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【课堂新坐标】2013-2014学年高中数学 3.1.4 空间向量的直角坐标运算课后知能检测 新人教B版选修2-1


【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 3.1.4 空间向 量的直角坐标运算课后知能检测 新人教 B 版选修 2-1

一、选择题 1.在空间直角坐标系 Oxyz 中,下列说法正确的是( → A.向量AB的坐标与点 B 的坐标相同 → B.向量AB的坐标与点 A 的坐标相同 → → C.向量AB与向量OB的坐标相同 → → → D.向量AB与向量OB-OA的坐标相同 → → → 【解析】 因为 A 点不一定为坐标原点,所以 A 不对,B、C 都不对,由于AB=OB-OA, 故 D 正确. 【答案】 D 2.已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(4,1,3)、B(2,-5,1)、C(3,7,λ ),若AB⊥AC, 则( ) A.λ =28 C.λ =14 B. λ =-28 D.λ =-14 )

→ →

【解析】 由题意可得AB=(-2,-6,-2),



→ → → AC=(-1,6,λ -3),∵AB⊥AC,
∴AB?AC=(-2)?(-1)+(-6)?6+(-2)(λ -3)=0.∴λ =-14. 【答案】 D 3.已知向量 a =(2,-3,5)与向量 b =(-4,x,y)平行,则 x,y 的值分别是 ( A.6 和-10 C.-6 和-10 B.-6 和 10 D.6 和 10 )

→ →

2 -3 5 【解析】 ∵a ∥b ,∴ = = , -4 x y

1

∴x=6,y=-10. 故选 A. 【答案】 A 4.已知 a =(1-t,1-t,t),b =(2,t,t)则|b -a |的最小值是( A. 5 5 3 5 5 B. 55 5 11 5 )

C.

D.

【解析】 b -a =(1+t,2t-1,0), ∴|b -a |= +t
2



t-

2

+0 =

2

t-

1 5

2

9 + . 5

1 3 5 ∴当 t= 时,|b -a |min = . 5 5 【答案】 C → → → 5.已知 A(1,0,0),B(0,-1,1),OA+λ OB与OB的夹角为 120°(O 为坐标原点),则 λ 的值为( A.± ) 6 6 6 6 B. 6 6

C.-

D.± 6

→ → 【解析】 ∵OA+λ OB=(1,-λ ,λ ), → → → ∴(OA+λ OB)?OB=λ +λ =2λ , → → → 2 |OA+λ OB|= 1+2λ ,|OB|= 2. ∴cos 120°= 1 =- , 2 1+2λ 2? 2 2λ

∴λ =-

6 ,故选 C. 6

【答案】 C 二、填空题 → → 6.已知 A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量AB与AC的夹角为________. → → 【解析】 ∵AB=(0,3,3),AC=(-1,1,0), → → ∴|AB|=3 2,|AC|= 2,

2



AB?AC=0?(-1)+3?1+3?0=3,
→ → 1 = , → → 2 |AB||AC| →





AB,AC =
→ →

AB?AC





AB,AC =60°.

【答案】 60° 7.(2013?南通高二检测)已知向量 a =(0,-1,1),b =(4,1,0),|λ a +b |= 29, 且 λ >0,则 λ =________. 【解析】 ∵a =(0,-1,1),b =(4,1,0),∴λ a +b =(4,1-λ ,λ ). 又∵|λ a +b |= 29,∴16+(1-λ )2 +λ 2 =29,∴λ =3 或-2.又∵λ >0,∴λ = 3. 【答案】 3 8. 已知点 A, B, C 的坐标分别为(0,1,0), (-1,0, -1), (2,1,1), 点 P 的坐标为(x,0,

→ → → → z),若PA⊥AB, PA⊥AC,则 P 点的坐标为______.
【解析】 PA=(-x,1,-z),AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1), 由PA⊥AB,得 x-1+z=0, 由PA⊥AC,得-2x-z=0. 解得 x=-1,z=2. 【答案】 (-1,0,2) 三、解答题 9.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). 若|a |= 3,且 a 分别与AB、AC垂直,求向量 a 的坐标. 【解】 → → 设 a =(x,y,z),AB=(-2,-1,3),







→ → → →

→ →

AC=(1,-3,2),
根据题意,

?-2x-y+3z=0, ? 得?x-3y+2z=0, 2 2 2 ? ?x +y +z =3,

?x=1, ? 解得?y=1, ? ?z=1

?x=-1, ? 或?y=-1, ? ?z=-1.

∴a =(1,1,1)或(-1,-1,-1). 10.已知 a =(3,-2,-3),b =(-1,3,1),求:
3

(1)(a -2b )?(2a +b ); (2)以 a ,b 为邻边的平行四边形的面积. 【解】 (1)a -2b

=(3,-2,-3)-2(-1,3,1)=(5,-8,-5), 2a +b =2(3,-2,-3)+(-1,3,1)=(5,-1,-5). ∴(a -2b )?(2a +b )=(5,-8,-5)?(5,-1,-5) =5?5+(-8)?(-1)+(-5)?(-5)=58. (2)∵

a ,b

a ?b -12 6 2 = = =- , |a ||b | 11 22? 11 a ,b =
1- 72 7 = . 121 11



a ,b

= 1-cos2

∴S? =|a |?|b = 22? 11?

a ,b
7 =7 2. 11

∴以 a ,b 为邻边的平行四边形的面积为 7 2. 11.在正方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 中,M 是 AA1 的中点,问当点 N 位于 AB 何处时,MN⊥MC1? 【解】 以 A 为坐标原点,棱 AB,AD,AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴, z 轴,建立空

间直角坐标系,设正方体棱长为 a,

则 M(0,0, ),C1 (a,a,a),N(x,0,0). 2 → a → a MC1 =(a,a, ),MN=(x,0,- ), 2 2 → → a2 a MN?MC1 =xa- =0,得 x= . 4 4 所以点 N 的坐标为( ,0,0),即 N 为 AB 的四等分点且靠近 A 点时,MN⊥MC1 . 4

a

a

4


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