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第二十八章《锐角三角函数》单元测试卷


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锐角三角函数单元测试
1 在 Rt△ABC 中,如果各边长度都扩大 2 倍,则锐角 A 的正弦值和余弦值( (A)都没有变化 (C)都缩小 2 倍 (B)都扩大 2 倍 (D)不能确定 ) )

2 在△ABC 中,∠C=90°,a,b,c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边,则有( A. C. 3 计算下列各式的值: B. D.

(1)



(2)



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(3)



4 比较下列各式的大小. (1)sin10°和 cos10°;(2)tg49°和 ctg42°

(3)tg46°和 sin46°;(4)sin27°和 ctg27°

5 写出下图中



的四个锐角三角函数值:

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6 ①

问题 1:如图,自卸车厢的一个侧面是矩形 ABCD,AB=3 米,BC=0.5 米,车厢 底部离地面 1.2 米,卸货时,车厢倾斜的角度 ? ? 60 ,问此时车厢的最高点 A
0

离地面多少米?(精确到 1 米)

②问题 2:如图 1 所示是某立式家具(角书橱)的横断面,请你设计一个方案(角书橱 高 2 米,房间高 2.6 米,所以不从高度方面考虑方案的设计) ,按此方案可以使该家具通过 如图 2 中的长廊搬入房间, 在图 2 中把你的设计方案画成草图, 并说明按此方案可把家具搬 入房间的理由(注:搬动过程中不准拆卸家具,不准损坏墙壁) .
1.5 0.5
1.45 长 廊 房 间 3

1.5

0.5

问题二图 1

问题二图 2

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③问题 3:一艘渔船正以 30 海里/小时的速度由西向东追赶鱼群,在 A 处看见小岛 C 0 0 在船的北偏东 60 方向,40 分钟后,渔船行至 B 处,此时看见小岛 C 在船的北偏东 30 方向, 已知以小岛 C 为中心周围 10 海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区,问这艘渔船 继续向东追赶鱼群,是否有进入危险区域的可能?

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参考答案 1【解析】当 Rt△ABC 的各边长度都扩大二倍,所得新三角形与原三角形相似,故锐角 A 大 小不变,因此选(A). 2【解析】 本题主要考查锐角三角函数的定义,同学们只要依据 Rt△ABC 的图形,不难写 出 sinA=

a b a ,conA= ,tanA= ,从而可判断 C 正确. c c b

3【解析】 (1)有关特殊角三角函数计算,要熟练掌握,即要熟记各种特殊角的各种三角 函数,详见本题第 1 小题; (2)有关非特殊角的三角函数的化简计算方法是:将题目中的正弦和余弦、正切和余 切利用互余角的关系式转换,详见本题第 2 小题的解法; (3)本题中第 3 小题的计算中,灵活地运用了同角和互余角的三角函数间的关系及三 角函数值大小的比较, 在这里应特别注意公式 和 的应用.

解: (1)原式=



(2)原式=



(3)原式=









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4【解析】 一般地,比较两个不同名的锐角三角函数值的大小的方法是:先将其化为同名 三角函数,再根据锐角三角函数的增减性确定大小,如本例中的(1)、(2)小题,当两个 三角函数不能化为同名函数时,常适当取中间量,利用不等式的传递性确定其大小.如何取 中间量,详见本题中的(3),(4)两小题的解法. 解: (1) ∵cos10°=cos (90°-80°) =sin 80°, sin80°>sinl0°, 而 ∴sin10° <cos10°. (2) ctg42°=ctg (90°-48°)=tg48°, tg49°>tg48°,∴tg49°>ctg42°. 而 (3)∵tg46°>tg45°=1,而 sin46°<1,∴tg46°>sin46°.

(4)∵sin27°<sin30°= ctg27°.

1 ,ctg27°>ctg30°= 2

,而

1 < 2

,∴sin27°<

5【解析】 ∵





















6①【思路解析: 】此题只需求出点 A 到 CE 的距离,于是过 A、D 分别作 AG⊥CE,DF⊥CE, 构造直角三角形,解 Rt△AHD 和 Rt△CDF 即可求解. 过点 A、D 分别作 CE 的垂线 AG、DF,垂足分别为 G、F,过 D 作 DH⊥AG 于 H,则有:

DF ? CD ? sin 600 ? 3 ?

3 3 3 ? 2 2
1 1 ? 2 4

A H D

AH ? AD ? cos 60 0 ? 0.5 ?

B C G F

问题一图
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于是 A 点离地面的高度为

3 3 1 . ? ? 1.2 ? 4 (米) 2 4

所以,车厢的最高点 A 离地面约为 4 米. 点评:本题只要将实际问题转化为解直角三角形的问题,然后,运用三角函数的有关知识即 可解决. ②【思路解析: 】如说理图所示,作直线 AB,延长 DC 交 AB 于 E,由题意可知,△ACE 是等 腰 直 角 三 角 形 , 所 以 CE = 0.5 , DE = DC + CE = 2 , 作 DH ⊥ AB 于 H , 则

DH ? DE ? sin ?HED ? 2 sin 450 ? 2 ,∵ 2 ? 1.5 ,
∴可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间. 答案:设计方案草图如图所示.

长 廊 1.45 房 间 3
E

C A H B

D

设计方案图

设计方案说理图 .

点评:本题是一道比较贴近生活的实际问题,学生看到题目感到比较亲切、自然,但本 题重点考查学生综合运用所学知识解决实际问题的探究和创新能力. 本题还反映了生活中常见的实际情况,很有创意,并充分体现了学数学用数学的价值,角书 橱过长廊进入房间,必须要放倒倾斜搬进,不能正面直入,方案的设计也多种多样. ③【思路解析】此题是一个重要题型——航海问题,解这类题要弄清方位角、方向角的 概念,正确地画出示意图,然后根据条件解题.此题可先求出小岛 C 与航向(直线 AB)的 距离,再与 10 海里进行比较得出结论. 解:过 C 作 AB 的垂线 CD 交 AB 的延长线于点 D ∵

cot 30 0 ?

AD CD



cot 60 0 ?

BC CD







北 C

AD ? CD ? cot300 ,
60 0
30 0
B 南 D 东

BD ? CD ? cot 600
0 0





西

A 南

AD ? BD ? CD(cot30 ? cot 60 ) ? 20
∴ CD ?

例3图

20 3 3? 3

? 10 3 , ∵ 10 3 >10.

∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域. 点评:正确解答这类问题,第一步,根据材料提供的生活背景,画出几何图形,并把实 际问题数学化,分析出作为一个数学问题的已知条件和问题。第二步,根据所给条件运用三 角函数知识正确解答。
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