当前位置:首页 >> 数学 >>

概率宝典之(2)


《概率宝典(随机变量篇) 》 1. 编号为 1,2,?,9 的 9 个球中任取 3 个球,试求所取 3 个球的编号数依照大小排列位于中 间的编号数 X 的概率分布律。 解: X 2 3 4 5

6
15 84

7
12 84

8
7 84

pk

/>7 84

12 84

15 84

16 84

例如 p4 ? P( X ? 4) =

1 1 C3 C5 15 = 3 84 C9

2. 甲、乙、丙三人进行独立射击,每人的命中率依次为 0.3 ,0 .4 ,0 .6 。设每人射击一次, 求三人命中总数之概率分布律。 解: X 0 1 2 3

0.0 7 2 3. 从一副扑克牌(52 张)中任取 13 张,试求“ A ”张数的概率分布律。
k 13 C 4 C 48 ? k 解: P( X ? k ) = 13 C52

P

0.1 6 8

0.4 3 6

0.3 2 4

( k ? 0,1,2,3,4 )

4. 设一出租车开往目的地要途经 10 个红绿灯,每个红绿灯独立地以 0.3 的概率令他停车, 求(1)首次停车时顺利通过的红绿灯的个数的概率分布; (2)在到达目的地之前恰好 停车 4 次的概率。 解: (1) P( X ? k ) ? 0.7 k 0.3( k ? 0,1,?,9 ) P( X ? 10) ? 0.710 ,
4 (2) P = C10 0.34 0.7 6

5. 某汽车从起点驶出时有 30 名乘客,设沿途有 4 个停靠站,且该车只下不上。每个乘客 在每个站下车的概率相同,并且相互独立。求 (1) 全在终点(即第 4 站)下车的概率; (2) 至少有 2 个乘客在终点站下车的概率; (3) 该车驶过 2 个停靠站后乘客人数降为 15 的概率; (4) 至少有 1 个站无人下车的概率。
30 解: (1) p1 ? C30 ( 1 ) 30 ( 3 ) 0 4 4 0 1 (2) p2 ? 1 ? C30 ( 1 ) 0 ( 3 ) 30 ? C30 ( 1 )1 ( 3 ) 29 4 4 4 4

(3) p3 ? C30 ( 1 ) ( 1 ) 2 2
15 15

15

(以上皆是二项分布问题)

(4) p4 ? 4( 3 ) 4

30

? 6( 2 ) 30 ? 4( 1 ) 30 4 4

6. 设对某批产品的验收方案为: 从该批产品中随机地抽查 5 件产品, 若次品数小于等于 1, 则该批产品通过验收,否则不予通过。若产品的次品率(单件产品不合格率)为 0.05 , 试求该批产品通过验收的概率。 解: P ? 1 ? C5 (0.05) (0.95) ? C5 (0.05) (0.95)
0 0 5 1 1 4

1

7. 某份试卷有 10 道单项选择题,每题共有 A, B, C , D 四个答案供选择。设某人对每道题 均随机地选择答案,求该人 10 道题恰好答对 6 道的概率。
6 解: P ? C10 ( 1 ) 6 ( 3 ) 4 4 4

8. 设某次考试试题个数是随机的,其可能取值为 2,3,4,相应的概率为 p1 , p2 , p3 。规 定凡答对的题目个数多于总题目个数的一半,则通过该次考试。设某人答对每道题目的 概率均为 p ,且诸题之间答对与否相互独立。 (1) 求他通过该次考试的概率; (2) 已知他已通过该次考试,求该次考试恰有 3 道题目的概率。 解:设 A1 =题目个数为 2 个; A2 =题目个数为 3 个; A3 =题目个数为 4 个; B =通过考试 (1) P(B) ? P(B A1 )P( A1 ) ? P(B A2 )P( A2 ) ? P(B A3 )P( A3 )
3 2 = p p1 + [ p 3 ? C3 p 2 (1 ? p)1 ] p2 + [ p 4 ? C4 p 3 (1 ? p)1 ] p3
2

(2)逆概率问题,略。 9. 设甲乙两人进行投篮比赛,甲的命中率为 0 .6 ,乙的命中率为 0 .7 ,规定每人投篮 2 次, 谁投进的球数多即取胜,若投进的球数一样多,则每人再加投一次以决胜负。若仍为同 样则为平局。求:甲获胜,乙获胜,平局的概率。 解:设 Ak =甲第 k 个球投中, Bk =乙第 k 个球投中, A =甲取胜, B =乙取胜

A ={不加赛甲取胜} ? {加赛甲取胜}

P( A) ? 0.297432
10. 设某汽车站在某一时间区间内的候车人数服从参数为 5 的泊松分布,求 (1) 候车人数不多于 2 人的概率; (2) 候车人数多于 10 人的概率。 解: (1) P( X ? 2) =

5 k ?5 ? k! e (2)略 k ?0
2

11. 某一纺纱机在任一间隔为 t (单位:分)的时间区间内出现断头的次数 X 服从参数 为 ?t 的泊松分布,求 (1) 首次断头在 10 分钟以后出现的概率; (2) 在 10 分钟内出现奇数次断头的概率; (3) 两次断头之间的间隔时间 Y (单位:分)的概率分布函数及概率密度。 解: (1) P( X ? 0) =

(10? ) 0 ?10 ? ?10 ? e =e 0!

(2) P( X ? 2k ? 1) ?

(10? ) 2 k ?1 e ?10? ? (2k ? 1)! k ?0
?

(4) 事件 {Y ? y} 表示在时间段 y 内没有断头发生,即 { X ? 0} (在 y 时间段内) ,
2

因此

FY ( y) = P{Y ? y} ? 1 ? P{Y ? y} = 1 ? P{X ? 0} = 1 ? e ?10 y , y ? 0 f Y ( y) = 10e ?10 y
? 0, x ? 0 ? 3 随机变量 X 具有分布函数 F ( x ) ? ? x ,0 ? x ? 1 ,求: ? 1, x ? 1 ?

12.

P( X ? ?3) , P( X ? 1 ) , P( 1 ? X ? 1 ) , P( X ? 1 X ? 2 ) 3 2 2 2 3
解: P( X ? ?3) = F (?3) =0

P( X ? 1 ) = F ( 1 ) ? 2 2

1 8 19 216

P( 1 ? x ? 1 ) = F ( 1 ) ? F ( 1 ) = 3 2 2 3

P( X ? 1 X ? 2 ) = 2 3

P( 1 ? X ? 2 ) F ( 2 ) ? F ( 1 ) 37 2 3 3 2 = = 2 2 64 P( X ? 3 ) F(3)
3 4

13.设随机变量 X 的分布律为:

X

1

2

pk

0 .3

0 .2

0 .4

0 .1

,求 X 的分布函数。

? 0, x ? 1 ? 0.3,1 ? x ? 2 ? ? 解: F ( x) ? ?0.5,2 ? x ? 3 ?0.9,3 ? x ? 4 ? ? 1, x ? 4 ?

0, x ? 2 ? ?1 3 14.设随机变量 X 具有分布函数 F ( x) ? ? ( x ? 2) ,2 ? x ? 4 ,求 X 的概率密度。 8 ? 1, x ? 4 ?
3 ? 8 ( x ? 2) 2 , 2 ? x ? 4 解: f ( x ) ? ? 0, ?

15.设随机变量 X 具有概率密度

? Ax(1 ? x 2 ),0 ? x ? 1 ,求(1)系数 A ; (2) X 的有分布函数; (3) P( 1 ? X ? 1 ) f ( x) ? ? 3 2 0, 其它 ?
解: (1) 1 ?

? Ax(1 ? x
0

1

2

1 )dx = A( 1 ? 1 ) = A ,因此, A ? 4 2 4 4

3

0, x ? 0 ? ? 2 4 (2) F ( x) ? ?2 x ? x ,0 ? x ? 1 ? 1, x ? 1 ?
(3) P( 1 ? x ? 1 ) ? F ( 1 ) ? F ( 1 ) = 3 2 2 3

295 1296

16.设随机变量 X 在 [0,2] ? [3,5] 上服从均匀分布,求 X 的分布函数。 解: f ( x) ? ? 4

?1 ? , x ? [0,2] ? [3,5] ? ? 0

0, x ? 0 ? ? x ,0 ? x ? 2 ? 4 ? 1 , F ( x) ? 1, x ? 5 F ( x) ? ? ,2 ? x ? 3 ? 2 ?1 x ? 3 ,3 ? x ? 5 ? ? 4 ?2
? Ax 2 ,0 ? x ? 2 ? 17.设随机变量 X 具有概率密度 f ( x) ? ? A(4 ? x),2 ? x ? 4 ,求(1)系数 A ; (2) X 的 ? 0, 其它 ?
有分布函数; (3) P(1 ? X ? 3) ; (4)条件概率 P( X ? 1 X ? 3)

0, x ? 0 ? ? 1 3 x ,0 ? x ? 2 ? 3 ? 14 答案: (1) ; (2) F ( x) ? ? ; 3 2 2 10 14 ?? x ? x ? ,2 ? x ? 4 14 14 ? 28 ? 1, x ? 4 ?

(3)

23 23 ;(4) 28 25

P P 18. 设随机变量 X ~ N (5,4) ,1) P( X ? 5) , (3 ? X ? 6) , (3 ? X ? 7) , ( X ? 1) ; ( 求 P
(2)求常数 C 的范围,使 P( X ? 5 ? C) ? 0.99 解: (1) P (

X ?5 5?5 ? ) = P(Z ? 0) = 0.5 2 2 3?5 X ?5 6?5 P( ? ? ) = P(?1 ? Z ? 0.5) = ?(0.5) ? ?(?1) 2 2 2

= ?(0.5) ? ?(1) ? 1 = 0.5328

P(3 ? X ? 7) = 0.6826

P( X ? 1) = P( X ? 1) + P( X ? ?1) = 0.9785

4

(2) P( X ? 5 ? C) ? 0.99 ? P ( Z ?

C C ) ? 0.99 ? 2? ( ) ? 1 ? 0.99 ,得 C ? 5.15 2 2

19.一工厂生产的电子管的寿命 X (以小时为单位)服从参数 ? ? 160, ? , (? ? 0) 的正 态分布,若要求 P(120 ? X ? 200) ? 0.80 ,允许 ? 最大为多少? 解: P(

120 ? 160

?

?

X ? 160

?

?

200 ? 160

?

) = P(

? 40

?

?Z?

40

?

) = 2? (

40

?

) ? 1 ? 0.80

? ?(

40

?

) ? 0.90 ? ? ? 31.25

20.设某批鸡蛋每只的重量 X (以克计)服从正态分布, X ~ N (50,25) (1) (2) (3) (4) (5) 求从该批鸡蛋中任取一只,其重量不足 45 克的概率; 求从该批鸡蛋中任取一只,其重量介于 40 克到 60 克之间的概率; 从该批鸡蛋中任取 5 只,求恰好有 2 只鸡蛋不足 45 克的概率; 求从该批鸡蛋中任取一只其重量超过 60 克的概率; 求最小的 n ,使从中任选 n 只鸡蛋,其中至少有一只鸡蛋的重量超过 60 克的概率大 于 0.99 。
3

2 答案: (1)0.1587 ; (2)0.9544 ; (3)C5 (0.1587 2 (0.8413 ; (5) ) (4)0.0228 ; n ? 200 )

21.某元件的寿命 X (以小时计)服从指数分布,概率密度为
x ? 1 ?? ? e ,x ? 0 f ( x) ? ? ? , 设对于该种元件, 在已知寿命小于 2000 小时的条件下寿命小于 1000 ? 0, x ? 0 ?

小时的概率为 2 ,求该元件寿命大于 3000 小时的概率。 3
? P( X ? 1000) 1 ? e ? 2 ? ,解得 e 解:由条件得 P( X ? 1000X ? 2000 ? = ) 2000 ? 3 P( X ? 2000) 1? e ? 3000
? 1000

1000

?

?

1 2

) 因此 P( X ? 3000 ? e

?

?

?

1 8

2 22.设随机变量 K ~ U [0,10] ,求二次方程 4 x ? 4Kx ? (8K ? 15) ? 0 有实根的概率。 2 2 解: p = P(? ? 0) = P{16K ? 16(8K ? 15)}= P{K ? 8K ? 15 ? 0}

= P{K ? 3} ? P{K ? 5} =

8 10
?1 0.03
0 1 2 3 4 5

23.设随机变量 X 的分布律为:

X P

?3 0.08
2

?2 0.02

0.17

0.15

0.05

0.20

0.16

0.14

求 Y ? X 的概率分布。
5

解: Y

0

1

4

9

16

25

P

0.17

0.18

0.07

0.28

0.16

0.14

24.设某种产品的某项指标要求为 50,厂方规定凡完成一件该种产品则给予酬金 100 元, 但若该指标不符合要求则要扣款,扣款金额为绝对误差的平方(元) ,设某人加工的产品, 该指标 X 为随机变量,服从 N (50,16) 分布。 (1) 求该人完成一件该种产品实得酬金 Y 的概率分布函数 FY ( y) ; (2) 求该人完成一件该种产品后实得酬金为负值的概率。 解: (1)由题义得 Y ? 100? ( X ? 50) 2 ,其中 X ~ N (50,16)

FY ( y) ? P{Y ? y} = P{100? ( X ? 50) 2 ? y} = P{( X ? 50) 2 ? 100? y}
= P{

100 ? y 100 ? y X ? 50 X ? 50 ? 100 ? y X ? 50 ? } ? P{ ? } = 2 P{ ? } 4 4 4 4 4 4 100 ? y )], y ? 100; FY ( y) ? P{Y ? y} =1, y ? 100 4

= 2[1 ? ?(

(2) P{Y ? 0} ? FY (0) = 2[1 ? ?(2.5)] ? 0.0124
X 25.设随机变量 X ~ U [0,1] ,求(1) Y ? e 的概率密度; (2) Z ? ?2 ln X 的概率密度。

z ?1 ?1 ?2 ? ,1 ? y ? e ? e ,z ? 0 答案: (1) f Y ( y ) ? ? y ; (2) f Z ( z ) ? ? 2 ? ? 0, z ? 0 0 ? ?

26.设某正方体的边长 X ~ U [a, b] ,求(1)正方体表面积 Y 的概率密度函数; (2)正方 体体积 Z 的概率密度函数。

1 ? 1 ? 1 1 ?2 3 3 3 ,6a 2 ? y ? 6b 2 ? ? 答案: (1) f Y ( y ) ? ? b ? a 2 6 y ; (2) f Z ( z ) ? ? b ? a 3 z , a ? z ? b ? ? 0 0 ? ?
2 27.设 X ~ N (? , ? ) ,称 Y ? e 所服从的分布为对数正态分布,求 Y 的概率密度。
X

(ln y ? ? ) ? 1 ? 2 ? e 2? , y ? 0 答案: f Y ( y ) ? ? 2? ?y ? 0, y ? 0 ?
2

28.设 X ~ U (?1,1) ,求 Y ? X 的概率密度函数。
2

解: FY ( y) ? P{Y ? y} = P{X ? y} = P{? y ? X ?
2

y}

6

? 0, y ? 0 ? 1 ,0 ? y ? 1 ? ? = ? y ,0 ? y ? 1 ,因此有 f Y ( y ) ? ? 2 y ? 1, y ? 1 ? 0 ? ?
29.设有两种鸡蛋混合放在一起,其中甲种鸡蛋单只的重量(以克为单位)服从 N (50,25) 分布; 乙种鸡蛋单只的重量 (以克为单位) 服从 N (45,16) 分布, 设甲种鸡蛋占总数的 70 % 。 (1) 今从该批鸡蛋中任选一只,试求其重量超过 55 克的概率; (2) 若已知所取出的鸡蛋超过 55 克,问它是甲种鸡蛋的概率是多少? 解:设 X =甲种鸡蛋单只的重量; Y =乙种鸡蛋单只的重量; A =取到甲种鸡蛋; B =取到乙种鸡蛋 (1)设 C =取到的鸡蛋重量超过 55 克,则

P (C ) = P(C A)P( A) ? P(C B)P(B) ,其中 P( A) ? 70% , P( B) ? 30%
X ? 50 55 ? 50 ? } = 1 ? ?(1) = 0.1587 5 5 Y ? 45 55 ? 45 ? } = 1 ? ?(2.5) = 0.0062 , P(C B) = P{Y ? 55} = P{ 4 4

P(C A) = P{X ? 55} = P{

代入 P (C ) = P(C A)P( A) ? P(C B)P(B) = 0.11295 (2) 0.9835

7


相关文章:
概率宝典之(2)
概率宝典(随机变量篇) 》 1. 编号为 1,2,?,9 的 9 个球中任取 3 个球,试求所取 3 个球的编号数依照大小排列位于中 间的编号数 X 的概率分布律...
概率宝典之(3)
概率宝典之(3)_数学_高中教育_教育专区。《概率宝典(多维随机变量) 》 1. 设某人从 1,2,3,4 四个数字中依次取出两个数,记 X 为第一次取出的数, Y 为...
概率宝典之(1)
概率宝典之(1)_数学_高中教育_教育专区。《概率宝典(古典概率篇) 》 1. 从数字 0,1,2,?,9 中依次不放回的取三个数,组成一个三位数(或两位数) ,问(1...
概率宝典之(4)
概率宝典之(4)_中考_初中教育_教育专区。《概率宝典(数字特征篇) 》 1. 设离散型随机变量 X 具有概率分布律: ?2 ?1 X 0 1 2 3 P 0 .1 0 .2 0 ...
概率论宝典
加法公式 减法公式 条件概率公式 与乘法公式 公式表达式 分布名称 指数分布 X~E( ? ) 正态分布 x~N( ? , ? ) 2 密度函数 分布函数 f Y X ( y x)...
概率论宝典
20页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 概率宝典 隐藏>> 概率论和数理统计公式集锦 一、随机事...
江苏事业单位行政职业能力测试答题技巧:概率问题通关宝典
江苏事业单位行政职业能力测试答题技巧:概率问题通关宝典_其它考试_资格考试/认证_...比方说抛硬币, 每一次抛出正面的概率都是相等的, 都是 1/2,且每次试验之间...
成功概率极大的操作技巧
2 http://www.rx9188.com 成功概率极大的操作技巧 一, 赢家重在观念正确 1 一年做一股!忠告,轻易不抛牛股,毕业。首选牛股。得半道, 热点与强势股兼做,投资...
第八讲 概率统计的解题技巧
第八讲 概率统计的解题技巧_数学_高中教育_教育专区。第八讲【命题趋向】概率统计...(2)互斥事件有一个发生的概率:P(A+B)=P(A)+P(B); 特例:对立事件的...
更多相关标签:
折纸战士之折纸宝典2 | 激战2导师宝典 | 金庸群侠传2葵花宝典 | 剑心侠义2.2葵花宝典 | 激战2导师宝典怎么得 | 金庸无双2葵花宝典 | 幻想三国志2攻略宝典 | 神武2阵法技能宝典 |