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2014年高考哈师大附中一模文科数学参考答案


2014 年东北三校一模文数参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. 1 C 2 C 3 A 4 C 5 A 6 D 7 D 8 A 9 D 10 C 11 A 12 B

3 5

14. ?

10 3

15. 4?

16. (1) (3)

三、解答题 17.解:(Ⅰ) sin B ? sin( A ? C ) ? 2sin 2C

? sin( A ? C ) ? sin( A ? C ) ? 4sin C cos C ? sin A ? 2sin C ……………………….2 分

? a ? 2c
又因为 b ? ac ? 2c
2 2

………………………4 分

所以 cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 3 ? ……………………….6 分 2ac 4
6, c ? 3 ……………………….8 分 2

(Ⅱ) b ? 3 ? a ?

又因为 sin B ? 1 ? cos B ?
2

7 ……………………….10 分 4

所以 S? ABC ?

1 3 ac sin B ? 7 ……………………….12 分 2 8

18.解: (Ⅰ)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元”为事件 A??1 分 由 200 ? S ? 600 ,得 150 ? w ? 250 ,频数为 39,??3 分

P( A) ?

39 ……………………….4 分 100

(Ⅱ根据以上数据得到如下列联表:

非重度污染 供暖季 非供暖季 合计 22 63 85

重度污染 8 7 15

合计 30 70 100 …………………….8 分

K 的观测值 k ?
2

100 ? ? 63 ? 8 ? 22 ? 7 ? 85 ?15 ? 30 ? 70

2

? 4.575 ? 3.841 ……………………….10 分

所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. ……………………….12 分

19.(Ⅰ)证明:?侧棱 SA ? 底面 ABCD , CD ? 底面 ABCD ……………………….1 分 ? SA ? CD . 又?底面 ABCD 是直角梯形, AD 垂直于 AB 和 DC ? AD ? CD ,又 AD ? SA ? A

? CD ? 侧面 SAD ,……………………….3 分 AE ? 侧面 SAD
? AE ? CD, AE ? SD, CD ? SD ? D ? AE ? 平面 SDC ……………………….5 分
(Ⅱ)

CD ? AD ? 1 ? ? CD ? 平面ASD ? CD ? SD ? S? EDC ? ED ? DC AE ? CD ? 2
在 Rt? ASD 中 SA ? 2, AD ? 1, AE ? SD ? ED ?

??7 分

1 2 , AE ? 5 5
??9 分

1 1 ? S? EDC ? ? ?1 2 5 ,
? ? CD ? 平面SCD ? ? AB // 平面SCD , 又因为 AB ? 平面SCD ? ? AB // CD
所以点 B 到平面 SCD 的距离等于点 A 到平面 SCD 的距离 AE 所以 VB ?CDE ? 3 S ? CDE ? AE ? 15 20.解:

??11 分 ??12 分

1

1

? 2 c, ?a ? 2 2 ? ? ? a ? 2, 2 2 2 (Ⅰ)依题意有 ? ,又因为 ,所以得 a ? b ? c ? 2 9 ? ?b ? 1. ?1 4 ? 2 ? 2 ?1 ?a b x2 ? y 2 ? 1. 故椭圆 C 的方程为 2 (Ⅱ)设直线 AC : y ? k1 x ,直线 BD : y ? k2 x 。
联立

??4 分

? x2 2 2 ? ? y ? 1, 2 2 2 2 得方程 (2k1 ? 1) x ? 2 ? 0 的两个根,即 xA ? xC ? ??6 分 ?2 2 2 k ? 1 1 ? y ? k x, ? 1 2 2 故 | OA |?| OC |? 1 ? k1 ? . 2 2k1 ? 1
同理, | OB |?| OD |? 1 ? k 2 ?
2

2 2k 2 ? 1
2

. ??8 分

又因为 AC ? BD ,所以 | OB |?| OD |? 1 ? (

1 2 2 ) ? ,其中 k1 ? 0 . 1 2 k1 2( ) ? 1 k1

从而菱形 ABCD 的面积 S 为

S ? 2 | OA | ? | OB | ? 2 1 ? k1 ?

2

1 2 ? 1 ? ( )2 ? , 1 k1 2k ? 1 2( ) 2 ? 1 k1
2 1

2

整理得 S ? 4

1 2? 1 (k1 ? 1 2 ) k1

,其中 k1 ? 0 . ??10 分

故,当 k1 ? 1 或 ? 1时, 菱形 ABCD 的面积最小,该最小值为

??11 分

8 . 3

??12 分

21. 解: (Ⅰ)∵函数的定义域为 R, f ?( x) ? ?

x ……………………….2 分 ex

∴当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 。 ∴ f ( x) 在 (??, 0) 上单调递增,在 (0, ? ?) 上单调递减。……………………….4 分 (Ⅱ)假设存在 x1 , x2 ? [0, 1] ,使得 2? ( x1 ) ? ? ( x2 ) 成立,则 2[? ( x)]min ? [? ( x)]max 。 ∵ ? ( x) ? xf ( x) ? tf ?( x) ? e ∴ ? ?( x) ?
?x

?

x 2 ? (1 ? t ) x ? 1 ex

? x 2 ? (1 ? t ) x ? t ( x ? t )( x ? 1) ?? ………………………6 分 x e ex
e ? 1。 2

① 当 t ? 1 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [0, 1] 上单调递减,∴ 2? (1) ? ? (0) ,即 t ? 3 ?

……………………….8 分 ②当 t ? 0 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [0, 1] 上单调递增,∴ 2? (0) ? ? (1) ,即 t ? 3 ? 2e ? 0 。 ……………………….10 分 ③当 0 ? t ? 1 时, 在 x ? ?0, t ? , ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [0, t ] 上单调递减 在 x ? ?t ,1? , ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [t , 1] 上单调递增 所以 2? (t ) ? max{? (0), ? (1)} ,即 2 由(Ⅰ)知, g (t ) ? 2

t ?1 在 [0,1] 上单调递减 et 4 t ?1 2 3?t 3 故 ? 2 t ? 2 ,而 ? ? ,所以不等式 (*) 无解 e e e e e e 综上所述,存在 t ? (??,3 ? 2e) ? (3 ? , ??) ,使得命题成立. ………………………12 分 2

t ?1 3?t ? max{1, } —— (*) t e e

22.证明:
(Ⅰ)连结 AB .因为△ PBC ∽△ PDB ,所以

A

BD PD . ? BC PB
D

O Q B ??5 分 C

AD PD 同理 . ? AC PA
又因为 PA ? PB ,所以

P

BD AD BD BC ,即 . ? ? BC AC AD AC

(Ⅱ)因为 ?BAC ? ?PBC ? ?DAQ , ?ABC ? ?ADQ , 所以△ ABC ∽△ ADQ ,即

BC DQ . ? AC AQ



BD DQ . ? AD AQ

又因为 ?DAQ ? ?PBC ? ?BDQ , 所以△ ADQ ∽△ DBQ . ??10 分

1 ? x ? 3? t ? 2 ? 2 2 , t为参数 ……………………….5 分 23.解: (Ⅰ)圆 C: ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 16 ,直线 l: ? ?y ? 5? 3 t ? ? 2
(Ⅱ)将直线的参数方程代入圆的方程可得 t 2 ? (2 ? 3 3)t ? 3 ? 0 ,……………………….8 分 设 t1 , t 2 是方程的两个根,则 t1t2 ? ?3 ,所以 | PA || PB |?| t1 || t2 |?| t1t2 |? 3 ……………………….10 分

24.解:

1 ? x? ?? x ? 3, 2 ? 1 ? (Ⅰ) f ( x) ? ? 3 x ? 1, ? ? x ? 2 , 2 ? x?2 ? x ? 3, ? ?
? 1 ? 1 ? x?? ?? ? x ? 2 ? x ? 2 所以原不等式转化为 ? ??3 分 或? 2 或? 2 x ? 3 ? 2 ? ?? x ? 3 ? 2 ? ? 3x ? 1 ? 2 ?
解得 ?5 ? x ? 1 ,所以原不等式的解集为 {x | ?5 ? x ? 1} ………………….6 分 (Ⅱ)由上问可知函数在[0,1]单调递增,因此只要 f ( x) max ? f (1) ? t ? 3t ,……………………….8 分
2

解得 t ? 2 或 t ? 1 ……………………….10 分


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