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福建省东山县第二中学2016届高三数学上学期期中试题A 文


2016 届东山二中高三年期中考数学(文)试卷 A
班级 姓名___________ 座号__________ 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.在复平面内,复数(4+5i)i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) )

2.设集合 A={x|-1<x<4} ,B={-1,1,2,4} ,则 A ? B=( A. { 1,2} B. {-1,4} C. {-1,2} D. { 2,4} )

3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A.y=x B.y=﹣x
3

C.y=

D. ) C.错误!

4.已知向量|a|=2,|b|=错误!未找到引用源。,且 a·b=3,则 a 与 b 的夹角为( A.错误!未找到引用源。 未找到引用源。
2

B.错误! 未找到引用源。 D.以上都不对

5.已知命题 p:“x>2 是 x >4 的充要条件”,命题 q:“若 A. “p 且 q”为真 C. p真q假 B. “p 或 q”为真 D.

a b ? 2 ,则 a>b”,那么( 2 c c

)

p,q 均为假

6..已知椭圆与双曲线

x 2 y2 ? =1 的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 10, 4 12
)

那么椭圆的离心率等于( A.

3 5

B.
2

4 5

C.

5 4

D.

3 4

7. 直线 l 经过抛物线 y =4x 的焦点,且与抛物线交于 A,B 两点,若 AB 中点的横坐标为 3,则线 段 AB 的长为( A.5
x

) B.6 C.7 ) D. (2,3) ) D.8

8. 函数 f(x)=e +x﹣2 的零点所在的区间是( A. (0, ) B. ( ,1)

C. (1,2)

9.已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ,则下列说法正确的是( A. f ( x) 的最小正周期为 2? B. f ( x) 的图象关于点 ( ?

?
8

, 0) 对称

1

C. f ( x) 的图象关于直线 x ? D. f ( x) 的图象向左平移 10.设函数

?
8

对称

? 个单位长度后得到一个偶函数图像 4

f ( x) ? a ln x ? bx2 ,若函数 f ( x) 的图像在点 (1,1) 处的切线与 y 轴垂直,则
) B.

实数 a ? b ? ( A. 1

1 2

C.

1 4

D. ?1

?? a ? 3? x ? 5, x ? 1, ? 11.已知函数 f(x)= ? 2a 是(-∞,+∞)上的减函数,则 a 的取值范围是( , x ? 1 ? ?x
A.(0,3) 12.已知函数 f(x)= ? A.2 013 C.2 015 B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2] )

)

? ?log 2 ? 5 ? x ? , x ? 1, 则 f(2 015)=( ? ?f ? x ? 1? ? 1, x ? 1,
B.2 014 D.2 016

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知函数 f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2x,则满足不等式 f(x)>0 的 x 的取值范围 是 .

14.圆心在直线 x=2 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,﹣4) ,B(0,﹣2) ,则圆 C 的方程为.
* 15.已知数列{an}满足 a1=19, an ?1 ? an ? 2 (n ? N ),则当数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值

时,n 的值为_________. 16.已知函教 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0)的图象与直线 y=b(0<b<A)的三个 相邻交点的横坐标分别是 2,4,8,则 f(x)的单调递增区间是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
2

17. .(本小题满分 12 分)
x ? ?2 ? 2 ? 8, 已知命题p:实数x满足不等式组 ? 2 ? ? x ? 6 x ? 8 ? 0,

命题 q:实数x满足不等式 ( x ? 1)( x ? a ? 12) ? 0 (其中 a ? R ). (Ⅰ) 解命题 p中的不等式组; (Ⅱ) 若p是q的充分条件,求a的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 某软件公司新开发一款学习软件,该软件把学科知识设计为由易到 难共 12 关的闯关游戏.为了激发闯关热情,每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币). 该软件提供了三种奖励方案:第一种,每闯过一关奖励 40 慧币;第二种,闯过第一关奖励 4 慧 币,以后每一关比前一关多奖励 4 慧币;第三种,闯过第一关奖励 0.5 慧币,以后每一关比前一 关奖励翻一番(即增加 1 倍).游戏规定:闯关者须于闯关前任选一种奖励方案. (1)设闯过 n(n∈N,且 n≤12)关后三种奖励方案获得的慧币依次为 An,Bn,Cn, 试求出 An,Bn,Cn 的表达式. (2)如果你是一名闯关者,为了得到更多的慧币,你应如何选择奖励方案?

? ? 19. (本小题满分 12 分)已知向量 m=(sinx,1),n=? 3Acosx, cos2x?(A>0), 2 ? ?
A
函数 f(x)=m·n 的最大值为 6. (1)求 A; π (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为 12 1 ? 5π ? 原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在?0, ?上的值域. 24 ? 2 ?

20. (本小题满分 12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 a2=3,S6=36. (1)求数列{an}的通项公式. (2) 若 cn ?

1 an an?1

证明: Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? .......? cn <

1 2

(3)若数列{bn}是等比数列且满足 b1+b2=3,b4+b5=24.设数列{an·bn}的前 n 项和为 Hn,求 Hn. 21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? a ln x ? bx ( x ? 0)
2

3

(1)若函数 f ( x) 在 x=1 处与直线 y ? ?

1 相切. 2

①求实数 a , b 的值;②求函数 f(x) 在 ? , e ? 上的最大值. e
2 (2)当 b ? 0 时,若不等式 f ( x) ? m ? x 对所有的 a ? ?0, ? , x ? 1, e ? ? 都成立, 2

?1 ?

? ?

? 3? ? ?

?

求实数 m 的取值范围.

选做题:考生在下 2 题中任选 1 题作答,如果多做,则按第一题计分,作答时请标明题号。 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程
? 2 t, ? x ? ?4 ? 2 (其中 t 为参数) 在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ? .现以坐 ? 2 ? y ? ?2 ? t ? ? 2

标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? . (Ⅰ) 写出直线 l 和曲线 C 的普通方程; (Ⅱ) 已知点 P 为曲线 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离的最大值.

23.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | . (Ⅰ) 当 a ? ?2 时,解不等式 f ( x) ≥16? | 2 x ? 1| ;
2] ,求证: f ( x) ? f ( x ? 2) ≥ 2a . (Ⅱ) 若关于 x 的不等式 f ( x) ≤1 的解集为 [0,

2016 届东山二中高三年期中考数学(文)试卷 A 答案 1---12. CABAB BDACD DD 14(x﹣2) +(y+3) =5
2 2

13. (-1,0)∪(1,+∞)

. 15. 10

16. [6k,6k+3],k∈Z
4

17. (Ⅰ)由 2 ? 2 x ? 8 ,解得1<x<3?????????????????2分 由 x2 ? 6 x ? 8 ? 0 ,解得2<x<4,????????????????..4分 所以该不等式组的解集为{x|2<x<3}??????????????.6分 (Ⅱ)因为p是q的充分条件, 所以2<x<3使关于x的不等式 ( x ? 1)( x ? a ? 12) ? 0 恒成立, 即{ x |2<x<3} ? {x | ( x ? 1)( x ? a ? 12) ? 0} ,(*)???????????8分 (1)当1≥12-a,即a≥11时,不等式 ( x ? 1)( x ? a ? 12) ? 0 的解为 12 ? a ? x ? 1 ,不满足(*) (2)当1<12-a,即a<11时,不等式 ( x ? 1)( x ? a ? 12) ? 0 的解为 1 ? x ? 12 ? a , 于是有 3 ? 12 ? a ,解得a≤9, 故a的范围是(-∞,9]????????????????????12分

18. 【解析】(1)第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列, 所以 An=40n,??????????????????????2 分 第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是 4,公差也为 4 的等差数列, 所以 Bn=4n+

n?n ? 1? 2 ×4=2n +2n,??????????????4 分 2

第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是 0.5,公比为 2 的等比数列,

1 1 ? 2n ? ? 1 所以Cn ? 2 ? ? 2n ? 1? . 1? 2 2 ?????????????????6 分
(2)令 An>Bn,即 40n>2n +2n,解得 0<n<19, 因为 n∈N,且 n≤12,所以 An>Bn 恒成立?????????????8 分 令 An>Cn,即 40n>
2

1 n (2 -1),可得 n<10, 2

所以当 n<10 时,An 最大;当 10≤n≤12 时,Cn>An,?????????10 分 综上,若你是一名闯关者,当你能冲过的关数小于 10 时,应选用第一种 奖励方案;当你能冲过的关数大于等于 10 时,应选用第三种奖励方案???12 分

19. 解:(1)f(x)=m·n π? A 1 ? 3 ? ? = 3Asinxcosx+ cos2x=A? sin2x+ cos2x?=Asin?2x+ ?. 6? 2 ? 2 2 ? ? 因为 A>0,由题意知,A=6. ??..5 分

5

π? ? (2)由(1)f(x)=6sin?2x+ ?. 6? ? π? π ? ? π? π? ? 将函数 y=f (x)的图象向左平移 个单位后得到 y=6sin?2?x+ ?+ ?=6sin?2x+ ?的 12 3? 6 12 ? ? ? ? ? 1 图象;再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变, 2 π? π? ? ? 得到 y=6sin?4x+ ?的图象.因此,g(x)=6sin?4x+ ?. 3? 3? ? ? ?????..10 分

? 5π ? 因为 x∈?0, ?, 24 ? ?

π ?π 7π ? 所以 4x+ ∈? , ?. 6 ? 3 ?3

? 5π ? 故 g(x)在?0, ?上的值域为[-3,6].???.12 分 24 ? ?

20. (1)因为数列{an}是等差数列. 所以 S6=3(a1+a6)=3(a2+a5)=36,则 a2+a5=12, 由于 a2=3,所以 a5=9,从而 d=2,a1=a2-d=1, 所以 an=2n-1????????????????????????4 分 (2) cn ?

1 1 1 1 1 ? ( ? ) = an an?1 ?2n ? 1?(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1? 1 1 1 1 1 ? ? ) Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? .......? cn = ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ?. ? ? ? ? ? ?( 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? ?
=

1 1 1 (1 ? ) < ????????????????????????8 分 2 2n ? 1 2
3

(3)设{bn}的公比为 q,因为 b1+b2=3,b4+b5=24. 所以错误!未找到引用源。=q =8.则 q=2. 从而 b1+b2=b1(1+q)=3b1=3, 所以 b1=1,bn=2 ,所以 an·bn=(2n-1)·2 . 所以 Hn=1×1+3×2+5×2 +?+(2n-3)·2 +(2n-1)·2 . 则 2Hn=1×2+3×2 +5×2 +?+(2n-3)·2 +(2n-1)·2 . 两式相减,得(1-2)Hn=1×1+2×2+2×2 +?+2·2 +2·2 -(2n-1)·2 . 即-Hn=1+2(2 +2 +?+2 )-(2n-1)·2
n n n 1 2 n-1 n 2 n-2 n-1 n 2 3 n-1 n 2 n-2 n-1 n-1 n-1

=1+2(2 -2)-(2n-1)·2 =(3-2n)·2 -3. 所以 Hn=(2n-3)·2 +3??????????????????????.12 分
n

6

21. 解: (1)① f '( x ) ?

a 1 ? 2bx ,? 函数 f ( x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 相切, x 2
??????????.4 分

? f '(1) ? a ? 2b ? 0, ? a ? 1, ? ? ?? 1 解得 ? 1 f (1) ? ?b ? ? , b? . ? ? ? 2 ? 2
② f ( x) ? ln x ?

1 2 1 1 ? x2 x , f '( x) ? ? x ? 2 x x



1 1 ? x ? e 时,令 f '( x) ? 0 得 ? x ? 1 ; e e

令 f '( x) ? 0 ,得 1 ? x ? e; ? f ( x) 在 ? ,1? 上单调递增,在[1,e]上单调递减, e

?1 ? ? ?

? f ( x) max ? f (1) ? ?

1 ????????????????.8 分 2

(2) 当 b=0 时,f(x)=alnx
2 若不等式 f ( x) ? m ? x 对所有的 a ? ?0, ? , x ? 1, e ? ? 都成立 2

? 3? ? ?

?

? 3? 则a ln x ? m ? x 对所有的 a ? ?0, ? , x ? ?1, e2 ? ? 都成立 ? 2?
即a ?

3 m? x 2 对所有的 a ? [0, ] , x ? [1, e ] 都成立, 2 ln x m? x 2 2 ?0? 对所有的 x ? [1, e ] 都成立, ? m ? x ? 0 对所有的 x ? [1, e ] 都成立, ln x

? m ? ? x 对所有的 x ? [1, e 2 ] 都成立,

?????????.12 分

22. (Ⅰ)由题,消去直线 l 参数方程中的参数 t 得普通方程为 y ? x ? 2 . 又由 ? ? 2cos ? 得 ? 2 ? 2? cos? ,
? x=? cos ? , 由? 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 . ·········· 5 分 y = ? sin ? ?
7

(Ⅱ)曲线 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 可化为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 , 设与直线 l 平行的直线为 y ? x ? b , 当直线 l 与曲线 C 相切时,有
1? b 2 ? 1 ,即 b ? ?1 ? 2 ,

于是当 b ? ?1 ? 2 时,P 到直线 l 的距离达到最大,最大值为两平行线的距离即

2 ? (?1 ? 2) 2

?

3 2 ?1 . 2

(或先求圆心到直线的距离为

3 2 ,再加上半径 1,即为 P 到直线 l 距离的最大值 2

3 2 ? 1 )?????????????????????10 分 2

23. (1)当 a ? ?2 时,不等式为 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 16 , 当 x≤-2 时,原不等式可化为-x-2-2x+1≥16,解之得 x≤ ?
17 ; 3

1 当-2<x≤ 时,原不等式可化为 x+2-2x+1≥16,解之得 x≤-13,不满足,舍去; 2
1 当 x> 时,原不等式可化为 x+2+2x-1≥16,解之得 x≥5; 2

不等式的解集为 {x | x ? ?

17 或x ? 5} ???????????????5 分 3

(2) f ( x ) ? 1 即 x ? a ? 1 ,解得 a ? 1 ? x ? a ? 1 ,而 f ( x ) ? 1 解集是 ?0, 2? ,
? a ? 1 ? 0, 所以 ? 解得 a ? 1 , ? a ? 1 ? 2,

从而 f ? x ? ? x ? 1 , 于是只需证明 f ? x ? ? f ( x ? 2) ? 2 , 即证 x ? 1 ? x+1 ? 2 , 因为 x ? 1 ? x+1 = 1 ? x ? x+1 ? 1 ? x ? x+1 =2 , 所以 x ? 1 ? x+1 ? 2 ,证毕????????????????????10 分

8


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