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江苏省扬州市安宜高中10-11学年高二上学期期末考试(数学)


江苏省扬州市安宜高级中学 2010-2011 学年度第一学期 高二数学期末考试试题
注意事项: 1、本试卷分两大部分,第一部分填空题(1-14 题) ,共 70 分;第二部分解答题(15-20 题) ,共 90 分, 全卷满分 160 分.考试时间 120 分钟. 2、答卷前,请考生务必将自己的姓名、考试号等信息填写在答题卷规定的地方. 3、试题答案均写在答题卷指定区域的位置,答在其它地方无效. 4、本场考试不得使用计算器.考试结束后,只交答题卷. 5、本卷使用公式: s 2 ?

1 n ? ( xi ? x ) 2 n i ?1

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分). 1、抛物线 x 2 ? ?2 y 的焦点坐标是 ▲ . 2、五个数 1, 2,3, 4, a 的平均数是 3 ,这五个数的方差是 ▲ .

3、某校有教师 200 人,男学生 1200 人, 女学生 1000 人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从女学生中抽取的人数为 80 人,则 n 的值为 ▲ .

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是 ▲ . 10 ? k k ? 4 5、 f ( x) ? ? x 2 ? 2 ln x ? 8 的单调递增区间是 ▲ . 输入 a , b 6、已知命题 p :| x ? 2 |? 2; 命题 q : x ? Z . 如果 “ p且q”与“?q” 同时为假命题,则满足条件的 x 的集合为 ▲ . 否 a ? b? 7、定义某种运算 ? , S ? a ? b 的运算原理如右图: 则式子 5 ? 3 ? 2 ? 4 ? ▲ . 是 x2 y 2 ? ? 1 , F 1 , F2 分别为它的左、右焦点, 8、已知双曲线 9 16 S ? a ? (b ? 1) S ? b ? (a ? 1) P 为双曲线上一点,设 PF1 ? 7 ,则 PF2 的值为 ▲ .
4、若方程 9、 P 为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点, F 1 , F2 是椭圆的左、右焦点, a2 b2
▲ .
2

若使△F1PF2 为等边三角形,则椭圆离心率为

输出 S

第 7 题图 10、若函数 f ( x) ? x( x ? c) 在 x ? 2 处有极值,则常数 c 的值为 ▲ . 11、已知圆的半径为 2 ,圆心在 x 轴的正半轴上,且圆与直线 3x ? 4y ? 4 ? 0 相切, 则该圆的标准方程是 ▲ . 12、有下列四个命题: ① “若 xy ? 1 ,则 x , y 互为倒数”的逆命题;

② “ ?x ? R, 使得 x 2 ? 1 ? 3x ”的否定是“ ?x ? R, 都有 x ? 1 ? 3 x ”;
2

③ “若 m ≤1,则 x ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题; ④ “ m ? ?2 ”是“直线 (m ? 2) x ? my ? 1 ? 0 与直线 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相互垂直”的必要不充分条件. 其中是真命题的是 ▲ (填上你认为正确命题的序号). .
2

?x ? y ? 5 ? 0 ??? ? ? 13、已知 P( x, y) 满足条件 ? x ? y ? 0 , A(1, ?2) ,则 PA 的取值范围是 ?x ? 3 ?
14、 A ? ?( x, y ) | ( x ? 1) ? ( y ? 2) ?
2



.

? 2 ? 若 A ? B ,则 a 的取值范围是

5? ? , B ? ?( x, y ) | x ? 1 ? 2 y ? 2 ? a? , 4?
▲ .

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤). 15、 (本题 14 分) 高二年级有 500 名学生,为了了解数学学科的学习情况,现从中随机抽出若干名学生在一次测试 中的数学成绩,制成如下频率分布表: 频率/组距 分组 频数 频率

?85,95?
?95,105?



0. 025 0.050 0.200

0.0300 0.0275 0.0250 0.0225 0.0200 0.0175 0.0150

?105,115?
?115,125?
?125,135?

12

0.300 0.275 ② 0.050 ③

0.0125
0.0100 0.0075

?135,145?
[145,155] 合计

4

0.0050 0.0025

成绩(分)
85 95 105 115 125 135 145 155

(1)根据上面图表,①②③处的数值分别为 ▲ 、









(2)在所给的坐标系中画出[85,155]的频率分布直方图; (3)根据题中信息估计总体落在[125,155]中的概率.

16、 (本题 14 分) (1)将一颗骰子(正方体形状)先后抛掷 2 次,得到的点数分别记为 x, y , 求 x ? y ? 2 及 x ? y ? 4 的概率; (2)从区间 (?1,1) 中随机取两个数 x, y ,求 x 2 ? y 2 ? 1的概率.

17、 (本题 15 分) 如图,直角三角形 ABC 的顶点坐标 A(?2, ,直角顶点 B(0, ?2 2) , 0) 顶点 C 在 x 轴上,点 P 为线段 OA 的中点. (1)求 BC 边所在直线方程; (2) M 为直角三角形 ABC 外接圆的圆心,求圆 M 的方程; (3)直线 l 过点 P 且倾斜角为

y

? ,求该直线被圆 M 截得的弦长. 3

A

.

C

P

O

x

B

18、 (本题 15 分) 已知直线 l 的方程为 x ? ?2 ,且直线 l 与 x 轴交于点 M ,圆 O : x2 ? y 2 ? 1 与 x 轴交于 A, B 两点. (1)过 M 点的直线 l1 交圆于 P、 Q 两点,且圆孤 PQ 恰为圆周的

1 ,求直线 l1 的方程; 4

(2)求以 l 为准线,中心在原点,且与圆 O 恰有两个公共点的椭圆方程; (3)过 M 点作直线 l2 与圆相切于点 N ,设(2)中椭圆的两个焦点分别为 F1 , F2 ,求三角形 ?NF1 F2 面积.

y
l
P
M

Q

l1

A

O

B

x

19、 (本题 16 分) 如图, 有一块抛物线形状的钢板, 计划将此钢板切割成等腰梯形 ABCD 的形状, 使得 A, B, C , D 都落在抛物线上,点 A, B 关于抛物线的轴对称,且 AB ? 2 ,抛物线的顶点到底边的距离是 2 ,记

CD ? 2 t ,梯形面积为 S . (1)以抛物线的顶点为坐标原点,其对称轴为 y 轴建立坐标系,使抛物线开口向下,求出该抛物线的 方程; (2)求面积 S 关于 t 的函数解析式,并写出其定义域; (3)求面积 S 的最大值.

C

D

2

A

2

B

20、 (本题 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? b( x ? R) ,其中 a, b ? R , g ( x) ? x ? f ( x) .
3 2 4

10 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性; 3 (2)若函数 g ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围;
(1)当 a ? ?

(3)若对于任意的 a ?? ?2, 2? ,不等式 g ( x) ? 1 在 ??1,1? 上恒成立,求 b 的取值范围.

扬州市安宜高级中学高二数学试卷参考答案及评分标准
一、填空题 1、 (0, ? ) 6、 ?1, 2,3?

1 2

2、2 7、 14

3、 192 8、 13 12、①②③

4、 ( 4,7) 9、

5、 (0,1] 10、 2或6

1 2

11、 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4

13、 ?

? 2 ? , 2 26 ? ? 2 ?

14、 a ?

5 2

二、解答题 15. 解(1) ①1, ②0.100,③1

………………………3 分

(2)直方图如右 ……………8 分

成绩(分)

(3) 在[125,155]上的概率为

0.275 ? 0.1 ? 0.05 =0.38
…………………14 分

答:在[125,155]上的概率约为 0.38

16. 解(1)记“ x ? y ? 2 ”为事件 A ,连续两次抛掷一颗骰子共有 36 种不同的点数之和的结果, 而事件 A 包含 1 种结果,? P ( A) ?

1 ; 36

……………4 分

记“ x ? y ? 4 ”为事件 B ,连续两次抛掷一颗骰子共有 36 种不同的点数之和的结果, 而事件 A 包含 3 种结果, 答:“ x ? y ? 2 ”的概率为
2 2

? P( B) ?

3 1 ? 36 12
……………8 分

1 1 ;“ x ? y ? 4 ”的概率为 12 36

(2) 记“ x ? y ? 1”为事件 C ,

? P(C ) ?

圆面积 ? ? 正方形面积 4
2 2

答:“从区间 (?1,1) 中随机取两个数 x, y , x ? y ? 1”的概率为 17. 解: (1)∵ kAB ? ? 2, AB ? BC , ∴ kCB ?

? …………14 分 4
……1 分 ……5 分

2 2 , ∴ BC : y ? x ? 2 2. 2 2

(2)在上式中,令 y ? 0, 得: C (4,0), ∴圆心 M (1,0), 又∵ AM ? 3, ∴外接圆的方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 9. (3)∵ P(?1, 0), 直线 l 过点 P 且倾斜角为

……6 分 …… 8 分 ……10 分

? 3
……11 分 ……13 分 ……15 分

? 直线 l 的方程为 y ? 3( x ?1)
点 M 到直线 l 的距离为 3 直线 l 被圆 M 截得的弦长为 2 6 。 18 .解: (1)? PQ 为圆周的 ,??POQ ? 设 l1 的方程为 y ? k ( x ? 2),?

1 4

?

2 | 2k |
2

. ? O 点到直线 l1 的距离为
? 2 1 ,? k 2 ? . 2 7

2 . …………2 分 2

k ?1

? l1 的方程为 y ? ?
(2)设椭圆方程为

7 ( x ? 2). 7

………………………5 分

x2 y 2 a2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,半焦距为 c,则 ? 2. 2 a b c ?椭圆与圆 O 恰有两个不同的公共点,根据椭圆与圆的对称性 则 a ? 1 或 b ? 1. ………………………6 分 4 y2 1 3 ? 1 ;……………8 分 当 a ? 1 时, c ? , b2 ? a2 ? c2 ? ,?所求椭圆方程为 x 2 ? 3 2 4 当 b ? 1 时, b2 ? c 2 ? 2c,?c ? 1,? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2. x2 ? y 2 ? 1. 所求椭圆方程为 ………………………10 分 2 (3)设切点为 N,则由题意得,在 Rt ?MON 中, MO ? 2, ON ? 1 ,则 ?NMO ? 30? ,
N 点的坐标为 (?
2

1 3 , ) ,……………… 11 分 2 2

l P M A

y N Q

l2 l1

若椭圆为

x ? y 2 ? 1. 其焦点 F1,F2 2

O

B

x

1 3 3 , ………………………13 分 ? 2? ? 2 2 2 1 1 4 y2 ? 1 ,其焦点为 F1 (? ,0), F2 ( ,0) , 若椭圆为 x 2 ? 3 2 2 1 3 3 ? 此时 S ?NF1F2 ? ? 1 ? ………………………15 分 2 2 4 19. 解(1)以抛物线的顶点为坐标原点,其对称轴为 y 轴建立坐标系,
分别为点 A,B 故 S ?NF1F2 ? 设抛物线方程为: x ? ?2 py( p ? 0) ,
2 2 由图得抛物线过点 (1, ?2) ,代入 x ? ?2 py( p ? 0) 求得 p ?

1 , 4

所以外轮廓线所在抛物线的方程: x ? ?
2

1 y 2

………………………5 分
2

2 ( 2 ) 设 C ( x, y) , ? CD ? 2t ? x ? t , 代 入 抛 物 线 方 程 得 y ? ?2t , 故 梯 形 的 高 为 2 ? 2t

1 2 t ) ? S ? ( 2t ? 2 ) ( ? 2 2= ?2t 3 ? 2t 2 ? 2t ? 2 2

…………………9 分

又由 ?

?t ? 0
2 ?2 ? 2t ? 0

解得 t ? (0 ,1)

? 其定义域为 (0 ,1)

………………………10 分

3 2 (3)? S ? ?2t ? 2t ? 2t ? 2 , ? S ? ? ?2(t ? 1)(3t ? 1)

令 S ? ? 0 ,解得 t ? 当0 ? t ? 当

1 3

-------------------12 分

1 时 S ? ? 0 ? 函数在该区间递增, 3
………………………14 分 ………………………16 分 ……1 分 ……2 分

1 ? t ? 1 时 S ? ? 0 ? 函数在该区间递减, 3 1 64 所以当 t ? 时函数取得最大值, S max ? 3 27
20. 解: (1) f ?( x) ? 3ax 2 ? 4 x ? x(3ax ? 4) . 当a ? ?

10 2 时, f ?( x) ? x(?10 x ? 4) .令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? . 5 3

当 x 变化时, f ?(x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?(x)

(??,0)

0 0 极小值
2 ?5

? 2? ? 0, ? ? 5?

2 5
0 极大值

?2 ? ? , ?? ? ?5 ?

- ↘

+ ↗
?

- ↘ ……5 分

f ( x)
2 5

所以 f ( x ) 在 (0, ) 内是增函数,在 (??,0) , ? , ?? ? 内是减函数. ? ?

(2) g ?( x) ? 4 x3 ? f ?( x) ? x(4 x 2 ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 的根.……7 分 为使 g ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 4 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 成立, ……8 分
8 8 3 3 8 8 因此满足条件的 a 的取值范围是 [ ? , ] . 3 3 g ?( x) ? x(4 x 2 ? 3ax ? 4) 由条件 a?[?2,2] ,可知 ? ? 9 a 2 ? 64 ? 0 , (3)

即有 ? ? 9a 2 ? 64 ? 0 .解不等式,得 ? ? a ? .这时, g(0) ? b 是唯一极值.

……9 分 ……10 分

……11 分 从而 4 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立.在 [ ?1,1] 上,当 x ? 0 时, g?(x) ? 0 ;当 x ? 0 时, g?(x) ? 0 . 因此函数 g ( x) 在 [ ?1,1] 上的最大值是 g (1) 与 g (?1) 两者中的较大者. 为使对任意的 a ? [?2, 2] ,不等式 g ( x) ? 1 在 [ ?1,1] 上恒成立, 当且仅当 ? ……13 分

? g (1) ? 1 ?b ? ?2 ? a ,即 ? , ? g (?1) ? 1 ?b ? ?2 ? a 在 a ? [?2, 2] 上恒成立. 所以 b ? ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是 (??, ?4]

……15 分 ……16 分


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