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2014《创新设计》二轮专题复习常考问题18


常考问题 18
[真题感悟]

二项式定理及数学归纳法

(2013· 江苏卷)设数列{an}:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,…,(- 1)k-1k,…,(-1)k-1k,…,即当 ?k-1?k k?k+1? * k-1 < n ≤ 2 2 (k∈N )时,an=(-1) k,

记 Sn=a1+a2+…+an(n∈N*).对于 l∈N*,定义集合 Pl={n|Sn 是 an 的整数 倍,n∈N*,且 1≤n≤l}. (1)求集合 P11 中元素的个数; (2)求集合 P2 000 中元素的个数. 解 (1)由数列{an}的定义得 a1=1,a2=-2,a3=-2,a4=3,a5=3,a6=3,

a7=-4,a8=-4,a9=-4,a10=-4,a11=5,所以 S1=1,S2=-1,S3= -3,S4=0,S5=3,S6=6,S7=2,S8=-2,S9=-6,S10=-10,S11=-5, 从而 S1=a1,S4=0×a4,S5=a5,S6=2a6,S11=-a11,所以集合 P11 中元素 的个数为 5. (2)先证:Si(2i+1)=-i(2i+1)(i∈N*). 事实上,①当 i=1 时,Si(2i+1)=S3=-3,-i(2i+1)=-3,故原等式成立; ②假设 i=m 时成立,即 Sm(2m+1)=-m(2m+1),则 i=m+1 时 ,S(m+1)(2m+3) =Sm(2m+1)+ (2m+ 1)2 -(2m+2)2 =-m(2m+ 1) -4m - 3 =-(2m2 + 5m+ 3)= -(m+1)(2m+3). 综合①②可得 Si(2i+1)=-i(2i+1).于是 S(i+1)(2i+1)=Si(2i+1)+(2i+1)2=-i(2i+1)+(2i+1)2=(2i+1)(i+1). 由上可知 Si(2i+1)是 2i+1 的倍数,而 ai(2i+1)+j=2i+1(j=1,2,…,2i+1),所 以 Si(2i+1)+j=Si(2i+1)+j(2i+1)是 ai(2i+1)+j(j=1,2,…,2i+1)的倍数.又 S(i+1)(2i
+1)

=(i+1)· (2i+1)不是 2i+2 的倍数,而 a(i+1)(2i+1)+j=-(2i+2)(j=1,2,…,

2i+2),所以 S(i+1)(2i+1)+j=S(i+1)(2i+1)-j(2i+2)=(2i+1)(i+1)-j(2i+2)不是 a(i
+1)(2i+1)+j

(j=1,2,…,2i+2)的倍数,故当 l=i(2i+1)时,集合 Pl 中元素的个

数为 1+3+…+(2i-1)=i2,于是,当 l=i(2i+1)+j(1≤j≤2i+1)时,集合 Pl 中元素的个数为 i2+j. 又 2 000=31×(2×31+1)+47, 故集合 P2 000 中元素的个数为 312+47=1 008.

[考题分析] 高考对本内容的考查主要有: (1) 二项式定理的简单应用,B 级要求; (2)数学归纳法的简单应用,B 级要求


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