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【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义:第七章 7.4


§ 7.4

归纳与类比

1.归纳推理:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种 属性. 我们将这种推理方式称为归纳推理(简称归纳). 简言之, 归纳推理是由部分到整体、 由个别到一般的推理. 归纳推理的基本模式:a、b、c∈M 且 a、b、c 具有某属性, 结论:任意 d∈M,d 也具有某属性. 2.类比推理:由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特 征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理(简称类 比).简言之,类比推理是两类事物特征之间的推理. 类比推理的基本模式:A:具有属性 a,b,c,d; B:具有属性 a′,b′,c′; 结论:B 具有属性 d′. (a,b,c,d 与 a′,b′,c′,d′相似或相同) 3.归纳推理和类比推理是最常见的合情推理,合情推理的结果不一定正确. 4.演绎推理是根据已知的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确. (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理. ( × ( √ ) )

(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( × ) (4)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数,某数 m 是 3 的倍数,则 m 一定是 9 的倍数”,这是 三段论推理,但其结论是错误的. (5)一个数列的前三项是 1,2,3,那么这个数列的通项公式是 an=n(n∈N+). (6) 2 2+ =2 3 2 , 3 3 3+ =3 8 3 , 8 4 4+ =4 15 4 ,?, 15 ( √ ( × ) )

b 6+ =6 a

b (a, a ) )

b 均为实数),则可以推测 a=35,b=6. 2.数列 2,5,11,20,x,47,?中的 x 等于 A.28 答案 B B.32 C.33 D.27

( √ (

解析 5-2=3,11-5=6,20-11=9, 推出 x-20=12,所以 x=32. 3.观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,?,则 52 011 的后四位数字为 ( A.3 125 答案 D 解析 55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,可得 59 与 55 的后四 位数字相同,?,由此可归纳出 5m
+4k

)

B.5 625

C.0 625

D.8 125

与 5m(k∈N+,m=5,6,7,8)的后四位数字相同,又 2

011=4×501+7,所以 52 011 与 57 后四位数字相同为 8 125,故选 D. 4.(2013· 陕西)观察下列等式 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-42=-10 ?? 照此规律,第 n 个等式可为_________________.
+ + n?n+1? 答案 12-22+32-42+?+(-1)n 1n2=(-1)n 1· 2

解析 观察等式左边的式子,每次增加一项,故第 n 个等式左边有 n 项,指数都是 2, 且正、负相间,所以等式左边的通项为(-1)n 1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间,


其绝对值分别为 1,3,6,10,15,21,?.设此数列为{an},则 a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3 =4,a5-a4=5,?,an-an-1=n,各式相加得 an-a1=2+3+4+?+n,即 an=1+2 n?n+1? + +3+?+n= .所以第 n 个等式为 12-22+32-42+?+(-1)n 1n2= 2 (-1)n
+1

n?n+1? . 2

5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类比以 T16 上结论有设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn, 则 T4,________,________, 成等比数列. T12 答案 T8 T12 T4 T8

解析 对于等比数列,通过类比,有等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4=a1a2a3a4,T8 =a1a2?a8,T12=a1a2?a12, T16=a1a2?a16, T8 T12 T16 因此 =a5a6a7a8, =a9a10a11a12, =a13a14a15a16, T4 T8 T12 T8 T12 T16 而 T4, , , 的公比为 q16, T4 T8 T12

T8 T12 T16 因此 T4, , , 成等比数列. T4 T8 T12

题型一 归纳推理 例1 1 设 f(x)= x ,先分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般 3+ 3

性结论,并给出证明. 思维启迪 解题的关键是由 f(x)计算各式,利用归纳推理得出结论并证明. 解 f(0)+f(1)= 1 1 + 1 3+ 3 3+ 3
0



3-1 3- 3 1 1 3 + = + = , 2 6 3 1+ 3 3+ 3 3 , 3

同理可得:f(-1)+f(2)= f(-2)+f(3)=

3 ,并注意到在这三个特殊式子中,自变量之和均等于 1. 3 3 . 3

归纳猜想得:当 x1+x2=1 时,均为 f(x1)+f(x2)= 证明:设 x1+x2=1, ∵f(x1)+f(x2)= = 1 1 + 3x1+ 3 3x2+ 3

?3x1+ 3?+?3x2+ 3? ?3x1+ 3??3x2+ 3? 3x1+3x2+2 3 3x1+x2+ 3?3x1+3x2?+3 3x1+3x2+2 3 3?3x1+3x2?+2×3 3x1+3x2+2 3 3 = . 3?3x1+3x2+2 3? 3 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提







思维升华

所包含的范围. (2)归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的. (3)归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和科学的发现很有用. (1)观察下列等式 1=1

2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ? 照此规律,第五个等式应为_________________________________. 1 1 1 5 7 (2)已知 f(n)=1+ + +?+ (n∈N+),经计算得 f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f(32)> ,则 2 3 n 2 2 有____________________________________________. 答案 (1)5+6+7+8+9+10+11+12+13=81 n+2 (n≥2,n∈N+) 2

(2)f(2n)> 解析

(1)由于 1=12,2+3+4=9=32,3+4+5+6+7=25=52,4+5+6+7+8+9+10=

49=72,所以第五个等式为 5+6+7+8+9+10+11+12+13=92=81. n+2 4 5 6 7 (2)由题意得 f(22)> ,f(23)> ,f(24)> ,f(25)> ,所以当 n≥2 时,有 f(2n)> . 2 2 2 2 2 n+2 故填 f(2n)> (n≥2,n∈N+). 2 题型二 类比推理 例2 nb-ma 已知数列{an}为等差数列,若 am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N+),则 am+n= . n-m 类比等差数列{an}的上述结论,对于等比数列{bn}(bn>0,n∈N+),若 bm=c,bn=d(n- m≥2,m,n∈N+),则可以得到 bm+n=________. 思维启迪 等差数列{an}和等比数列{bn}类比时,等差数列的公差对应等比数列的公比, 等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算,等差数列的乘除法运算对应等比数 列中的乘方开方运算. 答案 n-m dn cm

解析 设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q. nb-ma - 因为 an=a1+(n-1)d,bn=b1qn 1,am+n= , n-m n-m dn 所以类比得 bm+n= cm 思维升华 (1)进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比,提

出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键. (2)类比推理常见的情形有平面与空间类比;低维的与高维的类比;等差数列与等比数列 类比;数的运算与向量的运算类比;圆锥曲线间的类比等.

(3)在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两 点:①找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积等等; ②找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对 应面积相等. (1)给出下列三个类比结论: ①(ab)n=anbn 与(a+b)n 类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay 与 sin(α+β)类比,则有 sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2 与(a+b)2 类比,则有(a+b)2=a2+2a· b+b2. 其中结论正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形,则矩形的对角线长即为直角三角 形外接圆直径,以此可求得外接圆半径 r= a2+b2 (其中 a,b 为直角三角形两直角边 2

长).类比此方法可得三条侧棱长分别为 a,b,c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径 R= ________. 答案 解析 (1)B (2) a2+b2+c2 2

(1)①②错误,③正确.

(2)由平面类比到空间,把矩形类比为长方体,从而得出外接球半径. 题型三 演绎推理 例3 a 已知函数 f(x)=- x (a>0,且 a≠1). a+ a 1 1 (1)证明:函数 y=f(x)的图像关于点( ,- )对称; 2 2 (2)求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. 思维启迪 证明本题依据的大前提是中心对称的定义,函数 y=f(x)的图像上的任一点关 a 1 于对称中心的对称点仍在图像上. 小前提是 f(x)=- x (a>0 且 a≠1)的图像关于点( , 2 a+ a 1 - )对称. 2 (1)证明 函数 f(x)的定义域为全体实数,任取一点(x,y), 1 1 它关于点( ,- )对称的点的坐标为(1-x,-1-y). 2 2 a a ax a 由已知得 y=- x ,则-1-y=-1+ x =- x ,f(1-x)=- 1-x =- a+ a a+ a a+ a a + a

a a + a ax

a· ax ax =- =- ,∴-1-y=f(1-x), a+ a· ax ax+ a

1 1 即函数 y=f(x)的图像关于点( ,- )对称. 2 2 (2)解 由(1)知-1-f(x)=f(1-x),

即 f(x)+f(1-x)=-1. ∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1. 则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. 思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论,演绎推理的前 提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提,一般地,若大前提不明 确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提. 已知函数 y=f(x),满足:对任意 a,b∈R,a≠b,都有 af(a)+bf(b)>af(b) +bf(a),试证明:f(x)为 R 上的单调增函数. 证明 设 x1,x2∈R,取 x1<x2, 则由题意得 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1), ∴x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]>0, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0, ∵x1<x2,∴f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1). 所以 y=f(x)为 R 上的单调增函数.

高考中的合情推理问题

典例: (1)(5 分)(2013· 湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数, 如三角形数 n?n+1? 1 2 1 1,3,6,10,?,第 n 个三角形数为 = n + n,记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3), 2 2 2 以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 1 1 N(n,3)= n2+ n, 2 2 N(n,4)=n2, 3 1 N(n,5)= n2- n, 2 2 N(n,6)=2n2-n

??????????????? 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=____________.

思维启迪 从已知的部分 k 边形数观察一般规律写出 N(n,k),然后求 N(10,24). k-2 2 4-k 解析 由 N(n,4)=n2, N(n,6)=2n2-n, 可以推测: 当 k 为偶数时, N(n, k)= n+ 2 2 n, 24-2 4-24 ∴N(10,24)= ×100+ ×10 2 2 =1 100-100=1 000. 答案 1 000 x2 y2 (2)(5 分)若 P0(x0,y0)在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)外,过 P0 作椭圆的两条切线的切点为 P1, a b P2,则切点弦 P1P2 所在的直线方程是 x0x y0y + =1,那么对于双曲线则有如下命题:若 a2 b2

x2 y2 P0(x0,y0)在双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)外,过 P0 作双曲线的两条切线,切点为 P1,P2, a b 则切点弦 P1P2 所在直线的方程是__________________. 思维启迪 直接类比可得. 解析 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则 P1,P2 的切线方程分别是 x1x y1y x2x y2y 2 - 2 =1, 2 - 2 =1. a b a b 因为 P0(x0,y0)在这两条切线上, x1x0 y1y0 x2x0 y2y0 故有 2 - 2 =1, 2 - 2 =1, a b a b x0x y0y 这说明 P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线 2 - 2 =1 上, a b x0x y0y 故切点弦 P1P2 所在的直线方程是 2 - 2 =1. a b 答案 x0x y0y - =1 a2 b2

(3)(5 分)在计算“1×2+2×3+?+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写 第 k 项: 1 k(k+1)= [k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],由此得 3 1 1×2= (1×2×3-0×1×2), 3 1 2×3= (2×3×4-1×2×3), 3 ?, 1 n(n+1)= [n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]. 3

1 相加,得 1×2+2×3+?+n(n+1)= n(n+1)· (n+2). 3 类 比 上 述 方 法 , 请 你 计 算 “1×2×3 + 2×3×4 + ? + n(n + 1)· (n + 2)” , 其 结 果 为 ________________________. 思维启迪 根据两个数积的和规律猜想,可以利用前几个式子验证. 1 解析 类比已知条件得 k(k+1)(k+2)= [k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)], 4 1 由此得 1×2×3= (1×2×3×4-0×1×2×3), 4 1 2×3×4= (2×3×4×5-1×2×3×4), 4 1 3×4×5= (3×4×5×6-2×3×4×5), 4 ?, 1 n(n+1)(n+2)= [n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]. 4 以上几个式子相加得: 1 1×2×3+2×3×4+?+n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)(n+3). 4 答案 1 n(n+1)(n+2)(n+3) 4

温馨提醒 (1)合情推理可以考查学生的抽象思维能力和创新能力,在每年的高考中经常会考 到; (2)合情推理的结论要通过演绎推理来判断是否正确.

方法与技巧 1.合情推理的过程概括为 从具体问题出发 ― → 观察、分析、比较、联想 ― → 归纳、类比 ― → 提出猜想 2.演绎推理是从一般的原理出发,推出某个特殊情况的结论的推理方法,是由一般到特殊的 推理,常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行. 失误与防范 1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明. 2. 演绎推理是由一般到特殊的证明, 它常用来证明和推理数学问题, 注意推理过程的严密性, 书写格式的规范性.

3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象,要有猜想或拓展依据.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1.(2012· 江西)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,?, 则 a10+b10 等于 A.28 答案 C 解析 观察规律,归纳推理. 从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右端值等 于它前面两个式子右端值的和,照此规律,则 a10+b10=123. 2.定义一种运算“*”:对于自然数 n 满足以下运算性质: (1)1*1=1, (2) (n+1)*1=n*1+1,则 n*1 等于 A.n 答案 A 解析 由(n+1)*1=n*1+1, 得 n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=?=1*1+(n-1). 又∵1*1=1,∴n*1=n 3.下列推理是归纳推理的是 A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则 P 点的轨迹为椭圆 B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 x2 y2 C.由圆 x2+y2=r2 的面积 πr2,猜想出椭圆 2+ 2=1 的面积 S=πab a b D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 B 解析 从 S1,S2,S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn,是从特殊到一般的推理,所以 B 是归纳 推理,故应选 B. 4.已知△ABC 中,∠A=30° ,∠B=60° ,求证:a<b. 证明:∵∠A=30° ,∠B=60° ,∴∠A<∠B. ∴a<b,其中,画线部分是演绎推理的 A.大前提 答案 B B.小前提 C.结论 D.三段论 ( ) ( ) B.n+1 C.n-1 D.n2 ( ) B.76 C.123 D.199 ( )

解析 由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提. a1+a2+?+an 5.若数列{an}是等差数列,则数列{bn}(bn= )也为等差数列.类比这一性质可 n 知,若正项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比数列,则 dn 的表达式应为 c1+c2+?+cn A.dn= n c1· c2· ?· cn B.dn= n C.dn=
n n n cn 1+c2+?+cn n

(

)

n D.dn= c1· c2· ?· cn 答案 D n?n-1? 解析 若{an}是等差数列,则 a1+a2+?+an=na1+ d, 2 ?n-1? d d ∴bn=a1+ d= n+a1- ,即{bn}为等差数列; 2 2 2
n 1 若{cn}是等比数列,则 c1· c2· ?· cn=c1 · q
+2+?+(n-1)

n?n-1? =cn q , 1· 2

n-1 n ∴dn= c1· c2· ?· cn=c1· q ,即{dn}为等比数列,故选 D. 2 二、填空题 6.仔细观察下面○和●的排列规律:○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●??若依此规律继续下去,得到一系列的○和●,那么在前 120 个○和 ●中,●的个数是________. 答案 14 解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|??, 则前 n 组两种圈的总数是 f(n)=2+3+4+?+(n+1)= 易知 f(14)=119,f(15)=135,故 n=14. 7.定义:若存在常数 k,使得对定义域 D 内的任意两个 x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1 -x2|成立,则称函数 f(x)在定义域 D 上满足利普希茨条件.若函数 f(x)= x(x≥1)满足利 普希茨条件,则常数 k 的最小值为________. 答案 1 2 n?n+3? , 2

解析 由已知中利普希茨条件的定义, 若函数 f(x)= x(x≥1)满足利普希茨条件, 所以存 在常数 k,使得对定义域[1,+∞)内的任意两个 x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-

x2|成立,不妨设 x1>x2,则 k≥ 1 为 . 2

x1- x2 1 1 1 = ,而 0< < ,所以 k 的最小值 x1-x2 x1+ x2 x1+ x2 2

AE AC 8.在平面几何中,△ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为 = ,把这个结论类 EB BC 比到空间:在三棱锥 A-BCD 中(如图所示),平面 DEC 平分二面角 A-CD-B 且与 AB 相交于点 E,则类比得到的结论是________.

答案

BE S△BCD = EA S△ACD

解析 易知点 E 到平面 BCD 与平面 ACD 的距离相等, 故 VE-BCD BE S△BCD = = . VE-ACD EA S△ACD

三、解答题 9.已知等差数列{an}的公差 d=2,首项 a1=5. (1)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)设 Tn=n(2an-5),求 S1,S2,S3,S4,S5;T1,T2,T3,T4,T5,并归纳出 Sn 与 Tn 的 大小规律. 解 (1)由于 a1=5,d=2,

n?n-1? ∴Sn=5n+ ×2=n(n+4). 2 (2)∵Tn=n(2an-5)=n[2(2n+3)-5]=4n2+n. ∴T1=5,T2=4×22+2=18,T3=4×32+3=39, T4=4×42+4=68,T5=4×52+5=105. S1=5,S2=2×(2+4)=12,S3=3×(3+4)=21, S4=4×(4+4)=32,S5=5×(5+4)=45. 由此可知 S1=T1,当 n≥2 时,Sn<Tn. 归纳猜想:当 n=1 时,Sn=Tn;当 n≥2,n∈N 时,Sn<Tn. 1 1 1 10.在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,求证: 2= 2+ 2,那么在四面体 ABCD AD AB AC 中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由.



如图所示,由射影定理

AD2=BD· DC,AB2=BD· BC, AC2=BC· DC, ∴ = = 1 1 = AD2 BD· DC BC2 BD· BC· DC· BC BC2 . AB2· AC2

AB2+AC2 1 1 1 又 BC2=AB2+AC2,∴ 2= . 2 2 = 2+ AD AB · AC AB AC2 猜想,四面体 ABCD 中,AB、AC、AD 两两垂直,AE⊥平面 BCD, 则 1 1 1 1 = + + . AE2 AB2 AC2 AD2

证明:如图,连接 BE 并延长交 CD 于 F,连接 AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD, ∴AB⊥平面 ACD. ∴AB⊥AF. 在 Rt△ABF 中,AE⊥BF, ∴ 1 1 1 = + . AE2 AB2 AF2

在 Rt△ACD 中,AF⊥CD, ∴ ∴ 1 1 1 = + , AF2 AC2 AD2 1 1 1 1 = + + . AE2 AB2 AC2 AD2 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0?a=b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b=0?a=b”; ②“若 a, b, c, d∈R, 则复数 a+bi=c+di?a=c, b=d”类比推出“若 a, b, c, d∈Q, 则 a+b 2=c+d 2?a=c,b=d”; ③若“a,b∈R,则 a-b>0?a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0?a>b”. 其中类比结论正确的个数是 A.0 答案 C 解析 ①②正确,③错误.因为两个复数如果不全是实数,不能比较大小. B.1 C.2 D.3 ( )

2.设 是 R 的一个运算,A 是 R 的非空子集.若对于任意 a,b∈A,有 a 对运算 是 A.自然数集 C.有理数集 答案 C B.整数集 D.无理数集

b∈A,则称 A

封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的 ( )

解析 A 错:因为自然数集对减法、除法不封闭;B 错:因为整数集对除法不封闭;C 对:因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数,故有理数集对加、减、乘、除 法(除数不等于零)四则运算都封闭;D 错:因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭. 3.平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f(n)个区域,则 f(n)的表达式为________. 答案 n2+n+2 2

解析 1 条直线将平面分成 1+1 个区域;2 条直线最多可将平面分成 1+(1+2)=4 个区 域;3 条直线最多可将平面分成 1+(1+2+3)=7 个区域;??,n 条直线最多可将平面 n?n+1? n2+n+2 分成 1+(1+2+3+?+n)=1+ = 个区域. 2 2 n+2 4.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= S (n∈N+).证明: n n Sn (1)数列{ }是等比数列; n (2)Sn+1=4an. 证明 n+2 (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= S, n n

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn), 即 nSn+1=2(n+1)Sn. 故 Sn+1 Sn =2· , n n+1 (小前提) (结论)

Sn 故{ }是以 2 为公比,1 为首项的等比数列. n (大前提是等比数列的定义,这里省略了) (2)由(1)可知 Sn+1 Sn-1 =4· (n≥2), n+1 n-1

Sn-1 n-1+2 ∴Sn+1=4(n+1)· =4· · S - =4an(n≥2). n-1 n-1 n 1 又∵a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1, ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.

(小前提) (小前提) (结论)

5. 对于三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0), 给出定义: 设 f′(x)是函数 y=f(x)的导数, f″(x)

是 f′(x)的导数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数 y=f(x)的“拐 点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有 1 1 5 对称中心,且“拐点”就是对称中心.若 f(x)= x3- x2+3x- ,请你根据这一发现, 3 2 12 1 1 5 (1)求函数 f(x)= x3- x2+3x- 的对称中心; 3 2 12 1 2 3 4 2 012 (2)计算 f( )+f( )+f( )+f( )+?+f( ). 2 013 2 013 2 013 2 013 2 013 解 (1)f′(x)=x2-x+3,f″(x)=2x-1,

1 由 f″(x)=0,即 2x-1=0,解得 x= . 2 1 1 1 1 1 1 5 f( )= ×( )3- ×( )2+3× - =1. 2 3 2 2 2 2 12 1 1 5 1 由题中给出的结论,可知函数 f(x)= x3- x2+3x- 的对称中心为( ,1). 3 2 12 2 1 1 5 1 (2)由(1),知函数 f(x)= x3- x2+3x- 的对称中心为( ,1), 3 2 12 2 1 1 所以 f( +x)+f( -x)=2,即 f(x)+f(1-x)=2. 2 2 1 2 012 故 f( )+f( )=2, 2 013 2 013 2 2 011 f( )+f( )=2, 2 013 2 013 3 2 010 f( )+f( )=2, 2 013 2 013 ? 2 012 1 f( )+f( )=2. 2 013 2 013 1 2 3 4 2 012 1 所以 f( )+f( )+f( )+f( )+?+f( )= ×2×2 012=2 012. 2 013 2 013 2 013 2 013 2 013 2


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