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4.3.2空间两点间的距离公式


新课导入
通过建立直角坐标系可以确定空间中点的位置。 z z

M (x,y,z)
O x x y y

如何计算空间两点之间的距离?

4.3.2 空间两点间的 距离公式

教学目标
知识与能力
?空间两点间距离公式的导出及使用。

/> 过程与方法
?通过平面两点间的距离公式类比,探索空 间两点距离的求法。

情感态度与价值观
?在操作活动和观察、分析过程中发展主动 探索、质疑和独立思考的习惯。

教学重难点
重点
?空间两点间距离公式。

难点
?空间两点间距离公式的导出。

思考
类比平面两点间距离公式的推导,你能猜想一下 空间两点 P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y 2 , z 2 ) 间的距离公式吗? 平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式
| P1 P2 |? (x 2 ? x1 ) 2 ? (y 2 ? y 1 ) 2

P
1

y

o

P
2

x

空间任一点P(x,y,z)到原点O的距离。 z C 0 P(x,y,z) By

x A
|OA|=|x|, |OB|=|y|, |OC|=|z|

从立体几何可知,|OP| 2 =|OA| 2 +|OB| 2 +|OC| 2

所以

| OP |? x 2 ? y 2 ? z 2

思考
2 2 2 2 如果|OP|是定长r,那么 x ? y ? z ? r 表示什 么图形? z

O
x y

表示以原点为球心,r为半径的球体。

联想
x2 ? y 2 ? r 2 表示什么图形?
y

O r

x

表示以原点为圆心,r为半径的圆。

空间任意两点间的距离. R2 z S2 O x Q1 y Q2

P2 (x2,y2,z2) S1 P1 (x1,y1,z1) R1

|P1Q1|=|x1-x2|; |Q1R1|=|y1-y2|;|R1P2|=|z1-z2|

|P1P2|2=|P1Q1||2+|Q1R1|2+|R1P2|2

| P1P2 |? (x1 ? x 2 )2 ? (y 1 ? y 2 )2 ? (z1 ? z 2 )2

平面内两点 P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y 2 , z 2的距离公式是: )

| P1 P2 |? (x 1 ? x 2 ) 2 ? (y 1 ? y 2 ) 2 ? (z 1 ? z 2 ) 2
z
P1 (x1 , y 1 , z1 )

O
P2 (x2 , y 2 , z 2 ) x

y

例三

已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,1,4),求证其连线组成的三角形为直角三角形。
利用两点间距离公式,由

| AB |? 89, | AC |? 75, | BC|? 14
从而, | AC |
2

? | BC|2 ?| AB |2

根据勾股定理,结论得证。

例四 在四面体P-ABCA中,PA、PB、PC两 两垂直,设PA=PB=PC=a,求点P到平面 ABC的距离。 C P

B

A

根据题意,建立如图所示的坐标系,则P (0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)
z C

x

P A

H B y

过点P作PH⊥平面ABC,交平面ABC于H, 则PH的长即为点P到平面ABC的距离。

z

C
P A H B y

x

a a a ∴H为 ΔABC 的重心,可得点H的坐标为( , , ) 3 3 3 a 2 a 2 a 2 3 ?| PH |? (0 ? ) ? (0 ? ) ? (0 ? ) ? a 3 3 3 3 ∴点P到平面ABC的距离是 3 a 3

∵PA=PB=PC,∴H为 ΔABC 的外心, 又∵ ΔABC 为正三角形,

随堂练习
1.若已知A(1,1,1),B(-3,-3,-3),则 线段AB的长为( A )
A.4 3 C .4 2 B.2 3 D.3 2

2.点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射 影,则OB等于( B )
A. 14 C .2 3

B. 13 D. 11

3.在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距 离都是1,则该点到原点的距离是( A )
6 2 3 C. 2 A.

B. 3 6 D. 3

4.已知ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B (2,-5,1),C(3,7,-5),则点D的坐标为 ( D ) A.(7/2,,4,-1) B.(2,3,1) C.(-3,1,5) D.(5,13,-3)

习题答案
1. (1) 6
(2) 70

2.解:设点M的坐标是(0,0,z)。 依题意,得:

(0 ? 1) 2 ? 0 ? (z ? 2) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? (z ? 1) 2
解得 z=-3。 所以M点的坐标是(0,0,-3)。

3.证明:根据空间两点间距离公式,得:
| AB |? (10 ? 4) 2 ? ( ?1 ? 1) 2 ? (6 ? 9) 2 ? 7 | BC |? (4 ? 2) 2 ? (1 ? 4) 2 ? (9 ? 3) 2 ? 7 | AC |? (10 ? 2) 2 ? ( ?1 ? 4) 2 ? (6 ? 3) 2 ? 98

因为 7 ? 7 ? 98,

且|AB|=|BC|,

所以 ΔABC 是直角三角形。
a 2a 4.由已知,得点N的坐标为 ( , ,0), 3 3 a 2a

点M的坐标为 ( , a, )。 于是 3 3 a a 2 2a 2a 2 5 2 | MN |? ( ? ) ? ( ? a) ? (0 ? ) ? a 3 3 3 3 3


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