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一般形式柯西不等式


天祝二中 课 备 课 题 组

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科教师集体备课教案 总第 课时 2014 年 6 月 10

一般形式柯西不等式 高二年级备课组 主备课人 张忠才

授课时间

备课组成员 1.认识柯西不等式的几种不同形式,理解其几何意义; 教学目标 2.通过运用这种不等式分析解决一些问题,体会运用经典不等式的一般方法 重 难 点 点 一般形式柯西不等式的证明思路,运用这个不等式证明不等式。 应用一般形式柯西不等式证明不等式。 启学法 教师与学生活动 一、课前回顾(知识链接) 定理 1: (柯西不等式的代数形式)设 a, b, c, d 均为实数,则 教学手段 多媒体

教学方法 教 学 过 程

(a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd ) 2 ,其中等号当且仅当 ad ? bc 时成立。
定理 2: (柯西不等式的向量形式)设 ? , ? 为平面上的两个向量,则 | ? | ? | ? |?| ? ? ? | ,其中 等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。 二、新课学习 1、问题探究 类似的,从空间向量的几何背景业能得到|α .β |≤|α || β | .将空间向量的坐标代入,可 得到什么样的不等关系? 2、发现定理 定理 4:一般形式的柯西不等式(教师引导学生推导) 学生齐读记忆定理 记清楚简写形式:

? a ?b
2 i ?1 i i ?1

n

n

2

i

? (? ai bi ) 2 其中等号当且仅当
i ?1

n

b b1 b2 ? ? ? ? n 时成立 (当 a1 a 2 an

。 ai ? 0 时,约定 bi ? 0 , i ? 1,2,…, n ) 三、应用举例: 例3 已知 a1,a2,…, an 都是实数,

1 求证: (a1 ? a2 ? ? ? an ) 2 ? a12 ? a2 2 ? ? ? an 2 n
分析:用 n 乘要证的式子两边,能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。 例 4 已知 a,b,c,d 是不全相等的实数, 证明:a + b + c + d > ab + bc + cd + da(学生用不同的方法证明)
2 2 2 2

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例5、已知

x ? 2 y ? 3 z ? 1,求

x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值.

四、巩固练习: 1.设 x,y,z 为正实数,且 x+y+z=1,求 1 ? 4 ? 9 的最小值。 x y z 2.已知 a+b+c+d=1,求 a +b +c +d 的最小值。 3.已知 a,b,c 为正实数,且 a+2b+3c=9,求 3a ?
2 2 2 2 2 2 2

2b ? c 的最大值。

4.已知 x+y+z= 2 5 ,则 m=x +2y +z 的最小值是____________. 课堂小结 本节课你有什么收获?(本节课的知识点、其中一道例题的其他解法、那些知识点有困惑) 本节课重点掌握三维柯西不等式的运用。 作业布置 P41 习题 3.2 2,3,4,5
2 2 2

选做:1.已知 a,b,c 为正实数,且 a +2b +3c =6,求 a+b+c 的最小值。 2.已知 a,b,c 为正实数,且 a+2b+c=1,求 教 学 反 思

1 1 1 ? ? 的最小值。 a b c


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