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集合及其运算


同步讲台

第一讲
● 知点 考点 答点

集合及其运算

(1)子集——集合问题的核心 研究集合,说到底是在研究集合的子集。全集只是一个概念,如实数集 R。 真正有实际意义的事,是在 R 上研究方程或不等式的解集,函数的定义域或值域,参 数的取值范围等。这些,都是在研究 R 的某个子集。 【例 1】设集合 A

={x|2 x
2 ?3 x ? 2

=1},B={x| (x-a) (x2-1)=0},当 a 为何值时,A ? B?

【思考】 集合 A、B 都是用“陈述法”表示的方程的解集,为了比较 A 和 B 的关系, 先考虑将 A 和 B 分别化简。 【解答】 易得集合 A={1,2}。B={-1,1,a},欲得 A ? B,必须且只须 a=2。

【归纳】 已知 A 是 B 的子集,求“母集”B 中常数 a 应满足的条件。逆向运用子集 的定义,常采用“比较法分析法” 。

(2)交集——两集合间的“且运算” 【例 2】设集合 A={x|2 x B={1}?
2 ?3 x ? 2

≤1},B={x| (x-a) (x2-1)=0},当 a 为何值时,A∩

【思考】 A 是不等式的解集,B 是方程的解集。已知 A 和 B 的交集,求 B 中参数满足 的条件,先考虑将 A 和 B 分别化简。 【解答】 易得 A={x|1≤x≤2},B={-1,1,a},欲使 A∩B={1},必须有 a ? ?1,2 ? 。即 a>2 或-1<a≤1 或 a<-1。 【归纳】 比较分析法是分析法和比较法的综合运用。分析法“由果索因” ,比较法可以 逆用概念或定义将交集定义中的“且”字法则化。

(3)并集——两集合间的“或运算” 【例 3】设集合 A={x|2 x
2 ?3 x ? 2

≥1},B={x| |x-a|>0},当 a 为何值时,A∪B=A?

【解答】 欲使 A∪B=A,则有 B ? A,易得 A={x|x≤1 或 x≥2},B={x|x≠a,a∈R}, 欲使 A∪B=A,必须有 a∈(1,2) 。 【说明】 本题中的集合 B,容易误解为在 R 上去掉一个单元素 a,即 1?? ?2,??? ? A B= ?? ?,a ? ? (a,??) ,实际上 a 是个变数,当 a∈(1,2)时,B= ?? ?,

(4)补集——全集对子集的“差运算” 【例 4】设集合 B={x| (x-a) (x2-1)=0},当 a 为何值时, RB={x| x2≠1,0}?
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【解答】 易知 a=0。

R

B={x|x≠-1,0,1},B={-1,1,a},按补集的概念有 0∈B,故得

【点评】 求一个集合 A 对于全集合 I 的补集 IA= A ,所用方法是“求差法” :即在 I 中“减去”A 的各个元素,剩下的元素便组成集合 A ,A 上的这个“—” ,就是“减号”的 意思。

(5)等集—— 一个集合的两种表示 【例 5】设集合 A={x|2 x
2 ?3 x ? 2

>1},B={x| (x-a) (x-1)<0},当 a 为何值时,A=B?

【解答】 A={x|x<1 或 x>2},B={x|a<x<1 或 1<x<a},不管 a 取什么实数,集合 B 都是 有限区间,而集合 A 是无限区间,故有 A≠B。故使 A=B 的 a 值不存在。 等集关系是子集关系的特例。当集合 A、B 互为“母子关系” ,即 A ? B且B ? A 时,便有 A=B。 和“等式替换”一样,集合的化简和变形都是在进行“等集替换” 。检验这种替换的正 确与否,方法仍然是“互为母子法” 。 【点评】



通法 特法 妙法

(1)列举法——集合表示的基本大法 (2)分类法——子集思想的体现 【例 7】设 A={x| x2+mx+1=0,x∈R},B={y| y<0},若 A∩B= ,求实数 m 的取值范围。 【分析】 集合 B 是非空实数集 R ,因此 A∩B= 应分为: (1)A= 和(2)A≠ 这两种情况进行讨论。 【解答】 (1) 当 A= 时, 由Δ =m2-4<0 得-2<m<2。(2) 当 A≠ 时, 则方程 x2+mx+1=0 有大量负实数。设其根为 x1、x2,因 x≠0,? 故由 ?
? x1 ? x 2 ? ?m ? 0 ?? ? 0


得 m≤-2。?

综上所述得 (-2,2)∪(-∞,-2)=(-∞,2)为 m 的取值范围。? 【点评】 “分类讨论”常出现的错误有二:一是“重” ,二是“漏” 。本题容易漏掉 A= 时的情况。容易漏掉的,往往是一些不在“一般”中的特例。

? ( 无) ? B空 ? A空? ? ? B不空 A∩B= 逻辑分类的一般情况是 ? ? A不空? B空 ( 无) ? ? ? B不空 ?
按题设化简(除“无” )后便是: (1)A 空(B 不空) ; (2)A 不空(B 不空) 。
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(3)轴序法——集合运算的数轴操作 【例 8】设 A={y|y2-3y+2≤0},B={x|x2-4ax+(3a2-2a-1)≤0} (1)若 A ? B,求非负数 a 的取值范围;? (2)是否存在 a 值,使 B ? A? 【分析】 本题分别求集合 A、B 互相包含的条件,集合 A 是“一个”二次不等式的 解集(可确定的) ,集合 B 是“无限个”二次不等式的解集(变动的) 。首先考虑利用解二 次不等式的通法将集合 A、B 化简。 【解答】 由条件知:A=[1,2] ,B=[a-1,3a+1] (1)∵A ? B,∴a-1≤1<2≤3a+1 (数轴图解如下)

故由 ?

?a ? 1 ? 1 1 ? ≤a≤2 ? 3 ?3a ? 1 ? 2

(2)若 B ? A, 则 1≤a-1≤3a+1≤2 ?(数轴图解如下)

图 1-2-2

? ?a ? 1 ?a ? 1 ? 1 ? ? 故由 ?3a ? 1 ? a ? 1 ? ?a ? ?1 ? 无解。? ?3a ? 1 ? 2 ? 1 ? ?a ? 3 ?
因而,不存在这样的 a 值,使 B ? A。? 【点评】 二次不等式的解集都是实数集的子集,通过实数轴上的“大小排序”能把抽 象问题形象化,从而方便地进行集合的子、交、并、补的运算。将实数集与实数轴对应,将 实数的大小与数轴的方向对应,将实数区间与轴上的线段对应,于是有了解不等式(组)的 特殊方法——轴序法。实际上是数形结合思想的自然运用。

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(4)韦恩图——集合运算的直观法 【例 9】 的值。 设有集合 A={-3,4},B={x|x2-2ax+b=0},B≠ ,且 A∩B=B,求 a,b

【分析】 a,b 两参数在一元二次方程 x2-2ax+b=0 的系数中, 为此可考虑先求出该二次方程的根,再用韦达定理求 a,b 的值。 【解答】 A∩B=B ? B ? A ,韦恩图如右 又 B≠ 。故其韦恩图有如下的三种可能:

当 B={-3}时,方程 x2-2ax+b=0 有重根-3,此时有 a= -3,b=9。 当 B={4}时,方程有重根 4,则 a=-4,b=16。 当 B={-3,4}时,方程有相异两根-3,4,则有 a=

1 ,b=-12。 2

【点评】 本解的韦恩图呈现动态,把集合 A 的 2 个元素-3 和 4 分别进入集合 B 的过 程展现得一清二楚。从而使解题人在“B 是 A 的非空子集”的抽象困惑中找到了“实感” 。 有道是:抽象集合不用愁,破题请画韦恩图。

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