当前位置:首页 >> 数学 >>

数系的扩充和复数的概念(教学设计)(1)


数系的扩充和复数的概念(教学设计) (1) §3.1.1 数系的扩充和复数的概念
教学目标: 知识与技能目标: 了解引进复数的必要性;理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相 等) 。理解虚数单位 i 以及 i 与实数的四则运算规律。 过程与方法目标: 通过问题情境,了解扩充数系的必要性,感受数系的扩充过程,体会引入虚数单位 i 和复数形式的合理性,使学生 对数的概念有一个初步的、完整的认识。 情感、态度与价值观目标: 通过问题情境,体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实 世界的联系。 教学重点: 复数的概念,虚数单位 i,复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科 学技术中以及在数学学科中的地位和作用 教学难点: 虚数单位 i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位 i 并同时规定了它的两条性质之 后,自然地得出的.在规定 i 的第二条性质时,原有的加、乘运算律仍然成立 教学过程: 一、创设情境、新课引入: 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳动中,由于计数的需要, 就产生了 1,2,3,4 等数以及表示“没有”的数 0.自然数的全体构成自然数集 N 随着生产和科学的发展,数的概念也得到发展 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数;为了表示各种具有相反意义的量以及 满足记数的需要, 人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集 Q.显然 N Q.如果把自然数集(含正整数和 0)与负整 数集合并在一起,构成整数集 Z,则有 Z Q、N Z.如果把整数看作分母为 1 的分数,那么有理数集实际上就是分数 集 有些量与量之间的比值,例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为了解决这个 矛盾,人们又引进了无理数.所谓无理数,就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起,构成实数集 R.因为有 理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数),无理数都是无限不循环小数,所以实数集实际上就是小数集 因生产和科学发展的需要而逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运 算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无 理数解决了开方开不尽的矛盾.但是,数集扩到实数集 R 以后,像 x2=-1 这样的方程还是无解的,因为没有一个实数 的平方等于-1.由于解方程的需要,人们引入了一个新数 i ,叫做虚数单位.并由此产生的了复数 二、师生互动、新课讲解 1.虚数单位 i :
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

(1)它的平方等于-1,即

i 2 ? ?1 ;

(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立. 2. i 与-1 的关系: i 就是-1 的一个平方根,即方程 x2=-1 的一个根,方程 x2=-1 的另一个根是- i ! 3. i 的周期性: i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n=1
王新敞
奎屯 新疆

4.复数的定义:形如 a ? bi(a, b ? R) 的数叫复数, a 叫复数的实部, b 叫复数的虚部 全体复数所成的集合叫做复
王新敞
奎屯 新疆

数集,用字母 C 表示*

王新敞
奎屯

新疆

3. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi(a, b ? R) ,把复数表示成 a+bi 的形式,叫做复数的代 数形式
王新敞
奎屯 新疆

1

4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系:对于复数 a ? bi(a, b ? R) ,当且仅当 b=0 时,复数 a+bi(a、b∈R)是 实数 a;当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时,z=bi 叫做纯虚数;当且仅当 a=b=0 时,z 就是实数 0.

5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等 这就是说,如果 a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d 复数相等的定义是求复数值,在复数集中解方程的重要依据 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比 较大小.如 3+5i 与 4+3i 不能比较大小. 现有一个命题: “任何两个复数都不能比较大小”对吗?不对 如果两个复数都是实数,就可以比较大小 只有 当两个复数不全是实数时才不能比较大小
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

例 1:请说出复数 2 ? 3i,?3 ?

1 1 i,? i,? 3 ? 5i 的实部和虚部,有没有纯虚数? 2 3 1 1 1 3 ;虚部分别是 3, ,- ,- 5 ;- i 是纯虚数. 2 3 3

答:它们都是虚数,它们的实部分别是 2,-3,0,-

例 2 :复数-2i+3.14 的实部和虚部是什么? 答:实部是 3.14,虚部是-2. 易错为:实部是-2,虚部是 3.14! 例 3(课本 P51 例 1) :实数 m 取什么数值时,复数 z=m+1+(m-1)i 是: (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数? [分析]因为 m∈R,所以 m+1,m-1 都是实数,由复数 z=a+bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定 m 的值. 解:(1)当 m-1=0,即 m=1 时,复数 z 是实数; (2)当 m-1≠0,即 m≠1 时,复数 z 是虚数; (3)当 m+1=0,且 m-1≠0 时,即 m=-1 时,复数 z 是纯虚数. 例 4:已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x,y∈R,求 x 与 y. 解:根据复数相等的定义,得方程组 ?

?2 x ? 1 ? y , 5 ,所以 x= ,y=4 2 ?1 ? ?(3 ? y )

王新敞
奎屯

新疆

课堂练习: (课本 P52 练习 NO:1;2;3) 三、课堂小结,巩固反思: 这节课我们学习了虚数单位 i 及它的两条性质,复数的定义、实部、虚部及有关分类问题,复数相等的充要条件, 复平面等等.基本思想是:利用复数的概念,联系以前学过的实数的性质,对复数的知识有较完整的认识,以及利用转 化的思想将复数问题转化为实数问题。 说明:复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学时,我们采用讲解或体验已 学过的数集的扩充的历史,让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要,也是数学学科自身发展的需要;介绍数的概 念的发展过程,使学生对数的形成、发展的历史和规律,各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学 生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类
2

四、布置作业: A 组: 1.设集合 C={复数} ,A={实数} ,B={纯虚数} ,若全集 S=C,则下列结论正确的是( D ) A.A∪B=C B. CS A=B C.A∩ CS B= ? D.B∪ CS B=C

2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i 为虚数,则实数 x 满足( D ) A.x=-

1 2

B.x=-2 或-

1 2

C.x≠-2

D.x≠1 且 x≠-2

3 满足方程 x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0 的实数对(x,y)表示的点的个数是______.

? x ? 3或x ? ?1 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, ? 解析:由题意知 ? ∴? 1 2 y? ?9 y ? 6 y ? 1 ? 0, ? 3 ?
∴点对有(3,

1 1 ),(-1, )共有 2 个.答案:2 3 3

4(课本 P55 习题 3.1 A 组:NO:1) 5(课本 P55 习题 3.1 A 组:NO:2 6 复数 z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则 z1=z2 的充要条件是______. 解析:z1=z2 ? ?

?a ? c ? a=c 且 b2=d2.答案:a=c 且 b2=d2 ?| b |?| d |

B组 1.知集合 M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i} ,集合 P={-1,3}.M∩P={3} ,则实数 m 的值为( A ) A.-1 B.-1 或 4 C.6 D.6 或-1 2 解析:由题设知 3∈M,∴m -3m-1+(m2-5m-6)i=3

?m 2 ? 3m ? 1 ? 3 ?m ? 4或m ? ?1 ∴? ,∴ ? ∴m=-1,故选 A. 2 m ? 6 或 m ? ? 1 m ? 5 m ? 6 ? 0 ? ?
2.复数 z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),如果 z 是纯虚数,求 m 的值.

?m 2 ? 3m ? 3 ? 1 ?log 2 (m 2 ? 3m ? 3) ? 0, ? 解:由题意知 ? ∴ ?3 ? m ? 1 ?log 2 (3 ? m) ? 0, ?3 ? m ? 0 ?
?m 2 ? 3m ? 4 ? 0 ?m ? 4或m ? ?1 ∴? ∴? ,∴m=-1. ?m ? 3且m ? 2 ?m ? 2且m ? 3
3.方程 x2+(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一个实数根,试求实数 m 的值.

? x 2 ? mx ? 2 ? 0 解:方程化为(x +mx+2)+(2x+m)i=0.∴ ? , ?2 x ? m ? 0
2

∴x=-

m m2 m ,∴ ? ? 2 ? 0, ∴m2=8,∴m=±2 2 . 2 4 2
3

4.知 m∈R,复数 z=

m(m ? 2) +(m2+2m-3)i,当 m 为何值时, m ?1
1 +4i. 2

(1)z∈R; (2)z 是虚数;(3)z 是纯虚数;(4)z=

?m 2 ? 2m ? 3 ? 0, 解:(1)m 须满足 ? 解之得:m=-3. ?m ? 1 ? 1.
(2)m 须满足 m2+2m-3≠0 且 m-1≠0,解之得:m≠1 且 m≠-3.

? m ( m ? 2) ? 0, ? (3)m 须满足 ? m ? 1 解之得:m=0 或 m=-2. 2 ? m ? 2 m ? 3 ? 0. ? ? m ( m ? 2) 1 ? ? (4)m 须满足 ? m ? 1 2 解之得:m∈ ? ? m 2 ? 2 m ? 3 ? 4. ?

王新敞
奎屯

新疆

4


相关文章:
《3.1.1数系的扩充与复数的概念》教学案1
《3.1.1数系的扩充与复数的概念教学1 - 《复数的扩充》教学案 【教学目标】 1. 在问题情境中了解数系得扩充过程, 体会实际需求与数学内部的矛盾(数的...
《数系的扩充与复数的概念》教学设计
数系的扩充与复数的概念教学设计 - (此文档为 word 格式,下载后可以任意修改,直接打印使用!) 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的...
数系的扩充和复数的概念教学设计
数系的扩充和复数的概念教学设计 - 3.1.1 数系的扩充和复数的概念(人教版) 华南师范大学 陈栩林 (仅供参考) 一、教学内容 数系的三次扩充过程,复数的引入...
3.1.1数系的扩充与复数的概念(教案)
3.1.1数系的扩充与复数的概念(教案) - 3.1.1 数系的扩充与复数的引入 【教学目标】 1.了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因,数集的扩展过程以及...
数系的扩充和复数的概念教学设计张敬生
数系的扩充和复数的概念教学设计张敬生 - 《数系的扩充和复数的概念教学设计 郑州十二中张敬生 基于标准的教学目标设计 教学目标是教学中最先要考虑的因素。...
...2第三章《数系的扩充和复数的概念》教学设计
最新人教版高中数学选修2-2第三章《数系的扩充和复数的概念教学设计_高三数学_数学_高中教育_教育专区。教学设计 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的...
数系的扩充和复数的引入教学设计
数系的扩充和复数的引入教学设计 - 《数系的扩充与复数的引入》第 1 课时 教案设计 学校:江西省抚州市临川二中 ? 学情分析: “数系的扩充与复数的引入”是...
2016-2017学年人教A版选修1-2 3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案_...
2016-2017学年人教A版选修1-2 3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案 - 语文数学英语,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习说课稿,备课教案学案...
3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充与复数的概...
3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充与复数的概念教案新人教A版选修1_2 - 3.1.1数系的扩充与复数的概念 项目 课题 教学 目标 教学 重、 难点 教学 ...
§3.1.1《数系的扩充和复数的概念》导学案
§3.1.1数系的扩充和复数的概念》导学案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。选修1-2 §3.1.1 数系的扩充和复数的概念【学习目标】 1、了解数系的扩充过程...
更多相关标签: