? ? a n a n ? 1 ?

32 3

. 选 C.
5

3. 解: 名志愿者随进入 3 个不同的奥运场馆的方法数为 3 ? 243 种. 每个场馆至少有一名 5 志愿者的情形可分两类考虑:第 1 类 ,一个场馆去 3 人,剩下两场馆各去 1 人,此类的方
1 3 2 法数为 C 3 ? C 5 ? A 2 ? 60 种;第 2 类,一场馆去 1 人,剩下两场馆各 2 人,此类的方法数为

C 3 ? C 5 ? C 4 ? 90 种. 故每个场馆至少有一名志愿者的概率为 P ?
1 1 2

60 ? 90 243

?

50 81

.选 D.

4. 解:设 OA ? a , OB ? b ,则 x b 表示与 OB 共线的任一向量, a ? x b 表示点 A 到直 线 OB 上 任 一 点 C 的 距 离 AC , 而 a ? b 表 示 点 A 到 B 的 距 离 . 当 b ? a ? b 时 ,
AB ? OB . 由 点 与 直 线 之 间 垂 直 距 离 最 短 知 , AC ? AB , 即 对 一 切 x ? R , 不 等 式
a ? x b ? a ? b 恒成立. 反之, 如果 AC ? AB 恒成立, ? AC 则

?

?

? min

? AB , AB 必为点 A 故

到 OB 的垂直距离, OB ? AC ,即 b ? a ? b . 选 C. 5.解:用 x ? 2 代替 f ( x ? 2 ) ? f ( 2 ? x ) ? 4 中的 x ,得 f ( x ) ? f ( 4 ? x ) ? 4 .如果点 ? x , y ? 在 y ? f ( x ) 的图象上, 4 ? y ? f ( 4 ? x ) , 则 即点 ? x , y ? 关于点 ? 2 , 2 ? 的对称点 ? 4 ? x , 4 ? y ? 也在 y ? f ( x ) 的图象上.反之亦然,故①是真命题.用 x ? 2 代替 f ( x ? 2 ) ? f ( 2 ? x ) 中的
x

?

?

,得 f ( x ) ? f ( 4 ? x ) .如果点 ? x , y ? 在 y ? f ( x ) 的图象上,则 y ? f ( 4 ? x ) ,即点 ? x , y ?

关于点 x ? 2 的对称点 ? 4 ? x , y ? 也在 y ? f ( x ) 的图象上,故②是真命题.由②是真命题,不 难推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.选 D.

6. 解:假设 AB 、 CD 相交于点 N ,则 AB 、 CD 共面,所以 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆, 而过圆的弦 CD 的中点 N 的弦 AB 的长度显然有 AB ? CD ,所以②是错的.容易证明,当 以 AB 为直径的圆面与以 CD 为直径的圆面平行且在球心两侧时, 故③对. 当 MN 最大为5, 以 AB 为直径的圆面与以 CD 为直径的圆面平行且在球心同侧时, MN 最小为 1,故④对. 显然是对的.①显然是对的.故选A. 7. 解:因为 2008
0

? 5 ? 360
0

0

? 180

0

? 28 ,所以,
0
0

a ? sin( ? sin 28 c ? cos( ? sin 28

) ? ? sin(sin ) ? cos(sin
0

28
0

) ? 0 ; b ? sin( ? cos 28

0

) ? ? sin(cos ) ? cos(cos

28
0

0

) ? 0;

0

28

) ? 0 ; d ? cos( ? cos 28

0

28

) ? 0.

又 sin 28

0

? cos 28 ,故 b ? a ? d ? c . 故选 B.
3

3 2 3 8. 解: f ( x ) ? x ? 3 x ? 6 x ? 14 ? ? x ? 1 ? ? 3 ? x ? 1 ? ? 10 , g ( y ) ? y ? 3 y , g ( y ) 由 令 则

为奇函数且单调递增. 而 f ( a ) ? ? a ? 1 ? ? 3 ? a ? 1 ? ? 10 ? 1 , f ( b ) ? ? b ? 1 ? ? 3 ? b ? 1 ? ? 10 ? 19 ,
3 3

所以 g ( a ? 1 ) ? ? 9 , g ( b ? 1 ) ? 9 , g ( ? b ? 1 ) ? ? 9 ,从而 g ( a ? 1 ) ? g ( ? b ? 1 ) , 即 a ? 1 ? ? b ? 1 ,故 a ? b ? ? 2 .选 D. 9. 解:由条件得 x ? 1 ? y ? 3 ? x ? 6 ? y ? 9 当 y ? 9 时,①化为 x ? 1 ? 6 ? x ? 6 ,无解; 当 y ? 3 时,①化为 x ? 1 ? 6 ? x ? 6 ,无解; 当 3 ? y ? 9 时,①化为 2 y ? 12 ? x ? 6 ? x ? 1 ② ①

若 x ? 1 , y ? 8 .5 , 则 线段长度为1; 1 ? x ? 6 , x ? y ? 9 . 5 , 若 则 线段长度为 5 2 ; 若 x ? 6 ,则 y ? 3 . 5 ,线段长度为4.综上可知,点 C 的轨迹的构成的线段长度之和为
1? 5 2 ? 4 ? 5

?

2 ? 1 .填 5

?

?

2 ?1 .

?

10. 解: P 优于 P ? ,即 P 位于 P ? 的左上方, “不存在 ? 中的其它点优于 Q ” ,即“点 Q 的左 上方不存在 ? 中的点”.故满足条件的点的集合为

?? x , y ? | x

2

? y

2

? 2008 , x ? 0 且 y ? 0 .填

?

?? x , y ? | x

2

? y

2

? 2008 , x ? 0 且 y ? 0 .

?

11.解:由多项式乘法法则可知,可将问题转化为求方程
s ? t ? r ? 150



2 的不超过去 100 的自然数解的组数.显然,方程①的自然数解的组数为 C 152 .

下面求方程①的超过 100 自然数解的组数.因其和为 150,故只能有一个数超过 100, 不妨设 s ? 100 .将方程①化为
( s ? 101 ) ? t ? r ? 49

记 s ? ? s ? 101 ,则方程 s ? ? t ? r ? 49 的自然数解的组数为 C 51 .
2

因此, x

150

2 1 2 的系数为 C 152 ? C 3 C 51 ? 7651 .填 7651.

12.解:因为底面周长为 3,所以底面边长为
9 8 V ? 4 3

1 2

,底面面积为 S ?

3 8

3

.
2

又因为体积为
?R
3

,所以高为
? .
2

3 .该球的直径为

1 ?
2

? 3?

? 2 ,球的体积

?

4 3

? .填

4 3

13.解:第一行染 2 个黑格有 C 4 种染法.第一行染好后,有如下三种情况: (1)第二行染的黑格均与第一行的黑格同列,这时其余行都只有一种染法; (2)第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列,这时第三行有 C 4 种染法,第四行的
2

染法随之确定; (3)第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列,这样的染法有 4 种,而在第一、 第二这两行染好后, 第三行染的黑格必然有 1 个与上面的黑格均不同列, 这时第三行的染法 有 2 种,第四行的染法随之确定. 因此,共有染法为 6 ? ?1 ? 6 ? 4 ? 2 ? ? 90 种.填 90.
? k ? 1? ?k ? 2? ,则 ? 5 ?

? 14.解:令 f ( k ) ? ? ? ? ? 5 ? ?

f (k ? 5) ?

k ? 1? ? k ? 2? ? k ? 5 ? 1? ? k ? 5 ? 2 ? ? ? k ? 1? ? k ? 2 ? ? ? 1? ? 1? ? ? ? f (k ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 5 5 ? ? 5 ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ?

故 f ( k ) 是周期为 5 的函数. 计算可知: f ( 2 ) ? 0 ; f ( 3 ) ? 0 ; f ( 4 ) ? 0 ; f ( 5 ) ? 0 ; f ( 6 ) ? 1 . 所以,
x 2008 ? x 2007 ? 1 ? 5 f ( 2008 )



x 2007 ? x 2006 ? 1 ? 5 f ( 2007 )



?



x 2 ? x1 ? 1 ? 5 f ( 2 ) .

以上各式叠加,得 x 2008 ? x 1 ? 2007 ? 5 ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? ? ? ? ? f ( 2008 ) ?
? x 1 ? 2007 ? 5 ?401

? f (2) ?

f ( 3 ) ? ? ? ? ? f ( 6 ) ? ? f ( 2 ) ? f ( 3 )?

? x 1 ? 2007

? 5 ? 401 ? 3 ;

同理可得 y 2008 ? 402 . 所以,第 2008 棵树的种植点为 ? 3 , 402 ? .填 ? 3 , 402 ? .

15.证明:由对称性,不妨设 a ? b ,令
? ?

a b

? t ,则因 ? ? a ? b ? ? ,可得
a b

? t ?

?

? ?

. ??????????(3 分)

设 f (t ) ? t ?

1 ?? 1 ? ? ? ? ,则对 t 求导,得 f ? ( t ) ? 1 ? 2 .????(6 分) ? t ? ? ? t ? ? t ? ?

易知, t ? ? 当

??

? ? ? ? 当 ,1 ? 时, f ? ( t ) ? 0 , f (t ) 单调递减; t ? ? 1 , ? 时, f ? ( t ) ? 0 , f (t ) ? ? ? ? ?? ?

单调递增. ?????????????????????????(9 分) 故 f (t ) 在 t ?
? ?

或t ?

? 处有最大值且 f ? ? ? 及f? ? ? 两者相等. ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?

?

?? ?

?

?

? ? ?

?

?

故 f (t ) 的最大值为

? ?

?

? ?

,即 f ( t ) ? t ?

1 t

?

? ?

?

? ?

.??????(12 分)



a b

? t ,得

b a

?

a b

?

? ?

?

? ?

,其中等号仅当 a ? ? , b ? ? 或 a ? ? , b ? ? 成立.

????????????????????????????(14 分) 16. 解: 如果某方以 3 : 1 或 3 : 0 获胜, 则将未比的一局补上, 并不影响比赛结果. 于 是,问题转化为:求“乙在五局中至少赢三局的概率” .????(3 分) 乙胜五局的概率为 ?
?1? ? ;??????????????????(6 分) ?3?
4 5

2 ?1? 乙胜四局负一局的概率为 C 5 ? ? ? ;????????????(9 分) 3 ?3?
1

?1? ?2? 乙胜三局负二局的概率为 C 5 ? ? ? ? ? . ???????????(12 分) ?3? ?3?
2

3

2

以上结果相加,得乙在五局中至少赢三局的概率为

17 81

. ?????(14 分)

17. 解: (1)因为 f ( x ) ? ln ?1 ? x ? ? x ,所以函数的定义域为 ? ? 1, ?? ? ,?(2 分)

又 f ?( x ) ?

1 1? x

?1 ? ?

x 1? x

.?????????????????(5 分)
?

当 x ? ?0 , n ? 时, f ? ( x ) ? 0 ,即 f ( x ) 在 ?0 , n ??n ? N
b n ? f ( n ) ? ln ?1 ? n ? ? n .

? 上是减函数,故

a n ? ln ?1 ? n ? ? b n ? ln ?1 ? n ? ? ln ?1 ? n ? ? n ? n . ??????????(8 分)

因为

?2 k

? 1 ?? 2 k ? 1 ?

?2 k ?

2

?

4k

2

?1
2

? 1 ,所以

4k
2

? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? ?2 k ? 1? ? ? ? 2 ? 4 ? ? ? ? ? ?2 k ? ? ?

?

1?3 2
2

?

3?5 4
2

?

5?7 6
2

?????

?2 k

? 1 ?? 2 k ? 1 ?

?2 k ?

2

?

1 2k ? 1

?

1 2k ? 1

.

????????????????????????????(12 分) 又容易证明
1 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? 2 k ? 1 ,所以

pk ?

a 1 a 3 ? ? ? a 2 k ?1 a 2 a 4 ? ? ? a 2k

?

1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? ?2 k ? 1? 2 ? 4 ? ? ? ? ? ?2 k

?

?

1 2k ? 1

?

2k ? 1 ?

2k ? 1 k ? N

?

?

?,

????????????????????????(14 分)
p1 ? p 2 ? ? ? ? ? p n ?

?

3 ?1 ?

? ?

5 ?

3 ? ????

?

?

2n ? 1 ?

2n ? 1

?

?

2n ? 1 ? 1 ?

2an ? 1 ? 1 .



p1 ? p 2 ? ? ? ? ? p n ?

2 a n ? 1 ? 1 . ????????(16 分)

18. 证明: (1)设 P ? x 0 , y 0 ? 、 M ? x 1 , y 1 ? 、 N ? x 2 , y 2 ? . 则椭圆过点 M 、 N 的切线方 程分别为
x1 x 25 ? y1 y 9 ?1, x2 x 25 ? y2 y 9 ? 1 .????????????????(3 分)

因为两切线都过点 P ,则有
x1 x 0 25 ? y1 y 0 9 ? 1, x2 x0 25 x0 x 25 ? y2 y0 9 y0 y 9 ?1.

这表明 M 、 N 均在直线

?

?1

①上.由两点决定一条直线知,式①就是

直线 MN 的方程,其中 ? x 0 , y 0 ? 满足直线 l 的方程.???????(6 分) (1)当点 P 在直线 l 上运动时,可理解为 x 0 取遍一切实数,相应的 y 0 为

y0 ?
x0 25

5 7

x 0 ? 10 .

代入①消去 y 0 得

x ?

5 x 0 ? 70 63

y ?1 ? 0



对一切 x 0 ? R 恒成立. ??????????????????????(9 分) 变形可得
5 y ? ? 10 y ? x ? x0 ? ? ? 1? ? 0 ?? ? 63 ? ? 9 ? 25 ?

5y ? x ? ? 0, ? 63 对一切 x 0 ? R 恒成立.故有 ? 25 10 y ? ? 1 ? 0. ? 9

由此解得直线 MN 恒过定点 Q ?

? 25 ? 14

,?

9 ? ? .???????????(12 分) 10 ?

x0

5 x 0 ? 70 63 ? 7 ? ?1 ? 70 . 解得 x 0 ?
4375 533 .

(2)当 MN ∥ l 时,由式②知 25 ?
5

代入②,得此时 MN 的方程为 5 x ? 7 y ? 将此方程与椭圆方程联立,消去 y 得
533 25 x
2

533 35

? 0



?

533 7

x ?

128068 1225

? 0 . ????????????????(15 分)
? 25 ? 14 9 ? ? 的横坐标,即 10 ?

由此可得,此时 MN 截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点 Q ?
? 533 x ? x1 ? x 2 2 ? ? 2? 25 7 ? . 533 14 25

,?

代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点 Q ?

? 25 ? 14

,?

9 ? ? 的纵坐标,即 10 ?

y ?

5 7

?

25 14

?

533 7 ? 35

?

1 ? 125 533 ? 9 ? . ? ? ? ? 49 ? 2 2 ? 10

这就是说,点 Q ?

? 25 ? 14

,?

9 ? ? 平分线段 MN .???????????(18 分) 10 ?


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