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§1.函数的概念


§ 1.函数的概念
题型一:求函数解析式 1. 已知 f [ g ( x)] 的解析式,求 f ( x) 的解析式 1. 设 f ( x) 在 (0,??) 内可导, 且 f (e x ) ? x ? e x , 则 f ?(1) ? ________. 3. 含 f ( x) 与 f (? x) 或 f ( x) 与 f ( ) 的关系的条件 式,求 f ( x) 的解析式. 3. 知函 数 f ( x) 满 足 f ( x ) ? 2 f ( ) ? x , 求 证 :

1 x

1 x

f ( x) ?

2 2. 3

2. 已知 f [ g ( x)] 的解析式,求 f ( x) 的解析式 2. 已知 f ( x ? 1) ? x ? 4. 待定系数法 已知 f ( x) 的函数类型,求 f ( x) 的解析式. 4. 已知幂函数 g ( x) 的图象经过点 A( 2 ,8) , 设函数

x ,求 f ( x ) .

1 ? ?g ( x ? ) x f ( x) ? ? ?? x ?

( x ? 0) ( x ? 0)

,则当 x ? 0 时,

f ? f ( x)? 的表达式中的常数项为________.

1

5. 动点转移法. 若 f ( x) 与已知函数 g ( x) 具有某种对称关系,求

2. 周期转化法 8. 已知函数 f ( x) 满足: f (1) ?

f ( x) 的解析式.
5. 设 函 数 f ( x) ? x 2 ? x , 已 知 函 数 g ( x) 满 足

1 , 4 f ( x) f ( y ) ? 4

f ( x ? y) ? f ( x ? y) ( x, y ? R) ,则 f (2014 )?
________.

3 ? g ( x ? 2) ? f (?2 ? x) ? 3 ,求 g ( x) 的解析式.

6. 赋值法. 求与抽象函数有关的函数解析式. 6. 已 知 函 数 f ( x) 对 于 任 意 实 数 x, y , 都 有 3. 赋值法 9. 函数 f ( x) 的定义域为 D,若对于 ?x1 , x2 ? D , 当 x1 ? x 2 时 , 都 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则 称 函 数

f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f ( y) ? x ? 2 ,且 f (0) ? 1 ,
求 f ( x) .

f ( x) 在 D 上为非减函数. 设 f ( x) 在 [0,1] 上为非减
函数,且满足下列三个条件: ① f (0) ? 0 ; ② f( )?

x 3

1 f ( x) ; 2

③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) . 则 f ( ) ? f ( ) ? ________. 题型二:求函数有关的值 1. 代入法 7. 设 函 数 f ( x) ? ?

1 3

1 8

?? l o g 3 ( x ? 1)
x ?6 ?3 ? 1

( x ? 6) ( x ? 6)

满足

8 f (n) ? ? ,则 f (n ? 4) ? ________. 9

2

§ 1.函数的概念
题型一:求函数解析式 1. 换元法 已知 f [ g ( x)] 的解析式,求 f ( x) 的解析式 1. 设 f ( x) 在 (0,??) 内可导, 且 f (e ) ? x ? e ,
x x

?2

2 2 2 . ? 9 3
2 2. 3

综上得 f ( x ) ? 4. 待定系数法

则 f ?(1) ? ________. 【解析】 令 t ? ex , 则 x ? ln t . 于是 f (t ) ? ln t ? t , 所以 f ?(t ) ? 2. 拼凑法 已知 f [ g ( x)] 的解析式,求 f ( x) 的解析式 2. 已知 f ( x ? 1) ? x ?

已知 f ( x) 的函数类型,求 f ( x) 的解析式. 4. 已知幂函数 g ( x) 的图象经过点 A( 2 ,8) , 设函数

1 1 ? 1 ,则 f ?(1) ? ? 1 ? 2 . t 1

1 ? ?g ( x ? ) x f ( x) ? ? ?? x ?

( x ? 0) ( x ? 0)

,则当 x ? 0 时,

x ,求 f ( x ) .

f ? f ( x)? 的表达式中的常数项为________.
【解析】令 g ( x) ? x a ,则 8 ? ( 2 ) a . 解之得 a ? 6 ,所以 g ( x) ? x 6 . 于是当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x . 而?

【解析】 f ( x ? 1) ? x ? x ? x ? 2 x ? 1 ? 3 x ? 1

? ( x ? 1) 2 ? 3 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 3 x ? 3 ? 2
? ( x ? 1) 2 ? 3 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 3( x ? 1) ? 2
所以 f ( x) ? x ? 3x ? 2 .
2

3. 对称消元法 含 f ( x) 与 f (? x) 或 f ( x) 与 f ( ) 的关系的条件 式,求 f ( x) 的解析式.

x ? 0 ,所以 f [ f ( x)] ? (- x ?
6? r

1 x

6 . )

1 x

令的展开式中的常数项为 (?1) 即 (?1)
6? r

C x
r 6

r 6

6? r 2

(x )r ,
,所以

?

1 2

1 3. 知函 数 f ( x) 满 足 f ( x ) ? 2 f ( ) ? x , 求 证 : x f ( x) ? 2 2. 3

C x

r 6

6? r 2

x

?

r 2

? (?1)

6? r

C x

6? 2 r 2

6 ? 2r ? 0 ,即 r ? 3 . 2
3 以常数项为 (?1) 3 C6 ? ?20 .

1 ? f ( x) ? 2 f ( ) ? x ? 1 ? x 【解析】由 ? ,消去 f ( ) ,得 x ? f ( 1 ) ? 2 f ( x) ? 1 ? x ? x
f ( x) ? ?
?

5. 动点转移法. 若 f ( x) 与已知函数 g ( x) 具有某种对称关系,求

f ( x) 的解析式.
5. 设 函 数 f ( x) ? x 2 ? x , 已 知 函 数 g ( x) 满 足

x 2 x 2 ? ,所以 f ( x) ? ? . 3 3x 3 3x

3 ? g ( x ? 2) ? f (?2 ? x) ? 3 ,求 g ( x) 的解析式.
【 解 析 】由 已 知得 f ( x) 与 g ( x) 的 图 象 关于 点

x 2 x 2 1 . 当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ? ? 3 3x 3 3x

(?2,3) 中心对称.
在 y ? g ( x) 图 象 上 任 一 点 ( x, y ) , 令 其 在

2 2 2 ?2 ? . 9 3
2 ? . 当 x ? 0 时, f ( x) ?

x 2 ?x 2 ? ? ? 3 3x 3 ? 3x
3

? x ? x? ? ?2 ? ? 2 y ? f ( x) 上的对称点为 ( x ?, y ?) , 则? , ? y ? y? ? 3 ? ? 2

即?

? x ? ? ?4 ? x . ? y? ? 6 ? y

令 x ? 2, y ? 1 ,则 f (3) ? ?

1 ; 2 1 ; 4

由 y ? ? f ( x ?) ,得 6 ? y ? f (?4 ? x) , 即 6 ? y ? (?4 ? x) 2 ? (?4 ? x) 即 y ? x 2 ? 7 x ? 12 ,即 g ( x) ? x 2 ? 7 x ? 12 . 6. 赋值法. 求与抽象函数有关的函数解析式. 6. 已 知 函 数 f ( x) 对 于 任 意 实 数 x, y , 都 有

令 x ? 2, y ? 2 ,则 f (4) ? ? 令 x ? 3, y ? 2 ,则 f (5) ? 令 x ? 3, y ? 3 ,则 f (6) ?

1 ; 4 1 ; 2

f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f ( y) ? x ? 2 ,且 f (0) ? 1 ,
求 f ( x) . 【解析】 令 x ? 0, 则 f (1) ? f (0) f ( y) ? f ( y) ? 2 ? 2 .

所 以 f ( x) 是 以 6 为 周 期 的 周 期 函 数 , 于 是

1 f (2014 ) ? f (4) ? ? . 4
3. 赋值法 9. 函数 f ( x) 的定义域为 D,若对于 ?x1 , x2 ? D , 当 x1 ? x 2 时 , 都 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则 称 函 数

x ? 1,则 f ( y ? 1) ? f (1) f ( y) ? f ( y) ? 1
? 2 f ( y) ? f ( y) ? 1 ? f ( y) ? 1,
所以 f ( y ? 1) ? f ( y) ? 1,即公差为 1,首项为 2. 所以 f ( y) ? 2 ? ( y ? 1) ? y ? 1,从而 f ( x) ? x ? 1. 题型二:求函数有关的值 1. 代入法 7. 设 函 数 f ( x) ? ?

f ( x) 在 D 上为非减函数. 设 f ( x) 在 [0,1] 上为非减
函数,且满足下列三个条件: ① f (0) ? 0 ;

?? l o g 3 ( x ? 1)
x ?6 ?3 ? 1

( x ? 6) ( x ? 6)

满足

② f( )?

x 3

1 f ( x) ; 2

8 f (n) ? ? ,则 f (n ? 4) ? ________. 9 8 【解析】当 n ? 6 时, f (n) ? ? log 3 (n ? 1) ? ? , 9
解之得 n ? 3
8 ?1 9

③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) . 则 f ( ) ? f ( ) ? ________. 【解析】令 x ? 0 ,则 f (1) ? 1 ; 令 x ? 1 ,则 f ( ) ? 令x ? 令x ?

1 3

1 8

? 3 ? 1 ? 2 ? 6 ,矛盾.
n ?6

当 n ? 6 时, f ( n) ? 3

8 ?1 ? ? , 解之得 n ? 4 . 9

1 3

1 1 f (1) ? ; 2 2

则 f (n ? 4) ? f (4 ? 4) ? f (8) ? ? log3 9 ? ?2 . 2. 周期转化法

1 1 1 ,则 f ( ) ? ; 2 2 2 1 1 1 1 1 ,则 f ( ) ? f ( ) ? ; 3 9 2 3 4 1 1 1 f( )? . 2 2 4

1 8. 已知函数 f ( x) 满足: f (1) ? , 4 f ( x) f ( y) ? 4
f ( x ? y) ? f ( x ? y) ( x, y ? R) ,则 f (2014 )?
________.

则 f( )?

1 6

又 因 为 f ( x) 在 D 上 为 非 减 函 数 , 所 以

1 【解析】令 x ? 1, y ? 0 ,则 f (0) ? ; 2
令 x ? 1, y ? 1,则 f (2) ? ?

1 ; 4
4

1 1 1 1 1 1 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ,即 ? f ( ) ? . 9 8 6 4 8 4
从而 f ( ) ? f ( ) ?

1 3

1 8

3 . 4


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