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江苏省海门中学2012届高三4月阶段测试数学试题


江苏省海门中学高三数学阶段测试 江苏省海门中学高三数学阶段测试 阶段 数学Ⅰ 数学Ⅰ

2012.04.22

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置上. ......... 1.若 z1 = a + 2i, z2 = 3 ? 4i ,且

z1 为纯虚数,则实数 a = z2
uuu r r uuu r r uuur

▲ .

2.在边长为 1 的正方形 ABCD 中,设 AB = a, BC = b, AC = c ,则 | b ? a ? c |=
2

r

r r r

▲ .

3.已知命题 p : x ? x ≥ 6, q : x ∈ Z ,则使得当 x ∈ M 时, p 且 q ”与“ ? q ”同时为假 “ 命题的 x 组成的集合 M = ▲ .

4.函数 f ( x ) = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0) 的图像如右图所示, 则 f (1) + f (2) + f (3) + L f (2010) = ▲ . 5.某地区有 3 个工厂,由于用电紧缺,规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选择哪 一天是等可能的),假定各个工厂的选择互不影响,则这 3 个工厂选择同一天停电的概率 为 ▲ . 6.某市高三数学抽样考试中,对 90 分及其以上的成绩情况进 行统计,其频率分布直方图如右下图所示,若 (130,140] 分 数段的人数为 90 人,则 (90,100] 分数段的人数为 ▲ . 7.右图给出了一个算法流程图.若给出实数 a, b, c 为

a = 4, b = x 2 , c = 2 x 2 ? 3 x + 2 ,输出的结果为 b 的值, 则实数 x 的取值范围是 ▲ .
8.已知 l 、 m 是两条不同的直线, α 、 β 是两个不同的平面,有下列 4 个命题: ① 若 l ? β , 且α ⊥ β ,则 l ⊥ α ; ② 若 l ⊥ β , 且α / / β ,则 l ⊥ α ; ③ 若 l ⊥ β , 且α ⊥ β ,则 l / /α ; ④ 若 α I β = m, 且l / / m , 则l / /α . 其中真命题的序号是 ▲ .(填上你认为正确的所有命题的序号) 9.已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F 为双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) a2 b2
第7题图

的一个焦点,经过两曲线交点的直线恰过点 F ,则该双曲线的离心率为 ▲ . 10. 已知二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c 满足 f (1) = 0, a > b > c , 则

c 的取值范围是 ▲ . a

11.设 A 和 B 是抛物线 L 上的两个动点,在 A 和 B 处的抛物线切线相互垂直,已知由 A、B 及抛物线的顶点 P 所成的三角形重心的轨迹也是一抛物线,记为 L1 .对 L1 重复以上过 程,又

1

得一抛物线 L2 ,以此类推.设如此得到抛物线的序列为 L1 , L2 ,L , Ln ,若抛物线 L 的方 程为
y 2 = 6 x ,经专家计算得, L1 : y = 2( x ? 1) , L2 : y =
2

2

2 1 2 4 (x ?1? ) = (x ? ) , 3 3 3 3

L3 : y 2 =

2 1 1 2 13 T 2 L 则 ( x ? 1 ? ? ) = ( x ? ) , ,Ln : y 2 = ( x ? n ) . 2Tn ? 3S n = ▲ . 9 3 9 9 9 Sn Sn
a2 .当 x ∈ [0, ln 3] 2

函数 g ( x) =| e x ? a | + 12. 已知函数 f ( x ) = ? x ln x + ax 在 (0, e) 上是增函数, 时,函数 g ( x ) 的最大值 M 与最小值 m 的差为 已知内角 A = 13. ?ABC 中, 在

π
3

3 ,则 a =___▲___. 2

, B C = 2 3 , ?ABC 的面积 S 的最大值为 ▲ . 边 则

14. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 和 g ( x ) 满 足 g( x) ≠ 0, f ′( x) ? g( x) < f ( x) ? g′( x) , f (1) f (?1) 5 f ( n) 15 f ( x) = a x ? g ( x) , + = .令 an = ,则使数列 {an } 的前 n 项和 Sn 超过 g (1) g (?1) 2 g (n) 16 的最小自然数 n 的值 为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 .......
或演算步骤.

15. (本小题满分 14 分) 已知锐角 ?ABC 中的三个内角分别为 A, B , C . uuu uuu uuu uuu r r r r (1)设 BC ? CA = CA ? AB ,求证 ?ABC 是等腰三角形; v v v v C 12 ( 2 ) 设 向 量 s = 2sin C , ? 3 , t = (cos 2C , 2 cos 2 ? 1) , 且 s ∥ t , 若 sin A = ,求 2 13 π sin( ? B ) 的值. 3

(

)

16. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2AB=2. (1)求证:PC⊥ AE ; (2)求证:CE∥平面 PAB; (3)求三棱锥 P-ACE 的体积 V.

17. (本小题满分 14 分) 某民营企业从事 M 国某品牌运动鞋的加工业务,按照国际惯例以美元结算。依据以往的 加工生产数据统计分析,若加工订单的金额为 x 万美元,可获得的加工费的近似值为

2

1 ln(2 x + 1) 万美元。2011 年以来,受美联储货币政策的影响,美元持续贬值。由于从生 2
产订单签约到成品交付要经历一段时间, 收益将因美元贬值而损失 mx 美元 (其中 m 是该 1 时段的美元贬值指数,且 0<m<1) ,从而实际所得的加工费为 f ( x) = ln(2 x + 1) ? mx 万美 2 元. (1)若某时段的美元贬值指数 m =

1 ,为了确保企业实际所得加工费随 x 的增加而增 200 1 x 万美元。已知 20

加,该企业加工产品订单的金额 x 应该控制在什么范围内? (2)若该企业加工产品订单的金额为 x 万美元时共需要的生产成本为

该企业的生产能力为 x ∈ [10,20] ,试问美元贬值指数 m 在何范围内时,该企业加工生 产不会出现亏损?(已知 (ln(2 x + 1))′ =

2 ) . 2x + 1

18. (本小题满分 16 分) 已知 A(0,1) 、 B (0, 2) 、 C (4t , 2t 2 ? 1)(t ∈ R ) ,⊙M 是以 AC 为直径的圆,再以 M 为圆心、 BM 为半径作圆交 x 轴交于 D、E 两点. (1)若 ?CDE 的面积为 14,求此时⊙M 的方程; (2)试问:是否存在一条平行于 x 轴的定直线与⊙M 相切?若存在,求出此直线的方 程;若不存在,请说明理由; BD BE (3)求 + 的最大值,并求此时 ∠DBE 的大小. BE BD

19. (本小题满分 16 分)
1 , a 为常数. x (1)若曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x + 2 y ? 5 = 0 垂直,求实数 a 的值;

已知函数 f ( x) = a ln x ?

(2)求 f ( x) 的单调区间; (3)当 x ≥ 1 时, f ( x ) ≤ 2 x ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围.
3

20. (本小题满分 16 分)

已知数列 { xn } 和 { yn } 的通项公式分别为 xn = a n 和 yn = ( a + 1) n + b, n ∈ N + . (1)当 a = 3, b = 5 时, ①试问: x2 , x4 分别是数列 { yn } 中的第几项?

②记 cn = xn 2 ,若 ck 是 { yn } 中的第 m 项 ( k , m ∈ N + ) ,试问: ck +1 是数列 { yn } 中的第 几项?请说明理由; (2)对给定自然数 a ≥ 2 ,试问是否存在 b ∈ {1, 2} ,使得数列 { xn } 和 { yn } 有公共项? 若存在,求出 b 的值及相应的公共项组成的数列 { zn } ,若不存在,请说明理由.

江苏省海门中学高三数学阶段测试 江苏省海门中学高三数学阶段测试 阶段 数学Ⅱ 附加题) 数学Ⅱ(附加题)

2012.04.22

请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ........ 21.本题包括 A、B 两小题,考生都做. ..

A 选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 矩阵与变换(
4

已知矩阵 A = ?

?1 ? ?1

ur ur ?7 ? 2? 5 ,设向量 β = ? ? ,试计算 A β 的值. 4? ? 4? ?

B 选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 坐标系与参数方程(
椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

1 ,点 P ( x, y ) 是椭圆上的一个动点,若 2

2 x + 3 y 的最大值为 10 ,求椭圆的标准方程.

22. (本小题满分 10 分) 一投掷飞碟的游戏中,飞碟投入红袋记 2 分,投入蓝袋记 1 分,未投入袋记 0 分.经过 多次试验,某人投掷 100 个飞碟有 50 个入红袋,25 个入蓝袋,其余不能入袋. (1)求该人在 4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率; (2)求该人两次投掷后得分 ξ 的数学期望 Eξ .

23. (本小题满分 10 分) 已知多项式 f (n) = n5 +

1 5

1 4 1 3 1 n + n ? n. 2 3 30

(1)求 f (1) 及 f (?1) 的值; (2)试探求对一切整数 n, f (n) 是否一定是整数?并证明你的结论.

江苏省海门中学高三数学阶段测试 2012.04.22

参考答案
1.

8 1 ;2.2;3. {?1, 0,1, 2} ;4. 2 + 2 ;5. ;6. 810 ;7. x = 2 或 ?2 ≤ x ≤ 1 ; 3 49 1 5 8.②;9. 1 + 2 ;10. ( ?2, ? ) ;11.-1;12. ;13. 3 3 ;14. 5 . 2r 2 r uuu uuu uuu uuu r r r uuu uuu uuu r r uuu uuu uuu r r r 15.解析:(1) 因为 BC ? CA = CA ? AB , 所以 CA ? ( BC ? AB ) = 0 , 又 AB + BC + CA = 0 , 解
所以CA = ?( AB + BC), 所以? ( AB + BC) ? ( BC ? AB) = 0, 所以AB ? BC = 0 , uuu r uuur uuu r uuu r 所以 | A B | 2 = | B C | 2 ,即 | AB |=| BC | ,故△ABC 为等腰三角形.
(2)∵ s ∥ t , ∴ 2 sin C ( 2 cos
2 2

(4 分) (6 分)

v

v

2

C ? 1) = ? 3 cos 2C ,∴ sin 2C = ? 3 cos 2C ,即 2
5

tan 2C = ? 3 , Q C 为锐角,∴ 2C ∈ ( 0, π ) ,∴ 2C =

2π π ,∴ C = . 3 3

(8 分)

∴A=

2π ?? 2π π? ?π ? ? π? ? ? B ,∴ sin ? ? B ? = sin ?? ? B ? ? ? = sin ? A ? ? . 3 3? ?3 ? ? 3? ? ?? 3

(10 分)

又 sin A =

12 5 ,且 A 为锐角,∴ cos A= , 13 13

(12 分)

π? π π 13 ? 5 3 ?π ? ? ∴ sin ? ? B ? = sin ? A ? ? = sin A cos ? cos Asin = . 3 3? 3 3 26 ? ? ?
16.解析 (1)在 Rt△ABC 中,AB=1,∠BAC=60°, 解析: 解析 ∴BC= 3 ,AC=2.取 PC 中点 F ,连 AF , PF ,则 ∵PA=AC=2,∴PC⊥ AF . (1 分) ∵PA⊥平面 ABCD, CD ? 平面 ABCD, ∴PA⊥ CD ,又∠ACD=90°,即 CD ⊥ AC , ∴ CD ⊥ 平面PAC ,∴ CD ⊥ PC , ∴ EF ⊥ PC . ∴ PC ⊥ 平面AEF . ∴PC⊥ AE . (3 分) (4 分)

(14 分)

P

F A B C

E

D

(5 分)

(2)证法一:取 AD 中点 M,连 EM,CM.则 EM∥PA.∵EM ? 平面 PAB,PA ? 平面 PAB, ∴EM∥平面 PAB. (7 分) 在 Rt△ACD 中,∠CAD=60°,AC=AM=2, ∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°,∴MC∥AB. ∵MC ? 平面 PAB,AB ? 平面 PAB, ∴MC∥平面 PAB. (9 分) ∵EM∩MC=M,∴平面 EMC∥平面 PAB. ∵EC ? 平面 EMC,∴EC∥平面 PAB. B 证法二:延长 DC、AB,设它们交于点 N,连 PN. ∵∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD,∴C 为 ND 的中点. ∵E 为 PD 中点,∴EC∥PN. ∵EC ? 平面 PAB,PN ? 平面 PAB,∴EC∥平面 PAB. (3)由(1)知 AC=2, EF =

P

F A

E

M
(10 分)

D

C

(7 分) (9 分) (10 分)

1 CD, 且EF ⊥ 平面PAC . 2
(12 分) (14 分)

在 Rt△ACD 中,AC=2,∠CAD=60°,∴CD=2 3 ,得 EF = 3 . 1 1 2 3. 则 V= VE ? PAC = × × 2 × 2 × 3 = 3 2 3
6

由 f ′( x) > 0 ? 199 ? 2 x > 0 ,解得 0<x<99.5 即加工产品订单金额 x ∈ (0,99.5) (单位:万美元) ,该企业的加工费随 x 的增加而增加。 (2)依题意设,企业加工生产不出现亏损,则当 x ∈ [10,20] 时, 都有

1 1 ln(2 x + 1) ? mx ≥ x。 2 20

法一:即 10 ln(2 x + 1) ? (20 m + 1) x ≥ 0 在 x∈[10,20]时恒成立.…………………7 分

所以,g(x)min=g(20)=10ln41-20(20m+1)≥0,∴m≤ 所以,m∈(0,

ln 41 ? 2 ]时,该企业加工生产不会亏损 . ………………14 分 40 ln(2 x + 1) 1 ln(t + 1) 1 法二:变量分离 m ≤ ,令 2 x = t ? m ≤ ? ? . 2x 20 t 20
18.解: (1) M (2t , t 2 ) ,以 M 为圆心、BM 为半径的圆方程为 ( x ? 2t ) 2 + ( y ? t 2 ) = t 4 + 4 , 其交 x 轴的弦 DE = 2 t 4 + 4 ? t 4 = 4 , S?CDE =

ln 41 ? 2 ,又 m>0, 40

1 DE ? (2t 2 ? 1) = 14 ,∴ t = ±2 , 2

⊙M 的方程为 ( x ± 4)2 + ( y ? 4) 2 = 25 ; ………………………………………… 分) (5 (2)∵ MA = (2t )2 + (t 2 ? 1)2 = t 2 + 1 , yM = t 2 , ∴存在一条平行于 x 轴的定直线 y = ?1 与⊙M 相切;…………………………(10 分) (3)在 ?BDE 中,设 ∠DBE = θ , S?BDE = ∴ BD ? BE =

1 1 BD ? BE ? sin θ = × 4 × 2 = 4 , 2 2

8 8 ; BD 2 + BE 2 ? 16 = 2 × × cos θ , sin θ sin θ 16 cos θ + 16 , sin θ

∴ BD 2 + BE 2 =

7

∴ 故当 θ =

BD BE BD 2 + BE 2 π π? + = = 2 sin θ + 2 cos θ = 2 2 sin(θ + ), θ ∈ (0, ? , BE BD BD ? BE 4 2?
BD BE + 的最大值为 2 2 .………………………………………(16 分) BE BD

π
4

时,

19.解: (1)函数 f ( x ) 的定义域为 {x | x > 0} , f ′( x ) =

ax + 1 . x2 又曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x + 2 y = 0 垂直, 所以 f ′(1) = a + 1 = 2 ,即 a = 1 . ………………………4 分 ax + 1 , (2)由 f ′( x ) = x2 当 a ≥ 0 时, f ′( x ) > 0 恒成立,所以, f ( x ) 的单调增区间为 (0, +∞ ) . 当 a < 0 时, 1 1 由 f ′( x ) > 0 ,得 0 < x < ? ,所以 f ( x ) 的单调增区间为 (0, ? ) ; a a 1 1 由 f ′( x ) < 0 ,得 x > ? ,所以 f ( x ) 的单调增区间为 (? , +∞ ) . …………………10 分 a a

20. 解: . (1)由条件可得 xn = 3 , yn = 4n + 5 .
n

(ⅰ)令 x2 = 9 = ym = 4m + 5 ,得 m = 1 ,故 x2 是数列 { yn } 中的第 1 项. 令 x4 = 81 = yk = 4k + 5 ,得 k = 19 ,故 x4 是数列 { yn } 中的第 19 项. ……………2 分 (ⅱ)由题意知, cn = 3 , 由 ck 为数列 { yn } 中的第 m 项,则有 3
2n
2k

= 4m + 5 ,
…………………8 分

那么 ck +1 = 3

2( k +1) ?

= 9 × 3 = 9 × (4m + 5) = 36m + 45 = 4(9m + 10) + 5 ,
2k

因 9m + 10 ∈ N ,所以 ck +1 是数列 { yn } 中的第 9m + 10 项. (2)设在 {1, 2} 上存在实数 b 使得数列 {xn } 和 { yn } 有公共项,

8

as ? b , a +1 s 因自然数 a ≥ 2 ,s,t 为正整数,∴ a ? b 能被 a + 1 整除. as ? b a ①当 s = 1 时, t = < ? N? . ②当 s = 2n (n ∈ N? ) 时, a +1 a +1 a s ? b a 2n ? 1 1 ? a2n = =? = ?[1 + (? a) + (? a) 2 + L + (?a) 2 n ?1 ] 当 b = 1 时, a +1 a +1 1 ? (?a)
即存在正整数 s,t 使 a = ( a + 1)t + b ,∴ t =
s

= (a ? 1)[1 + a 2 + a 4 L + a 2 n ? 2 ] ∈ N? ,即 a ? b 能被 a + 1 整除.
s

此时数列 {xn } 和 { yn } 有公共项组成的数列 {zn } ,通项公式为 zn = 2 显然,当 b = 2 时,

2n

(n ∈ N? ) .

a s ? b a 2n ? 2 a 2n ? 1 1 s = = ? ? N? ,即 a ? b 不能被 a + 1 整除. a +1 a +1 a +1 a +1 b a(a 2 n ? ) as ? b ? a , ③当 s = 2n + 1 (n ∈ N ) 时, t = = a +1 a +1 b a(a 2 n ? ) b 2n ? a ? N? . 若 a > 2 ,则 a ? ? N ,又 a 与 a + 1 互质,故此时 t = a a +1 b b 2n ? 2n 2n 若 a = 2 ,要 a ? ∈ N ,则要 b = 2 ,此时 a ? = a ? 1 , a a
b a(a 2 n ? ) a ∈ N? ,即 a s 由②知, a ? 1 能被 a + 1 整除, 故 t = a +1 S 当且仅当 b = a = 2 时, a ? b 能被 a + 1 整除.
2n

? b 能被 a + 1 整除.
2 n +1

此时数列 {xn } 和 { yn } 有公共项组成的数列 {zn } ,通项公式为 zn = 2 且当 b = 1 时,数列 zn = a 分 21.A 解析 解析:矩阵 A 的特征多项式为 f (λ ) = 解得 λ1 = 2 , λ2 = 3 . 当 λ1 = 2 时,得 α 1 = ? ? ;当 λ 2 = 3 时,得 α 2 = ? ? ,
2n

(n ∈ N? ) .

综上所述,存在 b ∈ {1, 2} ,使得数列 {xn } 和 { yn } 有公共项组成的数列 {zn } ,

(n ∈ N? ) ;当 b = a = 2 时,数列 zn = 22 n +1 (n ∈ N? ) .………16

λ ?1
1

?2

λ ?4

= λ2 ? 5λ + 6 = 0 ,
(4 分) (6 分) (8 分)

? 2? ?1? ?1 ? ?1? ?2 m + n = 7 由 β = mα 1 + nα 2 ,得 ? ,得 m = 3, n = 1 , ?m + n = 4

∴ A 5 β = A 5 (3α 1 + α 2 ) = 3( A 5α 1 ) + A 5α 2

?2 ? ?1? ?435? 5 = 3(λ1α 1 ) + λ5 α 2 = 3 × 2 5 ? ? + 35 ? ? = ? (10 分) 2 ?. ?1 ? ?1? ?339 ? B 选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 坐标系与参数方程( ? x = 2 cos θ 1 x2 y2 【解】 离心率为 , 设椭圆标准方程是 2 + 2 = 1 , 它的参数方程为 ? (θ 2 4c 3c ? y = 3 sin θ
是参数 ) 2 x + 3 y = 4c cos θ + 3c sin θ = 5c sin(θ + ? ) 最大值是 5c ,
9

椭圆的标准方程是

x2 y2 + =1 16 12

22.解(1) “飞碟投入红袋”“飞碟投入蓝袋”“飞碟不入袋”分别记为事件 A,B,C. , , 则 P ( A) =

50 1 25 1 = , P ( B ) = P (C ) = = 100 2 100 4

因每次投掷飞碟为相互独立事件,故 4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率为

1 1 3 1 P4 (3) = C 4 ( ) 3 (1 ? ) = --------------------------------------------------------4 分 2 2 4
(2)两次投掷得分 ξ 的得分可取值为 0,1,2,3,4 则: P (ξ = 0) = P (C ) P (C ) =
1 1 1 1 P (ξ = 1) = C 2 P ( B ) P (C ) = 2 × × = 4 4 8
1 P (ξ = 3) = C 2 P ( A) P (C ) =
1 P (ξ = 2) = C 2 P( A) P (C ) + P( B ) P ( B) =

1 16

5 16

1 1 ; P (ξ = 4) = P ( A) P ( A) = 4 4

1 1 5 1 1 5 + 1 × + 2 × + 3 × + 4 × = --------------------------------------------10 分 16 8 16 4 4 2 23. (1) f (1) = 1 ; f (?1) = 0 . (2)对一切整数 n, f (n) 是否一定是整数.证明如下: ∴ Eξ = 0 ×

( 10 )先用数学归纳法证明:对一切正整数 n, f (n) 是整数. ①当 n=1 时, f (1) = 1 ,结论成立. ②假设当 n=k(k≥1,k∈N )时,结论成立,即 f (k ) = k 5 +
*

1 5

1 4 1 3 1 k + k ? k 是整数,则 2 3 30



1 1 1 1 (k + 1) 5 2 3 30 1 3 5 0 1 2 1 4 C 0 k 5 + C5 k 4 + C52 k 3 + C5 k 2 + C54 k + C5 C4 k 4 + C4 k 3 + C4 k 2 + C4 k + C4 = 5 + 5 2 0 3 1 2 2 3 C k + C3 k + C3 k + C3 1 + 3 ? (k + 1) = f (k ) + k 4 + 4k 3 + 6k 2 + 4k + 1 3 30 根据假设 f (k ) 是整数,而 k 4 + 4k 3 + 6k 2 + 4k + 1 显然是整数. ∴ f (k + 1) 是整数,从而当当 n=k+1 时,结论也成立. 由①、②可知对对一切正整数 n, f (n) 是整数. ……………………………………………7 分
n=k+1 时, f (k + 1) = (k + 1)5 + (k + 1)4 + (k + 1)3 ? ( 20 )当 n=0 时, f (0) = 0 是整数.……………………………………………………………8 分 ( 30 )当 n 为负整数时,令 n= -m,则 m 是正整数,由(1) f (m) 是整数, 所以 f (n) = f (?m) = (?m)5 + (?m) 4 + (?m)3 ?

1 5

1 2

1 3

1 ( ? m) 30

1 1 1 1 = ? m5 + m 4 ? m3 + m = ? f (m) + m4 是整数. 5 2 3 30 综上,对一切整数 n, f (n) 一定是整数.……………………………………………………10


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