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第二讲 线性变换及其矩阵


第二讲 线性变换及其矩阵
一、线性变换及其运算 1. 定义 设 V 是数域 K 上的线性空间,T 是 V 到自身的一个映射,若 ?? ?V , 均存在唯一 的 ? ?V 与之对应,则称 T 为 V 的一个变换(或算子) ,记为 T (? ) ? ? . 称 ? 为 ? 在变换 T 下的象, ? 为 ? 的原象。 若变换 T 还满足 ?? , ? ?V , k , l ? K , 有 T (k? ? l ? ) ? kT (? ) ? lT ( ? ). 则称 T 为线性变换。 例1 (1) 二维实向量空间 R 2 ? ? ? x1 ? x , x ? R ? 将其绕原点反方向旋转 ? 角的变换为线性变换。 ?? ? 1 2 ? ? ? x2 ? ? (2) 次数不超过 n 的全体实多项式 Pn 构成实数域上的一个 n+1 维的线性空间, 其基可选为

?1, x, x ,
2

, x n ? ,微分算子 D ? d 是 Pn 上的一个线性变换。
dx

2. 性质 (1) T (? ) ? T (0? ) ? 0T (? ) ? ? . (2) T (?? ) ? (?1)T (? ) ? ?T (? ). (3)线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组。 注:线性无关的元素组经线性变换不一定再是线性无关的。 3. 线性变换的运算 (1) 恒等(单位)变换 Te ; (2)零变换 T0 ; (3) 变换的相等 T1 ? T2 ;(4) 线性变换的和 T1 ? T2 (5) 线性变换的数乘 kT ;负变换; (6) 线性变换的乘积 T1T2 ;(7) 逆变换 T ?1 (8) 线性变换的多项式: T n
m

? T ?T
n个

T ,规定 T 0 ? Te ;
m
m

若纯量 x 的多项式 f ( x) ?

? ak xk ,则 f (T ) ? ? akT k , f (T )(? ) ? ? akT k (? ) .
k ?0
k ?0
k ?0

注:以上变换(若存在)均为线性变换。 二、线性变换的矩阵表示(将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式) 要确定线性变换 T ,只需确定基元素在该变换下的象。 1、定义:设 T 是线性空间V n 的一个线性变换,且 ?1,? 2 ,
? a11 a12 ?a a T ??1,? 2 , ,? n ? ? (T (?1 ),T (? 2 ), , T (? n )) ? ??1,? 2 , ,? n ? ? 21 22 ? ? ? an1 an 2

,? n 是V n 的一个基,若
T 在基

a1n ? 称 A ? (aij )n?n 为 a2 n ? ? ? ?? ,? , ,? ? A 1 2 n ? ? ann ?

?1,? 2 , ,? n 下的矩阵。
1

2、性质 定理 1 设线性变换 T 在 V n 的基 ?1,? 2 , ,? n 下的矩阵为 A ,若元素 ? 在该基下的坐标为

X ? ( x1, x2 ,

xn )T , T (? ) 在该基下的坐标为 Y ? ( y1, y2 ,

yn )T ,则 Y ? AX .

定理 2 设 ?1,? 2 , (1) (T1 ? T2 )[?1,? 2 , (3) (TT 1 2 ) ??1 ,? 2 ,

n ,? n 是V 的一个基,T1、T2 在该基下的矩阵分别为 A, B。则有

,? n ] ? ??1,? 2 ,

,? n ?( A ? B)

(2) kT1 ??1,? 2 , (4) T1?1 ??1,? 2 ,

,? n ? ? ??1,? 2 ,

,? n ? (kA)

,? n ? ? ??1,? 2 ,
m

,? n ? ( AB)

,? n ? ? ??1,? 2 ,

,? n ? A?1

n 推论 1 设 f (t ) ? ? ai t i 为纯量 t 的 m 次多项式,T 为线性空间V 的一个线性变换,且
i ?0

在 V 的基 ?1,? 2 ,

n

,? n 下的矩阵为 A ,则 f (T ) ??1,? 2 ,

,? n ? ? ??1,? 2 , ,? n ? f ( A) ,

其中 f (T ) ? a0Te ? a1T ? a2T 2 ? 3. 相似矩阵

2 ? amT m , f ( A) ? a0 I ? a1 A ? a2 A ?

? am Am .

设 T 在 V n 的两个基 ?1 ,? 2 ,
2

,? n 及 ?1, ?2 , , ?n 下的矩阵分别为 A 和 B ,且

? ?1, ? 2 ,

? , n ? ? ?? 1? ,

,即 A 和 B 为相似矩阵。 , ?n , ?C ,则 B ? C?1 A C

定理 3 n 阶方阵 A 和 B 相似的充要条件是 A 和 B 为同一线性变换在不同基下的矩阵。 三、线性变换的值域和核 1、定义 设 T 是线性空间V n 的线性变换,称
R(T ) ? ?T (? ) | ? ?V n ? 为 T 的值域; N (T ) ? ? | ? ?V n , T (? ) ? ? 称为 T 的核。

?

?

易证 R(T ) 和 N (T ) 均为V n 的子空间,分别称为 T 的像空间和核(零)空间,称 dim R(T ) 、

dim N (T ) 为 T 的秩和零度。
2、定理 设 T 为 V n 上的线性变换, ?1 ,? 2 , (1) R(T ) ? Span?T (?1 ),T (? 2 ),
n ,? n 为 V 的一组基,则

(2) dim R(T ) ? dim N (T ) ? n ; T (? n )? ;

特别地,若 A 是线性变换 T 的矩阵,则 dim R(T ) = dim R( A) , dim N (T ) = dim N ( A) . 例 2 次数不超过 n 的全体实多项式 Pn 构成实数域上的一个 n+1 维的线性空间微分算子
D? d 是 P 上的一个线性变换。则 R( D) ? P , N ( D) ? R 。 n?1 n dx

例 3 已知 K 2?2 的线性变换 T ? MX ? XM ( X ? K 2?2 , M ? ? 维数.(P188) 四、线性变换的不变子空间 不变子空间表明了矩阵的化简与线性变换的内在联系.
2

?1 2? ?) ,求 T 的值域与核的基与 ?0 3?

1. 定义

设 T 是数域 K 上线性空间 V 的一个线性变换, W 是 V 的一个子空间. 若 ?? ?W ,

有 T (? ) ?W ,则称 W 是 T 的不变子空间. 例3 (1) 整个空间 V 和零子空间{? } ,对于每个线性变换 T,都是不变子空间. (2)T 的值域与核都是不变子空间. (3)任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间. 特别地,T 的属于特征值 ?0 的特 征子空间 V?0 ? {? | T (? ) ? ?0? ,? ?V } 是 T 的不变子空间. (4) T 的不变子空间的和与交仍是 T 的不变子空间. 2. 定理 如果线性空间 V 的子空间W ? Span(?1,? 2 ,?,? s ) , 则 W 是 T 的不变子空间的充要条件

为 T (?1 ),T (? 2 ),

,T (? s ) ?W .

3. 不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系. (1)设 T 是维 V 的线性变换,W 是 T 的不变子空间. 在 W 中取一组基 ?1 , ? 2 ,?, ? k , 由基 扩定理,把它扩充成 V 的一组基 ?1 , ? 2 ,?, ? k , ? k ?1 ,?, ? n . 那么 T 在这组基下矩阵的形状为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a11 ? a1k a1,k ?1 ? ? a k1 0 ? ? ? a kk 0 ? ? a k ,k ?1 ? ? a1n ? a kn ? ? ? ? ? A ??? ? 1 ? ? ?O ? ? ? ?

a k ?1,k ?1 ? a k ?1,n a n ,k ?1 ? a nn

A3 ? ? A2 ? ?

0 ? 0

.

反之,若线性变换 T 在基 ?1 , ? 2 ,?, ? k , ? k ?1 ,?, ? n 下的矩阵具在上述形式, 其中 A1 是 k 阶方 阵,则由 ?1 , ? 2 ,?, ? k 生成的子空间是 T 的不变子空间. (2) 设 V 分解成若干个 T 的不变子空间的直和: V ? W1 ? W2 ? ? ? Ws . 在每一个 Wi 中取基 ? i1 , ? i 2 ,?, ? ini (i ? 1,2 ,?, s) ,并把它们合并起来成为 V 的一组基 I.
? A1 ? A2 ? ? ? ? ? As ? ? ? ? ? ? ? ?

则在这组基下,T 的矩阵具有准对角形状

其中 Ai (i ? 1, 2 ,?, s) 就是 T 在基 ? i1 , ? i 2 ,?, ? ini (i ? 1,2 ,?, s) 下的矩阵. 反之,类似(1)的结论也成立且 V 是它们的直和. 注:矩阵分解为准对角形等价于空间分解为不变子空间的直和. 作业:P215 12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,24
3


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