当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

高中数学竞赛试题及答案(理)


高二数学(理)试题
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 ) 1. i 是虚数单位,复数
2?i =( 1 ? 2i

) D. 1 ? 2i

? ???? 1 ??? 2 ??? 2 ???? ? ? 2 ??? 2 ???? D. OG ? OA ? OB ? OC 3 3 2 3

3 1 1 1 ? ? ... ? 7、已知 f (n) ? ,则 f (k ? 1) 等于( ) n ?1 n ? 2 3n ? 1 1 1 A. f (k ) ? B. f (k ) ? 3k ? 2 3(k ? 1) ? 1

C. OG ? OA ? OB ? OC

????

??? ?

A. i

B. ?i )
1

C. ?1 ? i

2、下列值等于 1 的是( A.

C. f (k ) ? 3k1? 2 ? 3k1? 3 ? 3k1? 4 ? k 1? 1
1 D. ? 1 dx 0

D. f (k ) ?

1 1 ? 3k ? 4 k ? 1

?

1

0

xdx

B.

? ( x ? 1)dx
0

C. ? 1dx
1 0

2

8、若 ( x ?

a x
2

) 6 展开式的常数项为 60,则常数 a 的值为





3、若函数 A. ?1

f ( x) ? ax 4 ? bx 2 ? c 满足 f '(1) ? 2 ,则 f '(?1) ? (

) D.0

A

2

B

4

C

B. ?2

1 2

D

1 4

C.2

4.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设正确的是 A.假设三内角都不大于 60 度; B.假设三内角至多有一个大于 60 度;

9、曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是 ( A. 3



5

B. 2

5

C.

5

D.0 )

10.已知 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为( A、-1<a<2 B、-3<a<6 C、a<-1 或 a>2 )

C.假设三内角都大于 60 度;
D.假设三内角至多有两个大于 60 度。 5、某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每为朋 友一本,则不同的赠送方法共有 A 4种 ( C 18 种 D ) 20 种

D、a<-3 或 a>6

11.函数 y ? x3 ? 3x2 ? 9x ? ?2 ? x ? 2? 有( A.极大值 5,极小值-27;

B.极大值 5,极小值-11; D.极小值-27,无极大值

B

C.极大值 5,无极小值;
的是 (
错 误 1 ! 0 未 找 A 到 错 引 误 用 ! 2 源 1 0未 。 找 到

10 种

12.设 f '( x) 是函数 f ( x) 的导数, y ? f '( x) 的图像如图所示, 则 y ? f ( x) 的图像最有可能 )
错 误 1 2 ! 0未 错 B 找 误 到 2 ! 引 0 未1 用 找 源 到 D 。 引 错 误 ! 1 未 0找 到 引 用 源 。 错误! 未找到引 用源。

6、已知空间四边形 OABC ,其对角线为 OB, AC , M , N 分 别是边 OA, CB 的中点, G 在线段 MN 上, 点 且使 MG ? 2GN , 用向量 OA, OB, OC 表示向量 OG 是
??? ??? ??? ? ? ?

????





A

???? 1 ??? 1 ??? 1 ???? ? ? OG ? OA ? OB ? OC 6 3 3

???? 1 ??? 1 ??? 2 ???? ? ? B. OG ? OA ? OB ? OC 6 3 3

2错 误 ! 未 找 到 错 引 误 用 ! 源

错 误 ! 未 找 错 到 误 引 ! 用 未

2

错 误 ! 未 找 到 引

18.设函数

f ( x) ? 2 x3 ? 3ax 2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.

(1)求 a、b 的值; (2)当 c ? ?2 时,求函数 f ( x) 在区间 [0, 上的最大值. 3]

高二数学(理)试题(第二巻)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的相应位置。 ) 13.曲线 y ? cos x(0 ? x ? 14.曲线 y ?
3

①解:

f ?( x) ? 6 x 2 ? 6ax ? 3b ,

3? ) 与坐标轴围成的面积是 2
0

3
0

因为函数 f ( x) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 . 即?

x ? x ? 2 在点P 处的切线平行于直线y=4x,则点P 的坐标是 (1,0)

?6 ? 6a ? 3b ? 0, ?24 ? 12a ? 3b ? 0.

15.设 i 为虚数单位,则 1 ? i ? i 2 ? i 3 ? i 4 ? ? ? i 20 =1. 16.已知 f ( x) ? lg x ,函数 f (x) 定义域中任意的 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,有如下结论:

解得 a ? ?3 , b ? 4 . ②由(1)可知,

f ( x) ? 2 x3 ? 9 x 2 ? 12 x ? 8c ,

? ? ① 0 ? f (3) ? f (3) ? f (2) ? f (2) ;

? ? ② 0 ? f (3) ? f (2) ? f (3) ? f (2) ;

f ?( x) ? 6 x 2 ? 18 x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2) .
当 x ? (0, 时, f ?( x) ? 0 ; 1) 当 x ? (1 2) 时, f ?( x) ? 0 ; , 当 x ? (2, 时, f ?( x) ? 0 . 3) 所以,当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c . 则当 x ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0; x1 ? x2 ③
上述结论中正确结论的序号是__①③_.

x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) f( 1 )? . 2 2 ④

三、解答题: (本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 10 分) 已知 z、?为复数, (1 ? 3i ) ? z 为实数,?= 解:设?=x+yi(x,y∈R),

3 ?0,? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c ? ?7 .
1 2 p、 lnq万 10 5

z , 且 | ? |? 5 2, 求? . 2?i

19. (本小题满分12分)某品牌电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加了家电下乡活动,若厂家A、 B对两种型号的电视机的投放金额分别为p、q万元,农民购买电视机获得的补贴分别为

??

z ? z ? ? ? 2 ? i ? ? ( x ? yi ) ? 2 ? i ? 2?i
2,

元,已知A、B两种型号的电视机的投放总额为10万元,且A、B两种型号的电视机的投放金额均不低于1 万元,请你制定一个投放方案,使得在这次活动中农民得到的补贴最多,并求出最大值(精确到0.1, 参考数据: ln 4 ? 1.4 ). 解:设B型号电视机的投放金额为万元 (1 ? x ? 9) ,A型号的电视机的投放金额为 (10 ? x) 万元,农民得 到的补贴为

依题意得(1+3i)(2+i)?=(-1+7i)?为实数,且|?|=5

? x ? 1 ? x ? ?1 ?7 x ? y ? 0 ∴? 2 ,解之得 ? 或? , x ? y 2 ? 50 ? y ? 7 ? y ? ?7 ?
∴?=1+7i 或?=-1-7i。

y 万元,则由题意得

y?

1 ?10 ? x ? ? 2 ln x ? 2 ln x ? 1 x ? 1 10 5 5 10 2 1 ,令 y ' ? 0 得 x ? 4 ? 5 x 10

Sk ?1 ? Sk ? ?

1 1 1 1 ? ? Tk ? ? 2k ? 1 2(k ? 1) 2k ? 1 2(k ? 1)

y? ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? k ?1 k ? 2 k ? 3 2k 2k ? 1 2(k ? 1)

当 x ? [1, 4) 时, y ' ? 0 ;当 x ? (4,9] ,时, y ' ? 0 所以当 x ? 4 时,

y 取得最大值, ymax

2 ? ln 4 ? 0.4 ? 1 ? 1.2 5

?
?

1 1 1 ? 1 ? ??? ?? ? k ? 2 k? 3 2k 1 ? k 1 ? ?

1 ? ? 2? ? 1 ) k (

故厂家投放 A、B 两种型号的电视机的金额分别是 6 万元和 4 万元,农民得到的补贴最多,最多补贴约 1.2 万元。 20. (12 分)

1 1 1 1 1 ? ??? ? ? (k ? 1) ? 1 (k ? 1) ? 2 2k 2k ? 1 2(k ? 1)

? Tk ?1
由①,②可知,对任意 n∈N*,Sn=Tn 都成立. 21. (本小题满分 12 分) 如图,ABCD 是边长为 2a 的正方形,ABEF 是矩形,且二面角 CABF 是直二面角, AF ? a ,G 是 EF 的中点, (1)求 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值. (2)求二面角 B—AC—G 的余弦值. 解析:如图,以 A 为原点建立直角坐标系,
D C

1 1 1 1 1 当 n ? N *时,S n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 2n ? 1 2n 1 1 1 1 Tn ? ? ? ?? ? n ?1 n ? 2 n ? 3 2n
(1)求 S1 , S2 , T1 , T2 (2)猜想 Sn 与Tn 的关系,并用数学归纳法证明。 解: (1) S1 ? 1 ?

则A(0,0,0) B(0,2a,0) C(0,2a,2a ) , , ,

A F E

B

1 1 1 1 1 7 ? , S2 ? 1 ? ? ? ? 2 2 2 3 4 12

G(a,a,0) F(a,0,0) , .
(由题意可得 AG ? (a, a,0) , AC

G

T1 ?

1 1 1 1 7 ? , T2 ? ? ? 1?1 2 2 ? 1 2 ? 2 12
即:

? (0,2a,2a) ,

(2)猜想: Sn ? Tn (n ? N * )

BG ? (a,?a,0) , BC ? (0,0,2a) ,
设平面AGC的法向量为 n1 由?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? . (n∈N*) 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 n ? 3 2n
下面用数学归纳法证明 ① n=1 时,已证 S1=T1 ② 假设 n=k 时,Sk=Tk(k≥1,k∈N*) ,即:

? ( x1 , y1 ,1) ,

? AG ? n1 ? 0 ?

?ax1 ? ay1 ? 0 ? x1 ? 1 ? n1 ? (1,?1,1) ?? ?? ? AC ? n1 ? 0 ?2ay1 ? 2a ? 0 ? y1 ? ?1 ?

sin ? ?
(2)因 n1

| BG ? n1 | | BG | ? | n1 |

?

2a 2a ? 3

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? . 则 2 3 4 2k ? 1 2k k ? 1 k ? 2 k ? 3 2k

6 3

? ( x1 , y1 ,1) 是平面AGC的法向量,

又AF⊥平面ABCD,平面ABCD的法向量 AF

? (a,0,0) ,得

| cos ? |?

| n1 ? AF | | n1 | ? | AF |

?

a 3a

?

3 , 3
1 2 3 x ? (m ? 2) x ? ? m ,( m 为常数) 2 2

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 4 ln( x ? 1) ? (1)当 m = 4 时,求函数的单调区间;

(2)若函数 y = f ( x ) 有两个极值点,求实数 m 的取值范围. 解:依题意,函数的定义域为(1,+∞). (Ⅰ) 当 m=4 时, f ( x) ? 4 ln( x ? 1) ?

1 2 5 x ? 6x ? . 2 2

f ?( x) =

2 x -7x+10 (x-2)(x-5) 4 = . ? x ?6= x-1 x-1 x ?1

令 f ?( x) ? 0 , 解得 x ? 5, 或 x ? 2 .令 f ?( x) ? 0 , 解得 2 ? x ? 5 . 可知函数 f(x)的单调递增区间为(1,2)和(5,+∞) ,单调递减区间为 (Ⅱ) f ?( x) = 4 x -(m+3)x+m+6 +x-(m+2)= . x-1 x-1
2

? 2,5? .

? ?? ? (m ? 3) 2 ? 4(m ? 6) ? 0; ? 若函数 y=f (x)有两个极值点, 则 ?1 ? ( m ? 3) ? m ? 6 ? 0; , ?m ? 3 ? ? 1. ? 2
解得 m>3.


相关文章:
2015年高中数学竞赛决赛试题及答案
2015年高中数学竞赛决赛试题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。111 2015 年高中数学竞赛 复赛试题及答案一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 ...
历年全国高中数学联赛试题及答案(76套题)
历年全国高中数学联赛试题及答案(76套题)_学科竞赛_高中教育_教育专区。历年...b2 ) 同理可得 F( a ? b 直线 AC 的垂直平分线方程为 y? a c c ? ...
高中数学竞赛试题及答案(理)
高中数学竞赛试题及答案(理) 隐藏>> 高二数学(理)试题一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 ) 1. i 是虚数单位,复数 2?i =( ...
2015年全国高中数学联赛试题
2015年全国高中数学联赛试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。标准WORD文档,...10.(本题满分 20 分)设 a1 , a2 , a3 , a4 是 4 个有理数,使得 ?...
2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷(一试)(word版)
2016 年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)参考答案及评分标准 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严 格...
2014年深圳市高中数学竞赛决赛试题及答案
2014 年深圳市高中数学竞赛决赛试题及答案一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.每小题各有四个选择支,仅有一个选择支正确.请 把正确选择...
历年全国高中数学联赛试题及答案(76套题)
历年全国高中数学联赛试题及答案(76套题)_学科竞赛_高中教育_教育专区。超级齐全...b2 ) 同理可得 F( a ? b 直线 AC 的垂直平分线方程为 y? a c c ? ...
2013四川高中数学竞赛试题及答案
2013四川高中数学竞赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013 年全国高中数学...r 2 上的有理点 【】 A、最多有一个 B、最多有两个 C、最多有四个 ...
1987年全国高中数学联赛试题及解答
在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点,若 a 为无理数,则...(命 题组供题) ·2· 1987 年全国高中数学联赛试题 一.如图,△ABC 和△...
更多相关标签:
高中数学试题及答案 | 高中数学竞赛 | 高中数学竞赛培优教程 | 全国高中数学联合竞赛 | 高中数学竞赛专题讲座 | 高中数学竞赛辅导书 | 2016全国高中数学竞赛 | 全国高中数学竞赛官网 |